Системы нелинейных уравнений.

Интеграл.

Многогранники.

Тела вращения.

Показательные неравенства.

Применение производной к исследованию функции.

Логарифмические уравнения.

 

1. Формулы для вычисления фигур.

 

 

Ответы: 1. 2. 3. 4. 5. a*b 6. 7. 8. 9. 2 10.  ah 11.  S =

Вопросы:

1. S_{правильного}

2. S_{прямоугольного}

3. S_{трапеции}

4. S_ромба

5. S_{прямоугольника}

6. S_{квадрата}

7. S_{произвольного}

8. S_круга

9. C_{окружности (длина окр.)}

10.S_{параллелограмм}

  11.Формула Герона

 

 

2. Логарифмы.

 

Функция вида у = , где а , называется логарифмической.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

 

 

1.

 

2.

 

3.

 

4. b=3 найти b

b = (

 

5. найти b

b -

 

6.

b = (

 

7. найти a

9=

 

8.     найти a

 

9. Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10 (принято обозначать lg).

10.  Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, именно иррациональное число с 2,71828183.

 

 

Имеем натуральный логарифм log x.

 

Свойства:

1. D(, логарифмы только положительных чисел существуют.

2. E(

3. Непрерывна.

4. Если a , то функция возрастает.

5. Если 0 a , то функция убывает.

6. Функция обратная показательной.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

Примеры:

(7)

(8)

(9)

(13)

(14)

Вычислить:

 

3. Вероятности.

Вероятность.

Вероятность события.

О: Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных элементарных исходов опыта.

 , где m- число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, n – число всех равновозможных исходов опыта,

Пример 1.

Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправных, а 20 бракованных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется исправной.

Решение:

Очевидно, что из числа всех деталей, т.е. из числа 80, нам благоприятствует 60 и не благоприятствует 20. Если через А мы обозначим событие, что взятая деталь исправна, то согласно определению, вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих элементарных исходов к числу всех равновозможных. Поэтому

1. Из 100 лотерейных билетов 45 являются выигрышными.                        Какова вероятность выигрыша?

1 000- количество лотерейных билетов;

45 - выигрышные билеты;

    
= 45/1 000 * 45 = 0,45 – вероятность выигрышных билетов.

Ответ: 45.

 

 

Метод перебора.

2. Подбрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что ровно одна из монет упадет решкой вниз?

Перебором                   n = 8, m = 3

 

        

     O O  O                

     P P P

     O P P

     O P О                 
     O O P

     P O O

     P P O

     P O P

 

Ответ: 0,375.

 

3. Побрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что все монеты упадут решкой вниз?

 

     O O O          n = 8, m = 1

     P P P

     O P P

     O P О       

     O O P

     P O O

     P O O

     P O P

Ответ: 0,125.

 

4. В коробке 25 шаров красного цвета и 10 шаров белого цвета. Найти вероятность того, что наугад взятый шар окажется белым.

 

25+10 = 35 (n – общее количество шаров)

P(A) =

0

Ответ: .

 

 

5. В корзине 35 яблок, из них 15 красных, остальные зелёные. Найти вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется зелёным.

35-15 = 20 (m – зелёных яблок)

P(A) =

0

Ответ:

 

 

4. Степени.