Формулы для вычисления фигур.

Формулы для вычисления фигур.

Логарифмы.

Вероятности.

Степени.

Тригонометрия.

Системы нелинейных уравнений.

Интеграл.

Многогранники.

Тела вращения.

Показательные неравенства.

Применение производной к исследованию функции.

Логарифмические уравнения.

 

1. Формулы для вычисления фигур.

 

 

Ответы: 1. 2. 3. 4. 5. a*b 6. 7. 8. 9. 2 10.  ah 11.  S =

Вопросы:

1. S_{правильного}

2. S_{прямоугольного}

3. S_{трапеции}

4. S_ромба

5. S_{прямоугольника}

6. S_{квадрата}

7. S_{произвольного}

8. S_круга

9. C_{окружности (длина окр.)}

10.S_{параллелограмм}

  11.Формула Герона

 

 

2. Логарифмы.

 

Функция вида у = , где а , называется логарифмической.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

 

 

1.

 

2.

 

3.

 

4. b=3 найти b

b = (

 

5. найти b

b -

 

6.

b = (

 

7. найти a

9=

 

8.     найти a

 

9. Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10 (принято обозначать lg).

10.  Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, именно иррациональное число с 2,71828183.

 

 

Имеем натуральный логарифм log x.

 

Свойства:

1. D(, логарифмы только положительных чисел существуют.

2. E(

3. Непрерывна.

4. Если a , то функция возрастает.

5. Если 0 a , то функция убывает.

6. Функция обратная показательной.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

 

 

Примеры:

(7)

(8)

(9)

(13)

(14)

Вычислить:

 

3. Вероятности.

Вероятность.

Вероятность события.

О: Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных элементарных исходов опыта.

 , где m- число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, n – число всех равновозможных исходов опыта,

Пример 1.

Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправных, а 20 бракованных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется исправной.

Решение:

Очевидно, что из числа всех деталей, т.е. из числа 80, нам благоприятствует 60 и не благоприятствует 20. Если через А мы обозначим событие, что взятая деталь исправна, то согласно определению, вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих элементарных исходов к числу всех равновозможных. Поэтому

1. Из 100 лотерейных билетов 45 являются выигрышными.                        Какова вероятность выигрыша?

1 000- количество лотерейных билетов;

45 - выигрышные билеты;

    
= 45/1 000 * 45 = 0,45 – вероятность выигрышных билетов.

Ответ: 45.

 

 

Метод перебора.

2. Подбрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что ровно одна из монет упадет решкой вниз?

Перебором                   n = 8, m = 3

 

        

     O O  O                

     P P P

     O P P

     O P О                 
     O O P

     P O O

     P P O

     P O P

 

Ответ: 0,375.

 

3. Побрасывают 3 монеты, какова вероятность того, что все монеты упадут решкой вниз?

 

     O O O          n = 8, m = 1

     P P P

     O P P

     O P О       

     O O P

     P O O

     P O O

     P O P

Ответ: 0,125.

 

4. В коробке 25 шаров красного цвета и 10 шаров белого цвета. Найти вероятность того, что наугад взятый шар окажется белым.

 

25+10 = 35 (n – общее количество шаров)

P(A) =

0

Ответ: .

 

 

5. В корзине 35 яблок, из них 15 красных, остальные зелёные. Найти вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется зелёным.

35-15 = 20 (m – зелёных яблок)

P(A) =

0

Ответ:

 

 

4. Степени.

 

Примеры решения:

1.
Замечания:
1)

2)

3) ^mn

4)

Ответ:

2.81432732∙16433253=34343325∙24342535=3412∙2412336∙2515=33∙2332∙23=27∙89∙8=3

Ответ:3

3. 2734∙2732335∙337=3343∙3313335+7=3312∙3363312=34∙32234=3634=36-4=32=9

Ответ: 9

4. 221∙821732∙734=221∙2312736=2∙12∙23272=2272=449

 Ответ:449

 

1.

2.

3.

4.

5. ((

6.

 

5. Тригонометрия.

 

Тригонометрия часть I.

1. Упростить:

=

Ответ: .

 

2. Докажите тождество

Приведём левую часть к правой

Тождество доказано.

 

Экзаменационные задания.

3. Доказать тождество =

Приведём левую часть к правой

Тождество доказано.

 

4. Упростить:

=

Ответ:

 

5. Найдите значение выражения при х=

При х = имеем:

Ответ:

 

 

Тригонометрия I часть. Экзаменационные задания.

Тригонометрия часть II.

Уравнения.

I.

II.

 

III. .

2 Введение новой переменной. Сведение к квадратному.

 

 

 

 

 

 

 

  a = 2, b = - 7, c = 3

 

 

 

 

       E()

  Ответ:

4 Вынесение общего множителя за скобки.

   

   

     

                        или

                 

                                                      

                                                      

                                                      

Ответ:

 

Формула Ньютона – Лейбница.

О: Интегралом от a до b f(x)dx называется приращение первообразной.

Формула Ньютона – Лейбница.

a – нижний предел интегрирования.

b – верхний придел интегрирования.

 

Параллелепипед.

1. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

2. Т19.2 У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

А)

Б)

 

 

Понятия объема.

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело разбито на части, являющимися простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.

Объем куба, ребро которого равно единица длины, равен единицы.

Задачи:

1. Найдите объем прямой призмы , если угол ВАС равен 120˚, АВ=10 см, АС=6см и наибольшая из площадей боковых граней равна 105 .

Дано: АВСА1 В1 С1- прямая призма     АВ=10см, АС=6см,         ВАС= 120° = 105 Найти: Vпр.? Решение: 1) 2) осн = =  =

120˚

В

А

С

10

6

                                                                      

                                                                 

                                                         

 

                                     

105

 

 

 

 

3)

, значит ВС = 14 см.

4) - прямоугольник 105 =14 ;

5)

 

2. Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 20, 20 и 24см, а боковое ребро, равное 16см, составляет с плоскостью основания угол 60˚.

 

                                               

 

B

60˚

A

20

16

C

M

24

20

                                                          Дано: ма

                                                           АВ=20см,

                                                          AC=20cм,

                                                           ВС=24см,

                                                      

                                                          

                                                           Найти Vпр.

 

                                              

 

 

    

 

 

Решение:

1)

2)По формуле Герона найдем S осн.

р- полупериметр

4)

5) Vпр.=192

Ответ:

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 36 см и составляет угол 30°, с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

В

С

Д

Д1

С1

В1

А

А1

45°

30°

36

 Дано: АС₁ - прямоугольный параллелепипед

АС₁ = 36 см

В₁ АС₁ = 30°

А₁ АС₁ = 45°

Найти: V_парал.

Решение:

АС₁ – наклонная к АА₁В₁В, АВ₁ – её проекция

 

1) V_парал. = abc = S_осн. · H

2) ∆ АВ₁С₁:  АВ₁С₁ = 90°, т.к. В₁С₁ А₁АВВ₁, а значит В₁С₁ В₁А по определению перпендикуляра к плоскости

В₁АС₁  = 30° по условию, а значит В₁С₁ =  по свойству катета, лежащего напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике.

3) ∆ АА₁С₁:  АА₁С₁ = 90°, т.к. параллелепипед прямоугольный

АА₁ = АС₁ · cos45° =  см

4) ∆ АА₁С₁: АА₁С₁ = 90°, А₁АС = 45° по условию, а значит

АС₁А₁ = 45°, поэтому

АА₁ = А₁С₁ = 18  см.

5) ∆ А₁В₁С₁:  А₁В₁С₁ = 90°

По т. Пифагора

А ₁В₁ =  =  =  =  = 18 см

6) V_парал. = 18 · 18·  = 5832  см³

Ответ: 5832  см³

4. В правильной призме четырёхугольной сторона основания 8 см. Диагональ призмы 18 см. Найдите объем призмы.

Дано: BD1 – правильная четырёхугольная призма, AB = 8 см, BD1 = 18 см. Найти: Vпр. Решение: 1) Vпр = Sосн * H 2) B1A1D1: . Так как призма правильная, значит в основании ее лежит квадрат. По теореме Пифагора:

В     8        С

8

А                       Д

18

В1                                       С1

А1                                     D1

 

B₁D₁ =

3) BB₁D₁:  BB₁D₁ = 90 , так как призма правильная, значит BB₁  A₁B₁C₁ D₁

По теореме Пифагора:

BB₁ =

4) V_пр = 64 *14 = 896 см³.

Ответ: 896 см³.

 

 

Пирамида.

О: Многоугольник, одна из грани которой – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамида.

Отрезки соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Усеченная пирамида.

Т19.5 Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Правильная пирамида.

О: Пирамида называется правильной, если ее основание является правильный многоугольник, а основание высоты соединяет с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Т19.6 Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофемы.

Объем пирамиды.

О: Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: V = .

Задачи:

 

1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковые рёбра 40см, а высота 32см. Найти объём пирамиды.

Дано: SABCD – правильный четырёхугольник,

SC = 40см, SO = 32см,

SO ABCD.

Найти: V_пр.

Решение:

1) V_пр. = S_осн. * Н

2) Так как пирамида правильная четырёхугольная, значит в основании её лежит квадрат.

S_кв. =

3)

По теореме Пифагора:

ОС = см, значит АС = 48см, BD = 48см.

4) S_ABCD = см³.

Ответ: см³.

Дано: SABC – правильная пирамида. ВС = 32 см, SB = 20 см. Найти Sбок. Решение: 1) Sбок. прав. пир. =  Р осн. * Н бок. 2) О – центр основания пирамиды. Точка пересечения медиан треугольника АВС – точка О. 3)

2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания 32 см, а боковое ребро 20см.

О

S

32

B

D

C

A

h

20

K

 

 

Так как пирамида правильная, SD – апофема.

По теореме Пифагора найдём SD (катет).

SD = SB² – DB² =

S_бок. = см²

Ответ: S_бок. = см²

 

 

 3. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13см, АС = 10 см, каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол 30 . Вычислите объём пирамиды.

30

30

30

S

B

C

A

13

10

Дано: ABSC – пирамида АВ = ВС = 13см АС = 10 см Найти: Vпир. Решение: Построим SO перпендикулярно плоскости АВС; SO – это высота пирамиды. , они имеют равный острый угол, тогда ОВ = ОС = ОА =R, где

О

 

 

R – радиус описанной окружности

 

По теореме косинусов в треугольнике АВС:

100 = 2 *

2 * 169 *

Значит, R = OB =

Из треугольника SOB найдём высоту SO:

SO

S _ABC = , где p =

S _ABC =

V =  S _ABC *30 =

Ответ:

9. Тела вращения.

 

Тела вращения.

B     O         C

A    O1         D

A          O               B

S

О

(0; r) – Шар Sсф. = 4 VШара =

SAB - Конус ASB – осевое сечение SA, SB – образующие

ABCD - цилиндр OO1 – ось симметрии AB1CD – образующие, высота.

 

 

Цилиндр.

1 В цилиндр площадь осевого сечения которого равна 48см² вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом равным 4  и прилежащим к нему углом 30 . Найти объём цилиндра.

А        О              В

С

130

А1           О1               В1

С1

48см^2

Дано: АА1В1В – цилиндр. АСВА1С1В1 – призма, вписанная в цилиндр. , АС = 4  SAA1B1B = 48см^2 Найти: VЦил. Решение: 1. VЦил.=

 

2.

АВ =  центр описанный около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а значит

АВ – диаметр, R =  = 4см.

3.АА₁В₁В – осевое сечение цилиндра. АА₁В₁В = АВ * АА₁

48 = 8 * АА₁

АА₁ =  значит Н = 6см.

4. V_Цил.= ³

Ответ: ³

Запомни! (Частный случай.)

Дано: ABCD – цилиндр. CD = 30м KO1 = 8 м MNPQ – квадрат Найти: Sосн. Решение:   1) Sосн. = 2) MO1Q – равнобедренный, так как MO1 = O1Q как радиусы одной окружности. 3)О1К , значит О1К – медиана треугольника MO1Q. MQ = 30, так как сечение MNPQ, если квадрат,

2. Сечение цилиндра плоскостью отсекает от оси цилиндра на расстоянии 8м. Высота цилиндра 30м. Найти площадь основания цилиндра, если сечение есть квадрат.

 

P

B

O

C

N

30

Q

K

A

D

M

O1

 

а КМ = 15м.

4) Рассмотрим треугольник О₁КМ: О₁КМ = 90 .

По теореме Пифагора:

О₁М =

5) S_осн. = ²

Ответ: S_осн. = ².

 

 

3. В шар, радиус которого равен 18см, вписан цилиндр. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с основанием угол 30^о. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В

С

18

D

А

                                            Дано: шар (0;18), АВСD – цилиндр,   

О

                                   

                                                                   вписан в шар, CAD=30^о

                         Найти: S_{бок.цил.}

 

30^о

                  

 

1) S_{бок.цил.}= 2 RH

2) ∆ ADC: ADC = 90^о, т.к CD AD

СD = AC = 36 = 18cм по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 в прямоугольном треугольнике, а значит H =1 8см

∆ADC: ADC = 90^о

3) AD = AC cos30^o = =18 cм

R_{осн.цил} = = = 9 cм.

4) S_{бок.цил.} = 2П = 324 П см²

Ответ: 324 П см²

4. Около шара, радиус которого равен 15 м, описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

                                                        Дано: ω шар (О;15),

АВСД – цилиндр, описан около шара

  Найти: S_{бок. пов.}

 

Решение

1) S_{бок. пов.} = 2πRH

2) D = 2 · ОО₁ = 15 · 2 = 30м

3) S_{бок. пов.} = 2π · 15 · 30 = 900π м²

Ответ: 900π м²

 

 

5. Найдите объем цилиндра, описанного около сферы радиуса 9см.

                                                      Дано: ω сфера (О;9),

АВСД – цилиндр, описан около шара

Найти: V_цил

Решение

1) V_цил. = π R²H

2) Н = 2R = 2 · 9 = 18 см

3) V_цил. = π · 9² · 18 = 1458 π см³

Ответ: 1458 π см³

6. Около шара описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 24см.

                                           Дано: ω шар (О; R),

 АВСД – цилиндр, описан около шара

H = 24cм

 Найти: S_{бок. пов.}

Решение

1) S_{бок. пов.} = 2πRH

2) R =  =  = 12 cм

3) S_{бок. пов.} = 2π · 12 · 24 = 576 π cм²

Ответ: 576 π cм²

7. В цилиндре АВСД проведен отрезок С₁Д₁, равный 18 см и параллельный основанию. Известно, что радиус основания равен 40 см. Найти расстояние от отрезка С₁Д₁ до оси цилиндра.

О

С

В

Дано: АВСД – цилиндр

      С₁Д₁ = 18 см

Д1

С1

18

К

О₁Д = 40см, ЕК С₁Д₁

Е

Найти: ЕК

40

О1

А

Д

Решение:

1) Рассмотрим ЕС₁Д₁: ЕС₁ = ЕД₁ = 40см, как радиусы одной окружности по Т 20.1

2) ЕК С₁Д₁, по условию, а высота в равнобедренном треугольнике, опущенная из его вершины, является медианой и высотой, поэтому

КД₁ = 9 см

3) ∆ ЕКД₁:  ЕКД₁ = 90°

По т. Пифагора

ЕК =  =  =  =  = 7  см

Ответ: 7  см

 

 

 

 

 

Конус.

О: Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета, называется конусом.

S

l

O

A

B

SAB - конус                        SA, SB - образующие          SO - высота      Sбок. = Rl Sполн.К. = rl VКон.=  r^2 * H

 

Разв