Тема 7 непрерывная случайная величина.

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю: . Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал   определяется следующим образом: . Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от а до b,  (где а и b — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений  и единице для значений . Для непрерывной случайной величины выполняется отношение: .

Плотностью вероятности (плотностью распределения или плотностью вероятности) р(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения: . График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины: ;  ;  ; 4. .

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью. абсцисс, равна единице.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством6  где р (х) — плотность распределения случайной величины Х.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством:

или равносильным равенством  Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то  или

 Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством: .

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности р (х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

Математическое ожидание  дисперсия  а среднее квадратическое отклонение .