Экспоненциальный закон распределения

 

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Для случайной величины, распределенной по показательному закону: ; . Вероятность попадания в интервал  непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону: .

Нормальный закон распределения

 

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: . Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , и две точки перегиба  с ординатой . Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: , где .

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой: .

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину  (по абсолютной величине), равна: .

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и  т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале : .

 

ТЕМА 8 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Нижеприведенные утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, имеющих общее название - закон больших чисел.

Неравенство Маркова. Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. . Тогда для любого : , где М (Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события  и  противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде: .

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого : .

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого : .

Теорема Чебышева. Если  последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями  и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная , .

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности р = Р (А): , где — сколь угодно малое положительное число.

Теорема Пуассона. Если производится независимых опытов и вероятность появления события А в -м опыте равна , то при увеличинении частость  события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей : , где — сколь угодно малое положительное число.

 

С АМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №4

№ варианта	Задание
I	а) Среди 6 часов, поступивших в ремонт, у двух имеется такой дефект, как поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить закон распределения числа часов с поломками оси среди трехвыбранных наудачу. б) За время приема  врача посещает в среднем 6 человек в час. Составить закон распределения числа пациентов, посетивших врача в течение часа. в) Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,48, для второго – 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий. Построить функцию распределения. г) Задана функция распределения случайной величины Х: . Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение большее 0,3, но меньшее 0,7. Найти плотность вероятности распределения случайно величины и ее дисперсию. д) Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,6 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 100, если случайная величина Х распределена нормально с мм?
II	а) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –2 –1 0   2 4 Р 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. б) Клиенты банка, никак не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. в)  Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –4 –1 0   4 8 Р 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. г) Случайная величина Х задана функцией распределения Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства . д) В результате изнашивания орудия при каждом выстреле уменьшается вероятность попадания в цель на 0,2%. При первом выстреле эта вероятность равна 0,9. Найти границы числа попаданий при 200 выстрелах, которые гарантируются с вероятностью не менее 0,8.
III	а) Проверке подлежат 4 магазина. Вероятности пройти проверку для этих магазинов, соответственно равны 0,8; 0,4; 0,3; 0,5. Составить закон распределения числа магазинов, не прошедших проверку. Найти числовые характеристики этого распределения. б) Из 10 телевизоров на презентации новых товаров оказались 7 телевизора фирмы «Самсунг». Наудачу были выбраны 4 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Самсунг» среди 4 отобранных. в) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –1 9 4   6 3 Р 0,4 0,1 0,3 0,1 0,1 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. г) Дана функция распределения случайной величины Х: Найти плотность вероятности, а также вероятности . д) С вероятностью 0,04 изделие имеет дефект. Оценить в каких границах заключено число бракованных изделий в партии из 2000 шт., если за вероятность практической достоверности принять 0,95?
IV	а) Проверкой установлено, что из каждых 10 деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке. Составить закон распределения числа точно изготовленных деталей среди наудачу взятых трех. Построить функцию распределения. б) На двух станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них: Х: для первого   Х 0 1 2 3 Р 0,1 0,6 0,2 0,1 Y: для второго Y 0 1 2 Р 0,5 0,3 0,2 Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин. в) Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,005. Составить закон распределения числа опоздавших среди 1000 пассажиров некоторого поезда (указать первые 3 члена ряда распределения). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. г) Время ожидания ответа абонента на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины, среднее время ожидания ответа и среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность того, что время ожидания ответа не превысит 1 минуты. д) Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 178 см, а среднеквадратическое отклонение — 5 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 185 см.
V	а) Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,35. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 4 библиотеки. б) На двух станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них: Х: для первого   Х 1 3 2 Р 0,2 0,5 0,3 Y: для второго Y 0 2 3 Р 0,1 0,4 0,5 Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин. в) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –4 1 8   2 1 Р 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. г) Время ожидания автобуса распределено равномерно в интервале (0; 10). Найти плотность распределения вероятностей времени ожидания, функцию распределения этой случайной величины, среднее время ожидания и вероятность того, что пассажир будет ждать троллейбус не более 4 мин. д) Вероятность того, что покупатель, вошедший в магазин, приобретет обувь размера 41, равна 0,25. Найти с вероятностью, превышающей 0,95, границы, в которых должно находиться число покупателей, купивших обувь размера 41, из каждой 1000 человек, вошедших в магазин.
VI	а) Завод отправил на склад 50 000 доброкачественных керамических плиток. Вероятность того, что плитка в пути разобьется, равна 0,00002. Составить закон распределения числа поврежденных плиток (указать первые 4 члена ряда распределения). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х 0 1 6   2 2 Р 0,3 0,1 0,1 0,2 0,3 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. в) Вероятность успешно сдать экзамен по теории вероятностей составляет  0,7, и при каждой пересдаче увеличивается на 5%. Составить закон распределения числа попыток сдать экзамен, если допускается не более двух пересдач. Построить функцию распределения. г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти: 1. значение параметра а; 2. дифференциальную функцию распределения f(x); 3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; 4. построить графики функций F(x) и f(x);. 5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4). д) Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 2,5 кг. Найти среднеквадратическое отклонение, если 3% коробок имеют массу меньше 2 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
VII	а) Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,8. Составить закон распределения общего числа попаданий. Построить функцию распределения. б)  Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –1 9 1   6 3 Р 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. в) Среди 15 изготовленных приборов 4 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 5 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график. г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти: 1. значение параметра а; 2. дифференциальную функцию распределения f(x); 3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; 4. построить графики функций F(x) и f(x);. 5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4). д) Среднее значение расхода воды в некотором населенном пункте составляет 30 000 л в день Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 90 000 л в день.
VIII	а) При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру, но помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа попыток, сделанных абонентом для правильного набора номера. б)  Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –4 –5 1   6 4 Р 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. в) В экзаменационном билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,7, второй — 0,5, третьей — 0,6. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию. г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти: 1. значение параметра а; 2. дифференциальную функцию распределения f(x); 3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; 4. построить графики функций F(x) и f(x);. 5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4). д) Предприятие, занимающееся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со среднеквадратическим отклонением  и неизвестным математическим ожиданием а. В 80 % случаев число ежемесячных заказов превышает 10000. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
IX	а) Из поступающих в ремонт 12 часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –1 –1 3   5 3 Р 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. в) В городе 3 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения. г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти: 1. значение параметра а; 2. дифференциальную функцию распределения f(x); 3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; 4. построить графики функций F(x) и f(x);. 5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4). д) Средний урожай пшеницы в Тамбовском регионе составил 30 центнеров с гектара. Оценить вероятность того что с наудачу взятого гектара урожайность превысит 40 центнеров.
X	а) Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,003. Составить закон распределения числа опоздавших среди 2000 пассажиров некоторого поезда (указать первые 3 члена ряда распределения). б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения Х –4 –3 1   5 10 Р 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3 Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей. в) Три цеха стекольного завода изготовляют продукцию в соотношении 5:2:3. Среди продукции первого цеха в среднем 60% термостойкой, среди продукции второго цеха - 70%, среди продукции третьего цеха – 80%. Найти среднее значение числа термостойких изделий среди наудачу взятых 20 изделий. г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти: 1. значение параметра а; 2. дифференциальную функцию распределения f(x); 3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; 4. построить графики функций F(x) и f(x);. 5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4). д) Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,6. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,7 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,6 не превысит 0,02?

 

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение А Значения* функции х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3980 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3725 3712 3697 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1845 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 4,0 0001 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000   * Все значения умножены на 10 000.

Приложение  Б

Значения* функции  

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,00	00000	00798	01596	02393	03191	03988	04784	05581	06376	07171
0,1	07966	08759	09552	10348	11134	11924	12712	13499	14285	15069
0,2	15852	16633	17413	18191	18967	19741	20514	21284	22052	22818
0,3	23582	24344	25103	25860	26614	27366	28115	28862	29605	30346
0,4	31084	31819	32552	33280	34006	34729	35448	36164	36877	37587
0,5	38292	38995	39694	40387	41080	41768	42452	43132	43809	44481
0,6	45149	45814	46474	47131	47783	48431	49075	49714	50350	50981
0,7	51607	52230	52848	53461	54070	54675	55275	55870	56461	57047
0,8	57629	58206	58778	59346	59909	60468	61021	61570	62114	62653
0,9	63188	63718	64243	64763	65278	65789	66294	66795	67291	67783
1,0	68269	68750	69227	69699	70166	70628	71086	71538	71986	72429
1,1	72867	73300	73729	74152	74571	74986	75395	75800	76200	76595
1,2	76986	77372	77754	78130	78502	78870	79233	79592	79945	80295
1,3	80640	80980	81316	81648	81975	82298	82617	82931	83241	85547
1,4	83849	84146	84439	84728	85013	85294	85571	85844	86113	86378
1,5	86639	86696	87149	87398	87644	87886	88124	88358	88589	88817
1,6	89040	89260	89477	89690	89899	90106	90309	90508	90704	90897
1,7	91087	91273	91457	91637	91814	91988	92159	92327	92492	92655
1,8	92814	92970	93124	93275	93423	93569	93711	93852	93989	94124
1,9	94257	94387	94514	94639	94762	94882	95000	95116	95230	95341
2,0	95450	95557	95662	95764	95865	95964	96060	96155	96247	96338
2,1	96427	96514	96599	96683	96765	96844	96923	96999	97074	97148
2,2	97219	97289	97358	97425	97491	97555	97618	97679	97739	87798
2,3	97855	97911	97966	98019	98072	98123	98172	98221	98269	98315
2,4	98360	98405	98448	98490	98531	98571	98611	98649	98686	98723
2,5	98758	98793	98826	98859	98891	98923	98953	98983	99012	99040
2,6	99068	99095	99121	99146	99171	99195	99219	99241	99263	99285
2,7	99307	99327	99347	99367	99386	99404	99422	99439	99456	99473
2,8	99489	99505	99520	99535	99549	99563	99576	99590	99602	99615
2,9	99627	99639	99650	99661	99672	99682	99692	99702	99712	99721
3,0	99730	99739	99747	99755	99763	99771	99779	99786	99793	99800
3,1	99806	99813	99819	99825	99831	99837	99842	99848	99853	99858
3,2	99863	99867	99872	99876	99880	99885	99889	99892	99896	99900
3,3	99903	99907	99910	99913	99916	99919	99922	99925	99928	99930
3,4	99933	99935	99937	99940	99942	99944	99946	99948	99950	99952
3,5	99953	99955	99957	99958	99960	99961	99963	99964	99966	99967
3,6	99968	99969	99971	99972	99973	99974	99975	99976	99977	99978
3,7	99978	99979	99980	99981	99982	99982	99983	99984	99984	99985
3,8	99986	99986	99987	99987	99988	99988	99989	99989	99990	99990
3,9	99990	99991	99991	99992	99992	99992	99992	99993	99993	99993

 

* Все значения умножены на 100 000.

Приложение  В

 

Таблица значений функции Пуассона

 

m	λ	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0		0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488	0,4966	0,4493	0,4066
1		0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3596	0,3696
2		0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
3		0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
4		–	–	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
5		–	–	–	0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
6		–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0002	0,0003
m	λ	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
0		0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001
1		0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011
2		0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0055
3		0,0313	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150
4		0,0153	0,0902	0,1618	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337
5		0,0081	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607
6		0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911
7		0,0001	0,0034	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1318
8		–	0,0009	0,0081	0,0298	0,0655	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318
9		–	0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,0318
10		–	–	0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1180
11		–	–	0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970
12		–	–	0,0001	0,0006	0,0034	0,0113	0,0264	0,0481	0,0728
13		–	–	–	0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504
14		–	–	–	0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324
15		–	–	–	–	0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194
16		–	–	–	–	–	0,0003	0,0014	0,0045	0,0109
17		–	–	–	–	–	0,0001	0,0006	0,0021	0,0058
18		–	–	–	–	–	–	0,0002	0,0009	0,0029
19		–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0004	0,0014
20		–	–	–	–	–	–	–	0,0002	0,0006
21		–	–	–	–	–	–	–	0,0001	0,0003
22		–	–	–	–	–	–	–