Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид
Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна
Для случайной величины, распределенной по показательному закону: ; . Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону: .
Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: . Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный , и две точки перегиба с ординатой . Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле: , где .
Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал определяется формулой: .
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину (по абсолютной величине), равна: .
«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале : .
ТЕМА 8 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Нижеприведенные утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, имеющих общее название - закон больших чисел.
Неравенство Маркова. Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. . Тогда для любого : , где М (Х) — математическое ожидание Х.
Следствие 1. Так как события и противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде: .
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого : .
Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого : .
Теорема Чебышева. Если последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , ограниченными одной и той же постоянной , то какова бы ни была постоянная , .
Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности р = Р (А): , где — сколь угодно малое положительное число.
Теорема Пуассона. Если производится независимых опытов и вероятность появления события А в -м опыте равна , то при увеличинении частость события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей : , где — сколь угодно малое положительное число.
С АМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №4
№
варианта
Задание
I
а) Среди 6 часов, поступивших в ремонт, у двух имеется такой дефект, как поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить закон распределения числа часов с поломками оси среди трехвыбранных наудачу.
б) За время приема врача посещает в среднем 6 человек в час. Составить закон распределения числа пациентов, посетивших врача в течение часа.
в) Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,48, для второго – 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий. Построить функцию распределения.
г) Задана функция распределения случайной величины Х:
.
Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение большее 0,3, но меньшее 0,7. Найти плотность вероятности распределения случайно величины и ее дисперсию.
д) Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,6 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 100, если случайная величина Х распределена нормально с мм?
II
а) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–2
–1
0
2
4
Р
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
б) Клиенты банка, никак не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
в) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–4
–1
0
4
8
Р
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
г) Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величины Х. Определить вероятность неравенства .
д) В результате изнашивания орудия при каждом выстреле уменьшается вероятность попадания в цель на 0,2%. При первом выстреле эта вероятность равна 0,9. Найти границы числа попаданий при 200 выстрелах, которые гарантируются с вероятностью не менее 0,8.
III
а) Проверке подлежат 4 магазина. Вероятности пройти проверку для этих магазинов, соответственно равны 0,8; 0,4; 0,3; 0,5. Составить закон распределения числа магазинов, не прошедших проверку. Найти числовые характеристики этого распределения.
б) Из 10 телевизоров на презентации новых товаров оказались 7 телевизора фирмы «Самсунг». Наудачу были выбраны 4 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Самсунг» среди 4 отобранных.
в) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–1
9
4
6
3
Р
0,4
0,1
0,3
0,1
0,1
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
г) Дана функция распределения случайной величины Х:
Найти плотность вероятности, а также вероятности .
д) С вероятностью 0,04 изделие имеет дефект. Оценить в каких границах заключено число бракованных изделий в партии из 2000 шт., если за вероятность практической достоверности принять 0,95?
IV
а) Проверкой установлено, что из каждых 10 деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке. Составить закон распределения числа точно изготовленных деталей среди наудачу взятых трех. Построить функцию распределения.
б) На двух станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:
Х: для первого
Х
0
1
2
3
Р
0,1
0,6
0,2
0,1
Y: для второго
Y
0
1
2
Р
0,5
0,3
0,2
Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
в) Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,005. Составить закон распределения числа опоздавших среди 1000 пассажиров некоторого поезда (указать первые 3 члена ряда распределения). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
г) Время ожидания ответа абонента на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины, среднее время ожидания ответа и среднее квадратическое отклонение. Определить вероятность того, что время ожидания ответа не превысит 1 минуты.
д) Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 178 см, а среднеквадратическое отклонение — 5 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 185 см.
V
а) Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,35. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 4 библиотеки.
б) На двух станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:
Х: для первого
Х
1
3
2
Р
0,2
0,5
0,3
Y: для второго
Y
0
2
3
Р
0,1
0,4
0,5
Составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
в) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–4
1
8
2
1
Р
0,2
0,1
0,3
0,1
0,3
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
г) Время ожидания автобуса распределено равномерно в интервале (0; 10). Найти плотность распределения вероятностей времени ожидания, функцию распределения этой случайной величины, среднее время ожидания и вероятность того, что пассажир будет ждать троллейбус не более 4 мин.
д) Вероятность того, что покупатель, вошедший в магазин, приобретет обувь размера 41, равна 0,25. Найти с вероятностью, превышающей 0,95, границы, в которых должно находиться число покупателей, купивших обувь размера 41, из каждой 1000 человек, вошедших в магазин.
VI
а) Завод отправил на склад 50 000 доброкачественных керамических плиток. Вероятность того, что плитка в пути разобьется, равна 0,00002. Составить закон распределения числа поврежденных плиток (указать первые 4 члена ряда распределения). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
0
1
6
2
2
Р
0,3
0,1
0,1
0,2
0,3
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
в) Вероятность успешно сдать экзамен по теории вероятностей составляет 0,7, и при каждой пересдаче увеличивается на 5%. Составить закон распределения числа попыток сдать экзамен, если допускается не более двух пересдач. Построить функцию распределения.
г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1. значение параметра а;
2. дифференциальную функцию распределения f(x);
3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4. построить графики функций F(x) и f(x);.
5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4).
д) Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 2,5 кг. Найти среднеквадратическое отклонение, если 3% коробок имеют массу меньше 2 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
VII
а) Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,8. Составить закон распределения общего числа попаданий. Построить функцию распределения.
б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–1
9
1
6
3
Р
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
в) Среди 15 изготовленных приборов 4 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу 5 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины и построить ее график.
г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1. значение параметра а;
2. дифференциальную функцию распределения f(x);
3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4. построить графики функций F(x) и f(x);.
5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4).
д) Среднее значение расхода воды в некотором населенном пункте составляет 30 000 л в день Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 90 000 л в день.
VIII
а) При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру, но помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа попыток, сделанных абонентом для правильного набора номера.
б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–4
–5
1
6
4
Р
0,1
0,2
0,1
0,3
0,2
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
в) В экзаменационном билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,7, второй — 0,5, третьей — 0,6. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию.
г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1. значение параметра а;
2. дифференциальную функцию распределения f(x);
3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4. построить графики функций F(x) и f(x);.
5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4).
д) Предприятие, занимающееся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со среднеквадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием а. В 80 % случаев число ежемесячных заказов превышает 10000. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
IX
а) Из поступающих в ремонт 12 часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–1
–1
3
5
3
Р
0,2
0,1
0,1
0,3
0,3
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
в) В городе 3 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения.
г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1. значение параметра а;
2. дифференциальную функцию распределения f(x);
3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4. построить графики функций F(x) и f(x);.
5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4).
д) Средний урожай пшеницы в Тамбовском регионе составил 30 центнеров с гектара. Оценить вероятность того что с наудачу взятого гектара урожайность превысит 40 центнеров.
X
а) Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,003. Составить закон распределения числа опоздавших среди 2000 пассажиров некоторого поезда (указать первые 3 члена ряда распределения).
б) Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Х
–4
–3
1
5
10
Р
0,3
0,1
0,2
0,1
0,3
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
в) Три цеха стекольного завода изготовляют продукцию в соотношении 5:2:3. Среди продукции первого цеха в среднем 60% термостойкой, среди продукции второго цеха - 70%, среди продукции третьего цеха – 80%. Найти среднее значение числа термостойких изделий среди наудачу взятых 20 изделий.
г) Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1. значение параметра а;
2. дифференциальную функцию распределения f(x);
3. математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;
4. построить графики функций F(x) и f(x);.
5.вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (-1;4).
д) Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,6. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,7 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,6 не превысит 0,02?
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.200.143 (0.112 с.)