Элементы теории вероятностей и математической статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВО

ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Радько О. Ю.

Элементы теории вероятностей и математической статистики

(практикум по решению задач, часть I)

Задания для самостоятельной работы студентовII курса направления

подготовки 38.03.05 - «Бизнес-информатика»

 

 

Тамбов

Издательство ТГТУ

2016

 

В данной методической разработке содержатся задачи для самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов дневной, очно-заочной и заочной формы обучения по направлению подготовки бакалавров 38.03.05 - «Бизнес-информатика». Представлены задачи по таким темам курса, как: «Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями», «Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей», «Теоремы сложения и умножения вероятностей», «Формула полной вероятности. Формула Байеса», «Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли)», «Дискретная случайная величина», «Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности», «Закон больших чисел». Варианты самостоятельных работ приведены в табл.1. Номер варианта самостоятельной работы определяются в соответствии с порядковым номером студента в списке группы.

Таблица 1

№ студента

Самостоятельная работа №1

Самостоятельная работа №2

Самостоятельная работа №3

Самостоятельная работа №4

 

1	2	3	4	5
1	I	VIII	VII	IX
2	II	IX	VIII	I
3	III	X	VI	III
4	IV	VII	I	VII
5	V	II	II	II
6	VI	VII	III	VIII
7	VII	I	IX	V
8	VIII	VI	VI	VI
9	IX	III	II	VIII
10	X	VI	VII	IX
11	I	IV	IX	IV
12	X	IX	III	X
13	III	VIII	V	II
14	IV	VII	II	VI
15	V	III	IX	III
16	VI	II	IV	VI
17	VII	X	I	V
18	VIII	II	III	VII
19	IX	V	VI	I
20	X	I	VII	III

 

 

Свойства операций над событиями

 

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10) ;
5) ;	11) ;
6)  ø;	12)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

№ варианта	Задание
I	а) Два теннисиста играют подряд две партии. Исходом опыта будем является выигрыш одного из них в каждой партии или ничья. Построить пространство элементарных исходов. б) Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что Вы встретились с первым, вторым и третьим другом. Назовите  события:     1. ;   2. ;      3. ;         4. . в) Пусть события: А – цветет астра, К – цветет кактус, С – цветет сирень. Составьте события: 1.Цветет только кактус; 2. Не цветут два вида цветов; 3. Только два вида цветов цветут.
II	а) Пусть имеются некоторые произвольные события -  А, В, С. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: 1. Произошло только А. 2. Произошло А и В, но С не произошло. 3. Все три события произошли. б) Брошены две игральные кости. Рассмотрим следующие события: А — событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; В — событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпало пять очков. Составить пространство элементарных событий, связанное с данным опытом. в) Пусть события: А – цветет астра, К – цветет кактус, С – цветет сирень. Составьте события: 1. Цветут сирень с кактусом; 2. Только один вид цветет; 3. Что-то цветет; 4. Астра не цветет.
III	а) Пусть имеются некоторые произвольные события -  А, В, С. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: 1. Произошло, по крайней мере, одно из событий. 2. Произошли, по крайней мере, два события. 3. Произошло одно и только одно событие. б) Потенциальный клиент фирмы может увидеть рекламу определенного продукта по телевидению, на рекламном стенде и прочитать в газете. Составить пространство элементарных событий для клиента в этом эксперименте. в) Пусть события: А – цветет астра, К – цветет кактус, С – цветет сирень. Назовите события: 1. ;   2. ;   3. .
IV	а) Пусть имеются некоторые произвольные события -  А, В, С. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: 1. Произошли два и только два события. 2. Ни одно событие не произошло. 3. Произошло не более двух событий. б) Коммерческий директор контактирует с тремя потенциальными покупателями. Под результатом эксперимента понимается последовательность , где каждый из  обозначает продажу или ее отсутствие  товара покупателю. Построить пространство  элементарных событий для данного эксперимента. в) Пусть события: А – цветет астра, К – цветет кактус, С – цветет сирень. Назовите события: 1. ;    2. ;   3. .
V	а) Из множества супружеских пар наугад выбирается одна пара. Событие А: «Мужу больше 40 лет», событие В: «Муж старше жены», событие С: «Жене больше 30 лет». 1. Выяснить смысл событий АВС, А – АВ, 2. Проверить, что б) Испытываются три изделия на надежность. Пусть событие Аk состоит в том, что изделие с номером k   соответствует стандарту.Представить в виде суммы и произведения события  и  следующие события: 1. Хотя бы одно прибор является надежным; 2. Не менее двух приборов являются надежными; 3. Только одно изделие выдержало испытание; 4. Только два изделия оказались надежными. в) Пусть  – события, состоящие в том, что студент с номером i выступил с докладом на семинаре.    Составьте события: 1. Только двое студентов выступили с докладом; 2. Все промолчали; 3. Только третий студент высказался.
VI	а) События А, В и С соответственно означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит не менее трех томов. События и означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго k томов. Что означают следующие события: 1. А + + В + С; 2. АВС; 3. . б)  Наугад задумано некоторое число. Пусть событие А состоит в том, что число делится на 5, а событие В состоит в том, что оно оканчивается нулем. 1. Что означают события А–В и ?                                             2. Совместны ли события  и ? в) Пусть  – события, состоящие в том, что студент с номером i выступил с докладом на семинаре.    Составьте события: 1. кто-то из первых двух студентов выступил с докладом, а третий промолчал; 2. Большая часть студентов промолчала; 3. Не все промолчали.
VII	а) События А, В и С соответственно означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит не менее трех томов. События и означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго k томов. Что означают следующие события: 1. ; 2. ; 3. . б)  Страховой агент предлагает услугу по страхованию ОСАГО трем клиентам. События А, В и С означают, что соответственно первый, второй и третий клиент согласился на заключение данного типа договора. Записать выражения для следующих событий: 1. Все клиенты согласились на страховку; 2. Хотя бы один клиент согласился на страховку; 3. Только один клиент согласился на страховку; 4. Только первый клиент согласился на страховку. в) Пусть  – события, состоящие в том, что студент с номером i выступил с докладом на семинаре.    Назовите события:  1. ; 2. ;    3. ;     4. .
VIII	а) Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что Вы встретились с первым, вторым и третьим другом. Запишите выражения для следующих событий: 1.Вы с друзьями Вы не встречались; 2.Вы встречались только со вторым другом; 3. С кем-то Вы не встретились; 4. Вы встретились с большей частью друзей. б)  Страховой агент предлагает услугу по страхованию ОСАГО трем клиентам. События А, В и С означают, что соответственно первый, второй и третий клиент согласился на заключение данного типа договора. Назвать события: 1. ; 2. ; 3. ; 4. . в) Пусть  – события, состоящие в том, что студент с номером i выступил с докладом на семинаре.    Назовите события:  1. ;    2. ;     3. .
IX	а) Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что Вы встретились с первым, вторым и третьим другом. Запишите выражения для следующих событий: 1. у Вас состоялась встреча только с одним другом; 2. Вы встретились с кем-то из первых двух друзей, а с третьим другом – нет; 3. со вторым другом Вы не встретились. б) Пусть событие А – выигрыш по билету лотереи «Золотой ключ», а событие В – выигрыш по билету лотереи «Спортлото», что что означают следующие два события: . в) Пусть  – события, состоящие в том, что машина с номером i находится на стоянке. Составьте события: 1. Можно уехать на машине; 2. Только одна машина стоит на стоянке; 3. Двух машин нет на стоянке; 4. Только две машины стоят на стоянке.
X	а) Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что Вы встретились с первым, вторым и третьим другом. Назовите  события:     1. ; 2. ;       3. . б) В урне 6 синих, 3 красных и 4 желтых шара, пронумерованных от 1 до 10. Из нее наудачу достали 1 шар. Пусть событие A заключается в том, что достали синий шар, событие B – достали красный шар, событие C – достали желтый шар, событие D – достали шар с четным номером, событие E – достали шар с номером, кратным 3. Сформулируйте, что означает событие . в) Пусть  – события, состоящие в том, что машина с номером i находится на стоянке. Назовите события:   1. ; 2. ;    3. ;     4. .

ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Комбинаторика (от лат. соmbinatio — соединение)— это раздел математики, который изучает методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций. в Существуют  два важных правила, часто применяемые при решении комбинаторных задач.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2

 

№ варианта	Задание
I	а) Сколько существует различных 8-значных чисел, состоящих из цифр 2, 4 и 7, в которых цифра 2 повторяется 3 раза, цифра 4- 2 раза, цифра 7-3 раза? б) Решить уравнение: . в) На пяти карточках разрезной азбуки написаны буквы К, А, Р, Е, Т, А. После того как их тщательно перемешают, берут наудачу по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что при случайном отборе и расположении: всех этих карточек в ряд получится слово «РАКЕТА»? г) В магазин поступило 30 холодильников, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается один холодильник для проверки. Какова вероятность, что он не имеет скрытых дефектов? д) Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется четной, причем на грани одной из костей окажется число 4.
II	а) В буфете продается 6 видов пирожных. Сколько различных наборов по 3 пирожных можно составить при том условии, что пирожные могут присутствовать одинаковые пирожные? б) Решить уравнение: . в)  На пяти карточках разрезной азбуки написаны буквы К, А, Р, Е, Т, А. После того как их тщательно перемешают, берут наудачу по одной и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что при случайном отборе и расположении 3-х из этих карточек в ряд получится слово «РАК»? г) На пронумерованных карточках написаны буквы Б, Б, А, Р, А, А, Н. Карточки перемешиваются, а  затем наугад достают по очереди и располагают в порядке извлеченичя. Какова вероятность, что получится слово «БАРАБАН»? д) При транспортировке ящика, в котором находились 50 стандартных и 11 нестандартных деталей, была утеряна одна деталь, причем, неизвестно, какого качества. Случайным образом выбранная из ящика после транспортировки деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна стандартная деталь.
III	а) Сколькими способами можно из группы студентов, в составе которой 20 человек, случайным образом вызвать трех человек к доске? б) Решить уравнение: . в) Номер телефона  состоит из 10 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: 1. различны; 2. нечетные; 3. различны и четные? г) На шести карточках написаны буквы А, А, Т, Т, Л, Н. Карточки перемешиваются, а затем наугад достают по очереди и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что получится слово «АТЛАНТ»? д) При транспортировке ящика, в котором находились 50 стандартных и 11 нестандартных деталей, была утеряна одна деталь, причем, неизвестно, какого качества. Случайным образом выбранная из ящика после транспортировки деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна нестандартная деталь.
IV	а) Сколькими способами можно случайным образом из 30 лучших студентов курса выбрать 3-х для поездки в Норвегию и Швецию? б) Решить уравнение: . в) В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут: 1. на четвертом этаже; 2. на одном этаже; 3. на разных этажах. г) На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятность следующих событий:  1. А = {появится число 123};  2. В = {появится число, не содержащее цифры 2};  3. С = {появится число, состоящее из последовательных цифр}. д) Задумано некоторое двузначное число. Найти вероятность того, что этим числом окажется случайно названное двузначное число.
V	а) Расписание одного учебного дня школьника содержит шесть разных дисциплин. Определить количество возможных расписаний, если имеется выбор из 15 различных дисциплин. б) Решить уравнение: . в) Из полного набора домино в произвольном  порядке выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется: 1. по крайней мере, одна кость с пятью очками; 2. хотя бы одна кость с 5 или 6 очками; 3. только одна кость с 5 или 6 очками. г) В течение семи дней случайным образом поступают сообщения о банкротстве одного из пяти банков, назовем их условно А, В, С, D, Е. Чему равна вероятность того, что сообщение о банкротстве банка В не следует сразу же за сообщением о банкротстве банка А? д) Задумано некоторое двузначное число. Найти вероятность того, что этим числом окажется случайно названное двузначное число, цифры которого различны.
VI	а) Для обозначения автобусного маршрута используют фонари трех разных цветов. Какое количество маршрутов можно обозначить, если использовать фонари четырех разных цветов? б)  Решить уравнение: . в) Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4. Найти вероятность следующих событий, в полученной выборке: 1. все карты бубновой масти; 2. окажется хотя бы одна дама. г) Наудачу подбрасывают три игральные кости. Определить вероятности того, что: 1. на трех костях выпадут разные грани; 2. хотя бы на одной из костей выпадет шестерка? д) Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 1. сумма выпавших очков равна семи; 2. сумма выпавших очков равна восьми, а разность равна четырем.
VII	а) Кодовый замок открывается только тогда, когда набран правильный четырехзначный номер. Наугад набираются четыре цифры из заданных шести. Номер был угадан только на последней попытке. Сколько попыток ей предшествовало? б)  Решить уравнение: . в) В подъезде дома установлен кодовый замок. Дверь автоматически отпирается, если одновременно нажать на 3 кнопки с цифрами кода из имеющихся 10 кнопок. Какова вероятность того, что человеку, не знающему код, удастся с первого раза открыть дверь? г) Из 10 яблок, 4 апельсинов и 6 лимонов случайным образом в пакет отбирается 5 фруктов. Какова вероятность того, что в пакете: 1. нет апельсинов; 2. только один апельсин. д) Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 1. сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность  равна четырем. 2. произведение выпавших очков равно четырем, а сумма равна пяти.
VIII	а) Одна ладья на шахматной доске может взять другую, если они находятся на одной вертикали или горизонтали. Сколько существует способов расположения двух ладей на шахматной доске, при которых одна из них может взять другую? б)  Решить уравнение: . в) В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр, Найти вероятность того, что: 1. четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; 2. все четыре последние цифры телефонного номера различны. г) Из 10 яблок, 4 апельсинов и 6 лимонов случайным образом в пакет отбирается 5 фруктов. Какова вероятность того, что в пакете: 1. окажется 2 яблока; 2. хотя бы один лимон. д) Монетка подбрасывается дважды. Найти вероятность того, что в результате данного опыта «орел» выпадет хотя бы один раз.
IX	а) Одна ладья на шахматной доске может взять другую, если они находятся на одной вертикали или горизонтали. Сколько существует способов расположения двух ладей на шахматной доске, при которых одна из них не может взять другую? б) Решить уравнение: . в) В урне находятся 18 деталей, из которых 6 окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3. Найти вероятность того события, что все извлеченные детали окажутся окрашенными. г) Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 5 цифр. Оператор забыл необходимую комбинацию цифр. С какой вероятностью можно открыть замок с первой попытки, если:  1. все цифры в коде не повторяются;  2. если повторяются. д) Телефонный справочник раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:  1. А = «четыре последние цифры телефонного номера одинаковы»;  2. В = «все цифры различны».
X	а) Сколько различных аккордов можно сыграть на восьми клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от двух до восьми звуков? б) Решить уравнение: . в) Экзаменационная программа содержит 30 различных вопросов, из которых студент знает половину. Для того, чтобы сдать экзамен, студенту необходимо ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена? г) В лотерее 250 билетов. Из них 50 выигрышных. Определить вероятность того, что 3 приобретенных билета окажутся выигрышными. д) Телефонный справочник раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий: 1. А = «номер начинается с цифры 5»; 2. В = «номер содержит три цифры 6, две цифры 5 и две цифры 3».

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3

                             

№ варианта	Задание
I	а) Вероятность того, что потенциальный клиент увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,07. Найти  вероятность того, что потребитель увидит  оба рекламных объявления. б) Студент выучил к зачету 12 вопросов из 30. Ему поочередно  предлагают три вопроса. Найти вероятность того события, что он не ответит только на третий из них. в) На склад поступают изделия трех фабрик. Продукция первой фабрики содержит 30 % изделий со скрытым дефектом, второй — 20 % и третьей — 15 %. Какова вероятность приобрести исправное изделие, если в магазин со склада  поступило 40 % изделий с первой фабрики, 30 % — со второго и 60 % — с третьей? г) Два станка производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 40 % деталей отличного качества, а второй — 80 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена1-м автоматом.. д) Изделия производителя N содержат 7 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий нет ни одного испорченного.
II	а) Сеть кафе, торгующих хот-догами и гамбургерами, установила, что 45% всех посетителей используют горчицу, 80% – кетчуп, а 35% – и то, и другое. Какова вероятность, что случайно взятый клиент будет использовать хотя бы одну из этих приправ? б) Два охотника стреляют в цель. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,6, для второго — 0,5. Определить вероятность попадания в цель, если каждый охотник делает по одному выстрелу.  в)  Курс евро повышается в течение квартала с вероятностью 0,7 и понижается с вероятностью 0,2. При повышении курса евро фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,75; при понижении — с вероятностью 0,6. Найти вероятность того получения прибыли фирмой. г) Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 70 % деталей отличного качества, а второй — 80 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена 2-м автоматом д) Изделия производителя N содержат 4 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий будут два испорченных.
III	а) Сеть закусочных, торгующих хот-догами и гамбургерами, установила, что 75% всех посетителей используют горчицу, 80% – кетчуп, а 65% – и то, и другое. Какова вероятность, что он будет использовать только кетчуп? б) Два охотника стреляют в цель. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0,4, для второго — 0,8. Определить вероятность попадания в цель, если каждый охотник делает по два выстрела.  в) В коробке лежит 25 теннисных мячей, из которых 12 новых и 8 игранных. Наудачу выбираются два мяча, которые после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? г) Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин как 6:4. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,4, легковая — 0,8. Найти вероятность того, что заправляющаяся у бензоколонки машина — грузовая. д) Синоптиками установлено, что в Тамбовской области в мае в среднем бывает 8 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 5 дней 2 дня окажутся дождливыми?
IV	а) Вероятность того, что потенциальный клиент увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,07. Найти  вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одно рекламное объявление. б) Вероятности сдачи каждого из 3 экзаменов сессии на отличную оценку для студента Иванова равны соответственно 0,85; 0,6 и 0,55. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично все три экзамена. в) На конвейер поступают детали с трех станков-автоматов, производительности которых соотносятся, как 2:4:6. Брак в продукции этих автоматов составляет 3%, 5% и 4% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов окажется  стандартной. г) Три охотника одновременно и независимо друг от друга стреляют в лося. Известно, что первый попадает в цель с вероятностью 0,7, второй — 0,8, а третий — 0,3. Лось убит, и в нем обнаружены две пули. Как делить лося? д) В коммерческий банк поступило 5 заявлений от юридических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого равна 0,75. Найти вероятность того, что будет выдано ровно 3 кредита.
V	а) На предприятии 15 % работников получают высокую заработную плату. Известно, что 30 % работников фирмы — женщины, а 7 % работников — женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? б) Вероятность сдать каждый из 3 экзаменов сессии на отлично для студента Иванова м равны соответственно 0,85; 0,7 и 0,45. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично   два экзамена. в) Из партии в 5 деталей наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновероятно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность? г) Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,3; 0,5; 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы 0,7; для второй – 0,4; для третьей – 0,5. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что эта была вторая касса. д) В коммерческий банк поступило 5 заявлений от юридических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого равна 0,75. Найти вероятность того, что будет выдано не менее двух кредитов.
VI	а) Вероятность дать хотя бы один верный ответ при опросе преподавателем четырех студентов равна 0,9984. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент даст правильный ответ на заданный вопрос. б) Вероятность сдать каждый из 3 экзаменов сессии на отлично для студента Иванова м равны соответственно 0,85; 0,6 и 0,55. Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично   хотя бы один экзамен. в) Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что число бракованных изделий равно 6. г) Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу обследованный человек оказался дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина? д) Экзаменационный билет состоит из пяти вопросов в виде теста с тремя возможными ответами на каждый из пяти вопросов, из которых нужно выбрать один правильный. Какова вероятность сдать экзамен методом угадывания, если достаточно ответить хотя бы на три вопроса?
VII	а) В ящике имеется  шесть новых и десять использованных электроламп. Случайным образом из ящика извлечены 3 лампы. Какова вероятность, что все лампы окажутся новыми, если осуществляется выбор без возвращения? б)  Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего  составляет  0,75; второй - 0,8; третий - 0,55. Какова вероятность того, что в течение часа произойдут следующие события: 1. ни один станок не потребует внимания рабочего; 2. все три станка потребуют внимания рабочего. в) Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что взятое бракованное изделие единственно. г) Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:3, причем вероятности брака для этих заводов равны 0,04, 0,05 и 0,01 соответственно. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе? д) После года хранения на складе в среднем 20% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 6 аккумуляторов окажутся годными 4.
VIII	а) В ящике имеется  шесть новых и десять использованных батареек. Случайным образом из ящика извлечены 3 батарейки. Какова вероятность, что все батарейки окажутся новыми, если осуществляется выбор с возвращением? б)  Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего составляет 0,45; второй - 0,6; третий - 0,75. Какова вероятность того, что в течение часа произойдут следующие события: 1. какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; 2. хотя бы один станок потребует внимания рабочего. в) В двух ящиках по 40 деталей, из которых в первом ящике – 20, а во втором – 25 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй ящик одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной. г) В урне лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар, и после тщательного перемешивания один шар извлекается. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар? д) д) После года хранения на складе в среднем 20% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность того, что после года хранения из 6 аккумуляторов годными окажутся больше половины.
IX	а) В течение года фирмы А, В, С, независимо друг от друга, могут обанкротиться с вероятностями 0,04; 0,07 и 0,09 соответственно. Найти вероятности следующих событий: 1. все три фирмы будут функционировать; 2. все три фирмы обанкротятся; 3. только одна фирма обанкротится. б) Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится 1. с возвращением; 2. без возвращения. в) В магазин поступили телевизоры, произведенные двумя заводами. Среди них 60% изготовлены первым заводом, остальные – вторым. Известно, что 2% телевизоров первого и 4% телевизоров второго заводов имеют дефекты. Какова вероятность того, что взятый наудачу телевизор окажется бездефектным? г) Количество акций, представленных 4 различными фирмами на рынок, относятся как 3: 4: 2: 5. Вероятности того, что акции будут котироваться по 10 тыс. за каждую для этих предприятий соответственно равны 0,3; 0,5; 0,9; 0,8. Известно, что цена случайно выбранной акции составила 10 тыс. руб. Найти вероятность того, что эта акция представлена первым предприятием. д) Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 80% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 10 наудачу выбранных изделий будет не менее 6 изделий первого сорта?
X	а) В течение года фирмы А, В, С, независимо друг от друга, могут обанкротиться с вероятностями 0,03; 0,05 и 0,05 соответственно. Найти вероятности следующих событий: 1. ни одна фирма обанкротится; 2. только две фирмы обанкротятся; 3. хотя бы одна фирма обанкротится. б) Наудачу подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность того, что произойдут следующие события: 1. сумма выпавших очков четна; 2. произведение очков четно; 3. на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно; в) Имеется два ящика деталей, причем в первом ящике все детали доброкачественны, а во втором только половина. Наудачу взятая деталь из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому или второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково? г) В двух урнах находятся черные и белые шары. В первой урне три белых и три черных шара, во второй – четыре белых и пять черных. Из первой и второй урн, наугад берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и наугад выбирается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. д) Какое событие является более вероятным – выиграть у равносильного противника не менее 2 партий из 4 или не менее 3 партий из 6?

Распределение Пуассона

 

Если число испытаний велико, а вероятность появления с