Оценка случайных погрешностей

Пусть в результате большого числа n измерений получены следующие значения измеряемой физической величины х:

                                             х₁, х₂,... х_n.                                                                    (4)

Среднеарифметическое значение величины х равно:

                                                                                          (5)

Среднеарифметическая погрешность вычисляется по формуле:

                      .                               (6)

Среднеквадратическая погрешность определяется по формуле:

                                        (7)

Грубые оценки интервала, к которому принадлежит истинное значение х измеряемой величины, имеет вид доверительного интервала:

                                   .                                         (8)

 

Недостатком оценки (8) является отсутствие данных о степени ее надежности. В связи с этим с помощью теории вероятностей получены более строгие, чем (8) оценки погрешности измерений.

Пусть  измеренных значений величины x принадлежат интервалу:

                                                .                                                     (9)

Составим отношение . Величина

                                                         (10)

есть вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х принадлежит интервалу. Поскольку , то вероятность р удовлетворяет условию:

                                                   .                                                                 (11)

Гаусс предложил, что:

ошибки разных знаков равновероятны;

чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность;

число проделанных измерений n достаточно велико;

ширина интервала (9) достаточно мала.

При выполнении этих условий, как показал Гаусс, вероятность Р того, что истинное значение измеряемой величины принадлежит интервалу , может быть оценена по формуле:

                                        ,                                                             (12)

где функция  имеет вид:

                                                                                         (13)

Функция  называется функцией распределения Гаусса. Формула (12) тем точнее, чем меньше  и чем больше число измерений n.

Полученные Гауссом результаты позволили сформулировать и решить вопрос о погрешности измерений при влиянии случайных ошибок. Поставим вопрос следующим образом: указать тот интервал

 

                                       ,                                                       (14)

 

к которому с заданной вероятностью («надежностью») принадлежит истинное значение измеряемой физической величины х. Этот интервал называют доверительным интервалом. (Обычно в физическом практикуме задается надежность ). Ответ на этот вопрос следующий:

 

                                          , ,                                                            (15)

 

где величина t, называемая коэффициентом Стьюдента, зависит от числа измерений n, а также от степени требуемой надежности (таблица 1).

 

Таблица 1 – Значения коэффициентов Стьюдента при различной надежности и разном числе измерений

n\P	0,5	0,7	0,9	0,95	0,98	0,999
2	1,00	2,00	6,30	12,7	31,8	636,6
3	0,82	1,3	2,90	4,30	7,0	31,6
4	0,77	1,25	2,4	3,2	4,5	12,9
5	0,74	1,2	2,1	2,8	3,7	8,6
6	0,73	1,15	2,0	2,6	3,4	6,9
7	0,72	1,1	1,9	2,4	3,1	6,0
8	0,71	1,1	1,9	2,4	3,0	5,4
9	0,71	1,1	1,9	2,3	2,9	5,0
10	0,70	1,1	1,8	2,3	2,8	4,8
20	0,69	1,1	1,7	2,1	2,5	3,9
60	0,68	1,0	1,7	2,0	2,4	3,5
	0,67	1,0	1,6	2,0	2,3	3,3

 

Относительная ошибка определяется по Формуле

                                                                                                       (16)

Итак, алгоритм обработки результатов многократных измерений физической величины х следующий.

1. Провести n измерений и зафиксировать результаты единичных измерений .

2. По формуле (8) определить среднеарифметическое значение  величины х.

3. Вычислить отклонения единичных измерений от среднеарифметического значения по формуле

4. Вычислить величины , .

5. Вычислить среднеквадратичную погрешность по формуле (7).

6. Задать надежность р (обычно ) и определить из таблицы 1.1 коэффициент Стьюдента для n измерений.

7. Вычислить величину  по формуле (15).

8. Представить результат в стандартном виде с указанием его надежности:

, .

9. Вычислить относительную ошибку по формуле (16).