Описание экспериментальной установки. Общий вид установки изображен на рис. 6. 2

 

 

Общий вид установки изображен на рис.6.2. Подставка 1 оснащена регулируемыми ножками 2, которые позволяют сделать выравнивание прибора. На подставке закреплена колонна 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижной нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик №1 (7) и вороток 8 для закрепление и регулирования длины бифилярной подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком №2 (9) можно перемещать вдоль колонны и фиксировать в произвольно выбранном положении. Маятник 10 прибора - это ролик, закрепленный на оси и подвешенный на бифилярном подвесе, на который накладываются сменные кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Задание 1

1. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она обматывалась равномерно - виток к витку. Фиксировать маятник с помощью электромагнита, обращая внимание на то, чтобы нить при этом положении была не очень затянута. Вернуть маятник в направлении его движения на угол около 5⁰. Нажать клавишу "Сброс". Нажать клавишу «Пуск». Посчитать измеренное значение времени падения маятника. Провести измерение времени не менее 5 раз. По шкале на вертикальной колонне прибора определить длину маятника.

Данные занести в таблицу 6.1.

 

Таблица 6.1 – Расчет экспериментального значения момента инерции  маятника Максвелла

t 1 =           (с)	t 2 =            (с)	t 3 =                  (с)	t 4 =            (с)	t 5 =                  (с)
=                  (кг·м^2)

2.  Измерить параметры маятника. Данные занести в таблицу 6.2.

Таблица 6.2 – Расчет теоретического значения момента инерции  маятника Максвелла

	Масса, (кг)	Линейные размеры, (м)	Моменты инерции,  кг·м^2
Момент инерции стержня (оси)	m0=	D0 =
Момент инерции диска	mD=	DD =
Момент инерции кольца	m k =	Dk =
Момент инерции  маятника

3. Определить массу маятника вместе с кольцом по формуле:

                                              (6.9)

где m₀ - масса оси маятника;

m_k - масса кольца;

m_D - диска.

4. По формуле (6.8) определить момент инерции маятника .

5. Вычислить относительную и абсолютную ошибки его определения   (см. Приложение А):

6. Теоретическое значение, рассчитанное по формуле:

где J _o – момент инерции оси маятника;

J _D – момент инерции ролика;

J _к – момент инерции кольца.

Значение отдельных моментов инерции определяются по формулам:

Окончательный результат представьте в виде:

Задание 2

1. Определить с помощью маятника Максвелла силу сопротивления воздуха.

2. Согласно закону сохранения энергии:  

т.е. работа силы трения равна изменению полной механической энергии

3. По определению механической работы: ,

где S – перемещение тела, F_С – сила сопротивления воздуха.

4. Изменение полной механической энергии равно изменению потенциальной энергии маятника: , где h ₁ – расстояние, на которое маятник опустится за один ход, h ₂ – расстояние, на которое маятник опустится за следующий ход, m – масса маятника.

5. Тогда перемещение маятника будет равно: .

6. Следовательно, сила сопротивления воздуха рассчитывается по формуле:

.

7. Опыт повторить 5 раз. Полученные значения занести в таблицу 6.3.

Таблица 6.3 – Расчет силы сопротивления воздуха

№ п/п	h 1, (м)	h 2, (м)	F С, (Н)
1
2
3
4
5

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

 

1. Определить возможные источники погрешности измерения.

2. Получить выражение (6.8).

3. Закон сохранения энергии для случаев:

1) сохранения механической энергии,

2) перехода механической энергии в немеханические виды энергии.

4. Как определяется кинетическая энергия при:

1) поступательном движении?

2) вращательном движении?

3) вращательно-поступательном движении?

5. Как формулируется теорема об изменении кинетической энергии при поступательном движении и вращательном движении?

 

ЛИТЕРАТУРA:[1, с.93-97], [2, с.53-60], [3, с.127-205], [4, с.99-115]

Лабораторная работа № 1.7
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

 

 

Цель работы: изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом силы трения; оценка роли трения как источника систематической погрешности при определении ускорения свободного падения на лабораторной установке.

Оборудование: установка «Машина Атвуда», набор грузов, электронный секундомер.

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Ускорение свободного падения g можно найти с помощью простого опыта: бросить тело с известной высоты h и измерить время падения t, а затем из формулы  вычислить g.

В действительности дело обстоит не так просто, если требуется определить g достаточно точно. Определим время  падения с высоты м при g, равном 9,8 м/с²:

.

По нашей оценке при проведении такого эксперимента необходимо измерять время с точностью до 0,01 с. Оценим разброс для t ₁=0,44 с; t ₂=0,45 с; t ₃=0,46 с по формуле :

Понятно, что измерить время с точностью до 0,01с не просто. Наручные часы или спортивный секундомер для такой цели непригодны.

Если увеличить высоту, то время падения тоже увеличится. Так, при h =5м время падения будет 1 с, а при h =20 м – 2 с. В этом случае можно ограничиться меньшей точностью при измерении времени, например 0,01 с, но возникает ошибка другого характера.

Сопротивление воздуха при больших скоростях играет заметную роль. Формула  описывает равноускоренное движение и, конечно, не учитывает сопротивления воздуха. Таким образом, увеличивая высоту h, мы увеличиваем время падения и уменьшаем относительную погрешность измерения времени, но при этом вносим другую ошибку: сама формула  становится неточной. Более того, если кирпич сбросить с высоты h =500 м, то пример но первые 200 м он будет двигаться с ускорением, а затем сила сопротивления воздуха станет равной силе тяжести (это будет при скорости примерно 70 м/с) и тело остальные 300 м будет падать с постоянной скоростью . В этом случае формула  становится неверной. Этот простой пример наглядно подчеркивает общую черту любого физического эксперимента. В любом эксперименте точность измерений какой-либо физической величины связана не только с точностью измерительных приборов, но и с тем, насколько точно принятая модель описывает данный опыт. В рассматриваемом нами опыте мы видим, что точность измерения ускорения g связана не только с точностью измерения времени t. но и с тем, можно или нет пренебречь трением о воздух. Иными словами, достаточно точно или нет описывает формула  движение тела. Трудности опыта связаны с большим значением ускорения свободного падения. Так как ускорение большое, то тело быстро набирает скорость, а при этом или время падения мало и его трудно точно измерить, или сама формула  не точна.

Уменьшить  ускорение  можно  с  помощью  устройства, которое называют машиной Атвуда (рис. 7.1).

Через блок перекинута нить, на которой закреплены грузы массой М каждый. На один из грузов кладется перегрузок массой m. Ускорение грузов легко найти, если ввести два предположения (выбрать модель!):

1) блок и нить невесомы, т. е. их массы равны нулю;

2) трением тела о воздух и трением между блоком и его осью можно пренебречь.

С учетом этих предположений уравнения движения грузов имеют вид

                                                        (7.1)

где Т – сила натяжения нитей, а – ускорение грузов. Из уравнений (7.1) получаем

                                         (7.2)

где .

Время, за которое груз опускается на высоту , равно

                                                      (7.3)

Формально из выражения (7.3) следует, что время падения груза может быть сколь угодно большим, если уменьшить . Например, если взять грузы массами М = 5 кг каждый, перегрузок массой m = 1 г, то , а время спуска груза с высоты h = 1 м примерно равно 45 с. Это время можно достаточно точно измерить секундомером. Однако реально такой опыт невыполним. Мы предположили, что трение в оси блока отсутствует. Но в действительности оно есть. Весь вопрос в том, можно ли им пренебречь или нет.

Если подвести к блоку на нитях тяжелые грузы, то в оси блока будет большая сила трения. Чем массивнее грузы, тем больше сила трения. Значит, необходимо брать достаточно тяжелый перегрузок, чтобы преодолеть эту силу трения и привести всю систему в движение.

Сделаем теперь количественные оценки. Пусть  – масса такого перегрузка, который только-только страгивает блок с грузами. Это значит, что любой перегрузок меньшей массы не приводит систему в движение. В этом случае момент сил натяжения нитей равен моменту силы трения М _тр в оси блока:

       ,                          (7.4)

где  и  – силы натяжения нитей, R радиус блока (рис. 7.2).

Момент силы трения в оси блока , где  – сила трения между блоком и осью,  – радиус оси.

Сила трения  между блоком и осью пропорциональна силе давления на оси блока. Тогда

.

где  – коэффициент трения между блоком и осью, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей втулки блока и оси, смазки и т.п. Таким образом, момент силы трения в оси блока

                                        (7.5)

Обозначим . Подставим (7.5) в (7.4):

.                                                (7.6)

Как видно из (7.6), значение  не может быть сколь угодно малым. Оно определяется конструкцией блока (например, его радиусами R и r) и коэффициентом трения между блоком и осью.

Так как в машине Атвуда m ₀<< M, то ε₀<<1 и

.

Типичное значение коэффициента трения µ~10^-2÷10^-1. На наших установках . Таким образом,  Мы привели лишь правдоподобные рассуждения о том, каким может быть . Существенно то, что  можно оценить экспериментально. Например, на установке с грузами массой М = 86 г перегрузок массой 1 г не страгивает блока, а перегрузок массой 2 г приводит блок в движение. Это значит, что

В таком случае оценить , характеризующую установку, можно лишь по порядку величины. Как оказывается, она порядка 10^–2. Интуитивно ясно, что трением можно пренебречь, если масса перегрузка m >> m₀.

Действительно, если масса перегрузка чуть больше , то трение в оси блока будет решающим образом определять движение грузов. Это движение, уже не будет равноускоренным. Может, даже случиться, что система будет двигаться рывками, т.е. остановится, затем снова придет в движение и т.д.

Таким образом, при , т.е. при , формула (7.2) становится неверной. Можно ожидать, что при ε << ε₀ она достаточно точно описывает реальную ситуацию. Так как , то оптимальное значение ε~10^-1. Это значит, что экспериментировать надо с перегрузками 5–20г (при М =86 г). Если взять ε~1, то a ~ g. Мы приходим к случаю почти свободного падения.

Можно показать, (см. контрольный вопрос 2), что относительная погрешность при определении ускорения грузов, связанная с пренебрежением массой блока и трением, равна

                                                                                                        (7.7)

где  – масса блока.

Так как величины  и  одного и того же порядка , то и относительная погрешность при измерении ускорения  Очевидно, что такого же порядка будет и относительная погрешность при измерении g.

 

 

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

 

 

В первую очередь необходимо определить минимальную массу перегрузка m₀, страгивающего блок, с тем чтобы в дальнейшем проводить измерения с грузами, в 5–10 раз превышающими по массе m₀. Только в этом случае можно пренебречь влиянием трения на движение системы. Не следует стремиться определить m₀ точно, достаточно получить ее правильную оценку «сверху», например выяснить, что m₀ не превышает 1 г или 2 г. Для определения m₀ можно постепенно увеличивать массу перегрузка, пока блок не придет в движение. Так как блок не может быть отцентрирован идеально, то может оказаться, что в различных начальных положениях блока, массы страгивающего перегрузка различны. Поэтому нужно повторить измерения m₀ в разных положениях блока, а затем, в качестве оценки для m₀, взять наибольшее из найденных значений.

Следует убедиться, что движение системы при достаточно большой фиксированной массе перегрузка m >> m₀ является равноускоренным. Для этого нужно экспериментально проверить выполнение зависимости . Удобно переписать это соотношение в виде

из которого ясно, что в осях координат ,  прямая , проходящая через начало координат, соответствует равноускоренному движению.

Прямая  может быть построена по экспериментальным точкам: для одного перегрузка  и ряда различных значений высоты  измеряется время падения груза. Измерение времени для каждой высоты производятся несколько раз, результаты усредняются и записываются в виде

где  – среднее арифметическое значение измеренного времени падения для данной высоты. В условиях эксперимента погрешность  оказывается заметно превышающей погрешность в показаниях электронного миллисекундомера , а именно:

Поэтому было бы грубой ошибкой считать, что погрешностью определения времени падения равна

Для построения графика на оси ординат откладываются измеренные значения  с указанием погрешности

.

где  – число измерений,  результат го измерения.

На оси абсцисс откладывается . Если полученные экспериментальные точки ложатся на прямую, то движение тела можно считать равноускоренным.

Наконец, важно выяснить, подтверждается ли на опыте зависимость времени падения от массы m перегрузка [см. (7.2)]:

                                                              (7.8)

В осях координат  функция  является уравнением прямой. Зависимость  при фиксированной высоте падения h может быть построена по экспериментальным точкам: для нескольких значений массы перегрузка определяется время падения .

Измерение времени падения при каждом m повторяют несколько раз, результаты усредняют и находят среднее значение  и разброс . Полученные экспериментальные данные откладываются на осях координат: на оси ординат – значения  с указанием погрешности , на оси абсцисс – соответствующие значения , затем через полученные точки проводится прямая, и по ее наклону определяется значение g.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

 

1. Определите массу m₀ страгивающего перегрузка. Для этого, постепенно увеличивая массу m перегрузка, определите с точностью до 0,5 г значение m₀, начиная с которого блок приходит в движение. Измерения повторите при четырех положениях блока, каждый раз поворачивая блок примерно на 90° по отношению к предыдущему положению. В качестве m₀ следует принять наибольшее из найденных значений.

2. Определите экспериментально зависимость времени падения t груза от высоты h. Измерения проведите при определенном выбранном значении массы перегрузка  При этом необходимо также, чтобы выполнялось неравенство

 

 

Определите время падения t для пяти высот h, повторяя измерения для каждого значения h по четыре раза. Результаты занесите в таблицу 7.1.

Таблица 7.1 – Экспериментальные данные

Здесь  - результаты измерения времени падения с установленной высоты

По результатам измерений в осях координат  постройте прямую . По наклону прямой определите а.

3. Определите опытным путем зависимость времени падения t от массы т перегрузка. Измерения проводите при наибольшей возможной высоте падения  для пяти значений массы . Для каждого значения т повторите измерения четыре раза, результаты занесите в таблицу 7.2.

Таблица 7.2 – Экспериментальные данные

 

Все значения массы т перегрузка должны лежать в диапазоне:

m₀<< m<<2 M= 172г

В нашей лабораторной установке точность  определения массы по существу совпадает со значением массы т ₀ перегрузка.

По результатам измерений в осях координат  постройте прямую   (рис. 7.3).

По наклону прямой с помощью соотношения (7.8) определите ускорение свободного падения g и погрешность .

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

 

1. Законы Ньютона.

2. Проведите анализ второго закона Ньютона.

3. Дать определение поступательном движении. Привести примеры.

4. Записать законы пути и скорости для равномерного движения.

5. Записать законы пути и скорости для равноприскореного движения.

6. Какой физический смысл массы?

7. Когда тело можно рассматривать как материальную точку? Привести примеры.

8. Указать границы применения законов Ньютона.

9. Почему измеренное ускорение свободного падения меньше, а не больше, чем 9,8 м/с²?

10. Какова относительная погрешность измерения g?

11. Блок представляет собой тонкий обруч массой  с невесомыми спицами и втулкой (рис. 7.4). Радиус обруча R, радиус втулки . Втулка насажена на ось. Коэффициент трения между втулкой и осью . Через блок перекинута нить, на которой укреплены грузы массой М и перегрузок массой т. Определите ускорение а системы и относительную погрешность , связанную с пренебрежением трением и массой блока.

 

 

ЛИТЕРАТУРA:[1, с.77-79], [2, с.53-60], [4, с.99-115]

 

Лабораторная работа № 1.8
ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА ПРИ ПОМОЩИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: с помощью физического маятника проверить выполнение теоремы Гюйгенса-Штейнера; научиться определять момент инерции тел при помощи физического маятника.

Оборудование: маятники универсальные ФПМ-04 -для изучения законов колебания.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

 

Физический маятник

Физическим маятником называют твёрдое тело, совершающее колеба­ния относительно горизонтальной неподвижной оси, несовпадающей с центром масс, под действием силы тяжести.

Пусть центр масс маятника находится в точке С на расстоянии а от оси вращения О. Так как ось неподвижна, то движение маятника определяется основным уравнением динамики вращательного движения твёрдого тела с за­крепленной осью вращения (см. рис. 8.1).

;                                         (8.1)

где J – момент инерции физического маятника относительно оси вра­щения О,  – угловое ускорение, М - суммарный момент сил, действующих на маятник.

Суммарный момент сил складывается из момента силы тяжести

                                  (8.2)

и момента силы трения, модуль и направление которого зависит от угловой скорости маятника:

.                                    (8.3)

С учетом уравнений (8.1), (8.2), (8.3) уравнение движения маятника запишется в виде:

                            (8.4)

В самом грубом приближении трением можно пренебречь. Тогда уравнение (8.4) для малых амплитуд колебаний примет вид:

                                                                                   ,                                                            (8.5)

                                                                                   ,                                                              (8.6)

Если полученное уравнение (8.6) сравнить с уравнением гармонического осциллятора , то выражение  будет определять круговую (циклическую) частоту колебаний.

Решением уравнения (8.6) является функция:

                                                                           .                                                          (8.7)

Отсюда следует, что, при малых колебаниях, физический маятник совер­шает гармонической колебания с циклической частотой  (8.7), а значит с пе­риодом колебаний:

                                                                                                            (8.8)

где  приведённая длина физического маятника. Математический маятник с такой длиной будет иметь такой же период колебаний.

О ' – точка на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведённой длины L, называется центром качаний физического маятника. Точка подвеса О и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости; если ось подвеса перенести в центр качаний О ', то точка О станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции тела зависит от выбора оси вращения. Однако это не значит, что для всякой новой оси момент инерции J следует вычислять зано­во, пользуясь формулой:

.                                         (8.9)

Пусть твёрдое тело совершает вращение относительно оси ОО ', параллельной оси СС ', (см. рис. 8.2) и момент инерции тела относительно оси ее известен, тогда согласно теореме Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно оси ОО' (или относительно любой произвольной оси) равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельный оси ОО', и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

                                  (8.10)

Момент инерции стержня

Пусть стержень вращается относительно оси О, перпендикулярной стержню. Разобьём стержень длиной  (см. рис. 8.3) на элементы  длиной dx. Тогда: .

Тогда момент инерции выделенного элемента равен: , а полный момент инерции найдём интегрированием:

.

1) Если ось вращения проходит через центр масс, ,  следовательно:

                                  (8.11)

2) Если ось вращения проходит через один из концов стержня, то а =0, b = l, то

                          (8.12)

Применяя теорему Гюйгенса-Штейнера и формулу (8.11), можно определить момент инерции относительно оси, находящейся на любом расстоянии от центра масс и перпендикулярной стержню.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

 

Формула (8.8) справедлива для идеализированной модели физического маятника. При выводе этой формулы было предположено: 1) маятник совершает изохронные колебания (т. е. период их колебаний от амплитуды не зависит); 2) затуханием можно пренебречь.

Эти предположения в условиях данного эксперимента выполняются. В этом легко убедиться измерив период колебаний стержня (физического маятника) для диапазона амплитуд от  до .

Расчётное значение периода колебаний стержня можно получить из формулы (8.9):

                                                     (8.13)

При возрастании а период T сначала убывает до некоторого минимального значения , а затем снова возрастает. При  период. Также неограниченно возрастает. Качественно вид зависимости Т (а) изображен на рис. 8.4. Экспериментальное значение периода колебаний можно получить при выполнении работы, замеряя t – время N колебаний:

                                                         (8.14)

 

Задание 1

1. Проверьте изохронность колебаний маятника. Для этого измерьте периоды колебаний для 7-8 значений амплитуды. Результаты занести в таблицу 8.1.

2. Сделайте вывод об изохронности колебаний стержня. Для этого при расчёте периода колебаний точность измерений должна составить =0,01 (с), чтобы колебания являлись изохронными с точностью до 1%. Если экспериментатор желает получить изохронность с точностью до 0,1 %, то точность измерений должна составить =0,001(с).

 

Таблица  8.1 – Проверка изохронности колебаний стержня

3. Получите, используя формулу (8.13), расчетное значение Т _р периода ко­лебаний стержня для 7-10 значений а. Результаты занести в таблицу 8.2.

4. Проведите экспериментальную проверку соотношения (8.13), измерив с помощью установки период Т _э колебаний стержня для выбранных ранее значений а. Результаты занести в таблицу 8.2.

Таблица 8.2 –  Расчётные и экспериментальные значения периода колебаний стержня