Тема 6: функция распределения и плотность распределения нсв. Вычисление характеристик нсв

Плотностью распределения вероятностей f (x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f (x)= F ’(x)

Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M (X)= ∫ x • f (x) dx,

^-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия D (X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

                                                                      _+∞

D (X)= ∫ (х-М(х)²)• f (x) dx, или

                                                                             ^-∞

                                                                                                _+∞

D (X)= ∫ х²• f (x) dx - (М(х))²

                                                                                              ^-∞

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Пример решения задач

Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

     0     при х≤2,

f (x)= с(х-2) при 2<х≤6,

     0     при х>6.

  Найти: а) значение с; б) функцию распределения F (х) и построить ее график; в)Р(3≤х<5)

 _{+∞             2         6}                    +∞   6                            ₆

 ∫ f (x) dx =∫ 0 dx + ∫ c (х-2) dx +∫ 0 dx = c ∫ (х-2) dx =с(х²/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

 ^{-∞            -∞        2                      6             2                                            2}    

8с=1;

с=1/8.                          _х

б) Известно, что F (x)= ∫ f (x) dx

^-∞

 Поэтому,                 _х

если х≤2, то F (x)= ∫ 0 dx =0;

                                          ^-∞ _{2        2                                                     х}

если 2<х≤6, то F (x)= ∫ 0 dx +∫ 1/8(х-2) dx =1/8(х²/2-2х) = 1/8(х²/2-2х- (4/2-4))=

                                                 ^{-∞      -∞                                                     2}

=1/8(х²/2-2х+2)=1/16(х-2)²;

                                             _{2         6                          х 6                                              6}

если х>6, то F (x)= ∫ 0 dx +∫ 1/8(х-2) dx +∫ 0 dx =1/8∫(х-2) dx =1/8(х²/2-2х) =

                                           ^{-∞ 6                  2                  2                                              2}

=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.

Таким образом,

        0         при х≤2,

F (х)= (х-2)²/16 при 2<х≤6,

 1       при х>6.

График функции F (х) изображен на рис.

в) Р(3≤Х<5)= F (5)- F (3)=(5-2)²/16-(3-2)²/16=9/16-1/16=5/16.

Задачи

1. Случайная величина Х задана функцией распределения

   

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0,2; 0,7)

2. Случайная величина Х задана функцией распределения

   

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (3,3; 4,6)

3. Случайная величина Х задана функцией распределения

   

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,3; 4,6)

4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,3; 2,9)

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите коэффициент с.

 

6. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите коэффициент с.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения :

   

Найдите плотность вероятности .

8. Случайная величина Х задана функцией распределения :

      

Найдите плотность вероятности .

9. Случайная величина Х задана функцией распределения :

      

Найдите плотность вероятности .

10. Случайная величина Х задана функцией распределения :

       ,

Найдите плотность вероятности .

11. Случайная величина на отрезке [1,2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка  Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

12. Случайная величина на отрезке [0,2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка  Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

13. Случайная величина на отрезке [1,2] задана плотностью распределения  вне этого отрезка  Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

14. Случайная величина на отрезке [0, 2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка  Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.

15. Случайная величина на отрезке [1, 2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка  Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.

16. Случайная величина на отрезке [0, 1] задана плотностью распределения , вне этого отрезка  Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.

17. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

18. Случайная величина X задана плотностью распределения

Найдите функцию распределения  и её характеристики.

19. Случайная величина X задана плотностью распределения

Найдите функцию распределения  и её характеристики.

20. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Найти , M(X), D(X) и P (1 < х < 1,5).