Трансформатор с магнитопроводом

 

Ранее дано определение понятия «трансформатор». Наличие магнитопровода дает возможность значительно увеличить магнитный поток и благодаря этому увеличить мощность, передаваемую из одной цепи в другую. Однако при этом трансформатор становится нелинейным элементом цепи и в магнитопроводе появляются потери.

В большинстве случаев стремятся сконструировать трансформатор таким образом, чтобы нелинейность по возможности мало влияла на его работу. При анализе работы трансформатора часто пренебрегают его нелинейностью и представляют напряжения, токи и магнитный поток в виде эквивалентных синусоид.

В зависимости от назначения трансформаторы делятся на: а) силовые; б) измерительные; г) специального назначения (разделительные, импульсные трансформаторы и др.). Процессы, определяющие работу трансформаторов различных типов, по существу одни и те же и могут быть изучены на примере работы двухобмоточного силового трансформатора, схема включения которого показана на рисунок 6.6. На схеме принято встречное направление токов (точками отмечены одноименные выводы обмоток).

Рисунок 6.6. Двухобмоточный трансформатор.

Рисунок 6.7. Приведенная схема замещения трансформатора.

 

Для изучения работы такого трансформатора пользуются приведенной схемой замещения, показанной на рисунок 6.7 Основное отличие этой схемы от аналогичной схемы, заключается в наличии ветви потерь в стали g ₀, включенной параллельно ветви намагничивания b ₀ для катушки с магнитопроводом. Этой схеме замещения соответствует векторная диаграмма рисунке 6.8, а при сопротивлении назрузки

, где φ_н > 0.

Намагничивающий ток I _ф создает магнитный поток Ф, замыкающийся по магнитопроводу. Этот поток наводит э. д. с. , которая отстает на 90° от вектора Ф _m.

Напряжение на ветви намагничивания, положительное направлениями

тока I _ф и э. д. с. , равно . Напряжение  равно геометрической сумме падений напряжений в активных и индуктивных сопротивлениях обмоток и напряжения  на нагрузке. В свою очередь первичный ток , откуда м. д. с.  (со ставляющую  иногда называют размагничивающей). Здесь штрихами обозначены величины, приведенные к первичной обмотке.

Диаграмма рисунок 6.8, а соответствует встречному направлению токов  и . Если токи направлены согласно, то векторная диаграмма трансформатора может быгь получена поворотом на 180° векторов, в которые входит ток  в том числе и вектора 0%, равного падению напряжения от тока  в сопротивлении . Векторная диаграмма, показанная на рисунок 6.8, б для согласного направления токов, дана для неприведенных величин. При этом м. д. с.:

Рисунок 6.8. Векторные диаграммы трансформатора: для встречного (а) и согласного (б) направлений токов.

 

Режим при Z_H = 0 называют режимом короткого замыкания. Для силовых трансформаторов этот режим при нормальном напряжении может существовать лишь весьма кратковременно как аварийный, выделение большого количества теплоты в сопротивлениях обмоток r ₁ и r ₂ может вызвать разрушение трансформатора.

На практике проводят так называемый опыт короткого замыкания трансформатора. При этом опыте напряжение U ₁ = U _{1 K} подбирают таким образом, чтобы ток I ₂ = I _{2 K} был равен номинальному (нормальному) вторичному току. Обычно при этом U _{1 K} в несколько раз меньше номинального напряжения U ₁. Соответственно уменьшаются Е_1, Е₂ и Ф _m. Ток I ₀ при этом уменьшается в значительно большее число раз вследствие работы магнитопровода в ненасыщенном режиме.

По результатам опыта короткого замыкания определяют сопротивления r ₁, x_{S 1,} r ₂ ^/ _, x_{S 2} ^/, для чего полагают, что g ₀ ≈ 0, b ₀ ≈ 0, r ₁ ≈ r ₂ ^/ _, и

x_{S 1,} ≈ x_{S 2} ^/. Получаемая при этом точность вполне приемлема для большинства практических случаев.

Режим при Z = ∞ называют режимом холостого хода или просто холостым ходом трансформатора. При этом  и . Поэтому ток  называют током холостого хода. В действительности ток /₀ при холостом ходе несколько больше тока  при нормальном значении , так как вследствие уменьшения падения напряжения в первичной обмотке увеличивается Е₁,что в свою очередь вызывает увеличение Ф _m, а значит, и I ₀. Измерения U ₁, I ₁,и Р₁ произведенные при холостом ходе, который в этом случае называют опытом холостого хода, позволяют легко определить g ₀ и b ₀, если известны (из опыта короткого замыкания) r ₁ и x_{S .}

 

ПИК-ТРАНСФОРМАТОР

 

Пик-трансформатором называют трансформатор, вторичное напряжение которого и₂ (t) имеет острую пикообразную форму. В отличие от силового трансформатора, у которого материал магнитопровода подбирается таким образом, чтобы обеспечить работу по возможности в линейном ре­жиме, материал магнитопровода пик-трансформатора подбирается так, чтобы работа его протекала в резко выраженном нелинейном режиме.

На рисунок 6.10, а представлена одна из наиболее простых схем пик-трансформатора. Магнитопровод 1 изготовляется из ферромагнитного материала с почти прямоугольной кривой намагничивания. Первичная обмотка с числом витков w ₁ подключается к источнику тока синусоидальной формы i ₁ = I_m sin ω t, а во вторичной обмотке с числом витков наводится э. д. с. е₂ пикообразной формы. Процесс получения е₂ иллюстрируется рисунок 6.10, б. В левой части изображена характеристика Ф(i ₁), повернутая для удобства построения на 90° против направления вращения часовой стрелки. В правой части рисунка даны характеристики i ₁ (t), Ф(t) и е₂ (t).

Последовательность построения такова, на синусоидальной кривой i ₁ (t) выбирается произвольная точка 1 и находится соответствующая ей точка 2 на кривой Ф(i ₁) (масштабы i ₁ (t) в обеих системах координат одинаковы); соответствующий точке 2 магнитный поток Ф определяется отрезком 0 '3, который переносится в систему координат Ф, таким образом, чтобы ордината Ф (т. е. точка 4) и ордината точки 1 соответствовали одному и тому же моменту времени. Таким образом определяются все точки кривой Ф(t).

Кривая е₂ (t) строится по тангенсам углов касательных к кривой Ф (t). При Ф (t) = 0, где производная d Ф / dt максимальна, кривая е₂ (t) имеет максимум. Максимум е₂ (t) тем больше, чем круче Ф (t) при t = 0 и, следовательно, чем больше d Ф / di ₁ при i ₁ = 0.

 

Кривая е₂ пик-трансформатора может быть получена и аналитическим методом при надлежащей аппроксимации кривой намагничивания В (Н), однако достаточно точное выражение е (t) получается сложным, так как оно должно содержать гармоники кратности выше третьей.

ЯВЛЕНИЕ ФЕРРОРЕЗОНАНСА

 

В отличие от линейной цепи, в которой изменение приложенного напряжения (или тока при питании от источника тока) не вызывает явления резонанса, в нелинейной цепи с ферромагнитным элементом возможны изменения знака угла сдвига фаз между основными гармониками напряжения и тока при изменении напряжения (или тока) источника питания. Резонанс в цепи, содержащей катушку с насыщенным магнитопроводом, соединенную последовательно или параллельно с конденсатором, называется феррорезонансом. При анализе явления феррорезонанса в целях уп­рощения пользуются эквивалентными синусоидами напряжения и тока в катушке.

Обозначим действующие величины через U_K и I _к. Различают феррорезонанс напряжений и феррорезонанс токов.

Феррорезонанс напряжений возникает при последовательном соединении катушки с магнитопроводом и конденсатора (рисунок 6.11, а).

Так как связь между значениями В_т и Н_т в магнитопроводе определяется динамической кривой намагничивания В_т = f (Н_т), то и связь между U_K и I _к определяется вольт-амперной характеристикой, подобной кри­вой намагничивания. Это означает, что с увеличением тока I _к в обмотке полное сопротивление катушки z_K = U_K / I_K уменьшается.

Сопротивление r _к составляет небольшую долю полного сопротивления z _к. Поэтому приближенно можно считать, что катушка имеет только индуктивное сопротивление х_к ≈ z_K.

Рисунок 6.11 Феррорезонанс напряжений.

 

При постепенном возрастании тока I от нуля (рисунок 6.11, б) напряжение U_K будет изменяться по кривой, a U_c = 1/ωС по прямой, поскольку ω и С величины постоянные. Если питать цепь от источника напряжения, то приложенное напряжение определится как:

здесь предполагается, что  опережает ток I на угол, близкий к 90°.

На участке 0_а/b, кривая | U_K - U_c | = U_K - Uc приблизительно совпадает с U Дальнейший ход кривой | U_K - U_c | показан пунктиром; расхождение с кривой U обусловлено влиянием активной составляющей напряжения U_K (активная составляющая U_C практически равна нулю).

При токах, меньших 0 d, приложенное напряжение опережает ток , а при токах, больших 0 d, отстает. Току 0 d соответствует минимальное напряжение dd ', равное активной составляющей напряжения. При этом эквивалентные синусоиды напряжения и тока совпадают по фазе, а U_K немного превышает U_c (за счет активной составляющей). Точка d ' соответствует резонансу напряжения.

Участок a! d ^/ кривой напряжения U является спадающим. Это означает, что при увеличении тока падение напряжения в цепи уменьшается и, следовательно, при неизменной э. д. с. источника энергии ток в цепи нарастает. Спадающий участок a ' d ' соответствует неустойчивому режиму работы цепи.

Характеристика рисунок 6.11, б аналогична характеристике нелинейного элемента.

Если цепь присоединена к источнику с весьма малым внутренним сопротивлением, то при постоянном возрастании ^э' Д. с. источника от нуля эту э. д. с. уравновешивает падение напряжения U, определяемое участком кривой 0 а' После этого уравновешивающее падение напряжения будет определяться частью кривой f ' k '. Участок a ' d ' f ' является нерабочим при возрастании напряжения. При постепенном увеличении приложенного к цепи напряжения (начиная с нуля) ток вначале плавно увеличивается до некоторого значения 0а, а затем он претерпевает скачок до нового значения 0 f (релейный эффект), после чего опять плавно увеличивается.

Если уменьшать напряжение на выводах цепи (начиная со значения, большего ff ^/, то изменение уравновешивающего падения напряжения происходит сначала постепенно по участку f ' d ', а затем по участку l ^/ 0.

В этом случае участок d ^/ a ^/ l ^/ является нерабочим. Ток постепенно уменьшается до значения 0 d и затем претерпевает скачок до значения 0 l.

Неоднозначность характеристики U(I) рисунок 6.11,6 при заданных U препятствует экспериментальному снятию характеристики при питании цепи от источника э. д. с. Если же питать цепь от источника тока, то могут быть экспериментально сняты все точки характеристики, так как каждому заданному значению тока будет соответствовать только одно значение напряжения. На практике вместо источника тока для этой цели пользуются источником э. д. с. с достаточно большим добавочным сопротивлением, включенным последовательно.

Схема рисунок 6.11, а может быть использована в качестве стабилизатора напряжения, на входе которого напряжение равно U, а на выходе U_K. При изменении U от 0т₁ до 0т₂ напряжение U_K изменяется в очень малых пределах от 0п₁ до 0 n ₂.

Феррорезонанс токов возникает при параллельном соединении катушки с магнитопроводом и конденсатора (рисунок 6.12, а).

Характер изменения токов в функции напряжения I (U), I _к (U) и I_c (U) в цепи аналогичен характеру изменения напряжения в функции тока U (I), U_K (I) и U_c (I) в цепи на рисункк 6.11, а. На рисунке 6.12, б изображены кривые токов при постепенном увеличении напряжения U от нуля. Если цепь рисунок 6.12, а питать от источника тока и постепенно изменять ток, то на выводах цепи будут иметь место скачкообразные изменения напряжения: от 0а до 0 f при увеличении тока и от 0 d до 0 l при убывании тока. Точка d ' соот­ветствует резонансу токов.

Скачкообразные изменения тока при плавном изменении напряжения, а также скачкообразные изменения напряжения при плавном изменении тока называют релейным или триггерным эффектом.

При питании цепи от источника напряжения общий ток в цепи определяется вольт-амперной характеристикой Oa ^/ d ’ f ^/ рисунок 6.12 ,б. Каждому заданному напряжению будет соответствовать только одно значение тока, и поэтому спадающий участок характеристики может быть снят экспериментально.

Рисунок 6.12. Феррорезонанс токов.

 

Как говорилось выше, феррорезонанс рассматривается на основе эквивалентных синусоид токов и напряжений, являющихся несинусоидальными функциями времени.

При достижении резонанса амплитуда третьей гармоники общего тока цепи может в несколько раз превысить амплитуду первой гармоники. Следует заметить, что эффект, аналогичный феррорезонансу, может быть получен в цепи, составленной из линейной катушки индуктивности и нелинейного конденсатора, величина которого зависит от приложенного напряжения

Явление феррорезонанса можно исследовать при помощи аппроксимации характеристики i (ψ) уравнением:

                                                 (6.4)

Если пренебречь активным сопротивлением цепи (рисунок 6.12, а) и принять напряжение на выводах цепи и = = U_m sin ω t, дифференциальное уравнение цепи будет иметь вид:

                                                 (6.5)

где q - заряд конденсатора С

В результате дифференцирования (6.5), подстановки (6.4) вместо i = dq / dt и замены a ₁ / C = ω₀², a ₂ / C = h, ω U_m = G получается известное в теории нелинейных систем уравнение Дуффинга:

                                     (6.6)

Потокосцепление ψ при отсутствии потерь должно отличаться по фазе на ± π /2 от напряжения и. Решение уравнения (6.6) будем искать в форме

ψ = = A cosωt. В результате подстановки этой функции в (6.6) и учета соотношения cos ³ ω t = 1/4(3 cos ω t + cos 3ω t) получается:

 

Поскольку здесь исследуется процесс по первой гармонике, слагаемое, содержащее cos 3ω t, отбрасывается:

                                             (6.7)

Если в результате решения этого уравнения относительно А получаются три вещественных корня, в цепи возможны скачки амплитуды. При разделении (6.7) на две части:

и

значение А определится из условия у₁ = у₂.

Для нахождения А удобно построить графики у₁ (A) и у₂ (A), показанные на рисункe 6.13.

Рисунок 6.13. Графическое решение кубического уравнения (6.7).

 

График у₁ (A) представляет собой семейство прямых линий, наклон которых зависит от ω² – ω₀²; у₂(А) - кубическую параболу, а при h = 0 - ось абсцисс. На рисунке 6.13 наглядно видно, что при ω > ω₀ возможны три значения А, два из которых отрицательны и одно положительно. Изменение знака А соответствует изменению фазы тока с +л/2 на - π /2 относительно фазы напряжения при прохождении резонансной частоты. На рисунок 6.14, а показаны зависимости А (ω), построенные по точкам пересечений у₁ и у₂ согласно рисунок 6.13. Пунктиром на рисунок 6.14, а показаны зависимости А (ω) при линейной связи между током и потокосцеплением, т. е. когда а₂ = 0 и h = 0; при этом кривые приобретают вид, показанный на рисунке 6.11, б.

На рисунке 6.14, б показаны зависимости абсолютного значения | А| от ω. На рисунке 6.14, в изображено семейство резонансных кривых нелинейного контура при разных G.

Рисунок 6.14. Зависимость амплитуды А от угловой частоты.

а - с учетом знака А, при h = 0 контур линеен, при h > 0 контур нелинеен; б - для абсолютных значений А; в - с учетом влияния изменения.

 

Практически в цепи всегда имеются потери мощности. Поэтому ветви не уходят в бесконечность, а заканчиваются некоторым закруглением. Нижняя граница неустойчивого участка определится из выражения dA / dω = = ∞, что соответствует dω ² / d А = 0.

Решение (6.7) относительно ω² дает:

откуда:

 и

в результате подстановки значения G в (6.7) получается уравнение:

геометрического места точек скачкообразного увеличения амплитуды при изменении ω.

Уравнение (6.7) позволяет также исследовать изменение | А| от G при фиксированном значении частоты ω. В этом случае прямая на рисунке 6.13 перемещается параллельно самой себе и зависимость G от | А\ получается подобной зависимости U от I, показанной на рисунок 6.11, б.

Сценарий

Практической работы № 4

по дисциплине «Теоретические основы электротехники» по направлению 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника.

Группа ЭЭ-16-Д(4-й семестр)