Теоретические аспекты линейной алгебры

Элементы линейной алгебры

 

Разработчик: Есенеева Э.С.
                        

ВВЕДЕНИЕ

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Для будущего специалиста любой отрасли изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру.

Одним из основных разделов математики, где широко используются экономические методы решения задач, является раздел «Линейная алгебра». Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных, так как при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности.  Кроме этого около 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это задачи из области экономики, статистики, электротехники, радиоэлектроники, механики и других.

Таким образом, элементы линейной алгебры позволяют описывать те или иные процессы, происходящие в различных сферах деятельности человека. Изучение данного раздела, умение составлять модели процессов с использованием систем линейных уравнений и матриц дает возможность использования полученных знаний в решении конкретных проблем, возникающих в будущей практической профессиональной деятельности.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие матрицы

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков.

Матрица (размером m x n) - это таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы, и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы (A, B, C,..), а саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки.

Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами. Например: a_ij - элемент матрицы А, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции ( i,j ). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

 

Некоторые экономические зависимости удобно записывать в виде матриц. В пример приведем таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (в ус. ед).

Пример 1:

Ресурсы	Отрасли экономики
	Промышленность	Сельхозяйство
Электроэнергия	4,9	4,5
Трудовые ресурсы	3,1	3.9
Водные ресурсы	5,1	5,7

Эти данные в таблице можно представить в удобной форме в виде матрицы распределение ресурсов по отраслям:

В данном примере, матричный элемент а₁₁ показывает, какое количество электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а₂₂  - количество трудовых ресурсов в сельском хозяйстве.

Пример 2:

 матрица А размером 2 х 4.

 

 

матрица B размером 4 x 2.

 

 

Элементы a_ij, где i=j, называются диагональными, а элементы a_ij, где i≠j - внедиагональными.

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример 3:

нулевая матрица О.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n) называется квадратной матрицей порядка n.

Пример 4:

квадратная матрица С порядка 3.

 

 

Определение: Матрица размера 1 x n называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера m x 1 называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Пример 5:

    матрица-строка (1х3)

    матрица-столбец (3х1)

Определение: Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

 

Пример 6:

	4	0	0		- диагональные элементы произвольные
	0	5	0
	0	0	0

1.2.1 Действия над матрицами.

1. Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц

названая матрица

Пример 1:

Аналогично определяется разность матриц.

2.Умножение на число:

Произведением  матрицы  на число k  называется такая матрица    элементы которой равны

Пример 2:

 

Матрица – А=(-1) называется противоположной матрице А.

Произведение матриц

Операция умножения 2-х матриц вводится только для случая когда число столбцов 1 матрицы равно числу  строк 2 матрицы.

Схематично произведение матриц можно изобразить так:

 

 

Пример 1.

.

Пример 2.

Выяснить  определено ли произведение А*В.

Матрица А - имеет 3 столбца, матрица В- 2 строки.       Условие умножения матриц не выполняется, значит операция умножения не выполнима.

Рассмотрим произведение . В матрице В -2 строки, в матрице А – 2 столбца. Операция умножения определена.

.

Понятие определителя

Определители были изобретены дважды, что в математике встречается не так уж часто. Сначала они были изобретены в Древнем Китае в начале нашей эры - без глубокой теории, но с хорошими правилами практического применения. Учёные этой страны старались скрывать свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто или изобретено китайцами, вновь изобреталось в других странах.

Великий немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) в 1693 г. ввёл двойные индексы, которые записывал ниже сроки. Лейбниц стремился во всех исследованиях к единым методам. В частности, он хотел создать единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело его к определителям.

Термин «детерминант», иначе говоря «определитель» (от латинского determino – определяю), в нашем смысле ввёл Коши в 1815 г. Ему удалось найти все главные свойства определителей. Дальнейшее развитие теория определителей получила в трудах английских математиков А. Кэли и Дж. Сильвестера (1814 -1897). Первый из них и ввёл поныне употребляемый знак определителя │ │.

Определение: Определитель - это число, которое считается для квадратной матрицы по некоторым вполне определенным правилам.

Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A пользуются  обозначениями или или .

Пусть A - произвольная квадратная матрица порядка n.

1. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A и определитель равен этому числу.

Пример 1: , тогда определитель

2. Если n=2, то для матрицы  определитель вычисляется по правилу

или

 

Пример 2:

Дано:

                                                                             .

Решение:

3. Если n=3, то для матрицы    

 

определитель вычисляется по правилу

или

Пример 3:

Дано:

Решение: Определитель матрицы A

 

 detA=

detA=9.

Метод Крамера

1.4.1 И сторическая справка

С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы.

Правило Крамера

Пусть дана система линейных уравнений

 

 

       (1)

 

Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n,..., a_n1 , b₂,..., b_n считаются заданными.

Вектор - строка x₁, x₂,..., x_n - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D=∆=detA, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.

a). Если D≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

 , где
определитель n-го порядка ∆_i (i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁ , b₂ ,..., b_n.
б). Если D=0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна,т.е. решений нет.

Рассмотрим частные случаи нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

I.Система уравнений 2-го порядка

Запишем систему уравнений 2-го порядка в общем виде

Решение:

1. Построим и вычислим главный определитель системы

2. Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы

, тогда

3. Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы

, тогда

Пример 1:

Решить систему правилом Крамера

Решение:

Поэтому система имеет единственное решение.

Ответ: x=-1,5; y=2,5.

II. Система уравнений 3-го порядка.

Запишем систему уравнений 3-го порядка в общем виде

Решение:

1.Построим и вычислим главный определитель системы

2.Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы

,

 тогда

3.Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы

,

 тогда

4.Построим и вычислим третий вспомогательный определитель системы

,

тогда

Пример 9:

Решить систему правилом Крамера

Решение:

Поэтому система имеет единственное решение.

 

Ответ: x=-2; y=1; z=-1.

III. Система линейных уравнений с 4-мя неизвестными.

Для того, чтобы решить СЛАУ с 4-мя неизвестными необходимо ввести понятия минора определителя и алгебраического дополнения.

Определение: Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы    М_22, М_23.

Решение: Минор М₂₂ получается путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых, находится данный элемент, т.е. 2-ой строки 2-го столбца.

Минор М₂₃ получается путем вычеркивания 2 строки и 3-его столбца.

.

Остальные миноры находятся аналогично.

Введем понятие алгебраического дополнения.

Определение: Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число     A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij.

Если рассмотреть проще, алгебраическое дополнение регулирует знак перед минором.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы   А_22, А_{23 .}

.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Решение:

Матрицу-строку затрат сырья S можно представить как произведение:

S=C*A= (100 80 130)

Общую стоимость сырья можно рассчитать в следующем  порядке: вначале рассчитываем матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:

а затем общую стоимость сырья:

Вывод: Общая стоимость сырья равна 70900 ден. ед, а стоимость затрат сырья на единицу продукции равна

Задача 3. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические показатели ко­торых приведены в таблице. Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Вид изделия №п/п	кол-во изделий, ед	Расход сырья, кг	Норма времени изготовления, час/изделий	Цена изделия ден.ед/изд
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	20

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соот­ветствующие скалярные произведения вектора ассортимента q на три других вектора, т. е.

Задача  4. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использовани­ем 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

   Вид сырья

       1 2 3 4

вид изделия

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции q =(60, 50, 35, 40)

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Ответ: Затраты сырья на каждый вид изделия составят 575, 550, 835 и 990 единиц соответственно.

Задача 5. Предприятие производит муку трех сортов: ржаную, пшеничную и ячменную и продает ее на 4 региона. Матрица   задает цену реализации данной продукции (в усл. ед) i-го сорта в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация муки за месяц (по видам) задана матрицей А (200 80 100).

Решение: Выручка предприятия выражается произведением матрицы А на матрицу В.

А*В=(200 80 100)* =

Ответ: Выручка предприятия в 1-ом регионе 680 усл.ед., во 2-ом регионе – 2010 усл.ед.,в 3-ем регионе – 5040 усл.ед., в 4-ом регионе – 1020 усл.ед.

Задача 6:. В табл. приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с по­треблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указан­ных видов и количеств.

Решение: Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними полу­чить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

      Производительность

       1 2   3  4 5

вид изделия

 

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной про­изводительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J- го предприятия по каждому виду продукции получается умноже­нием J- гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей:

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид:

   Вид изделия

       1 2   3    4

вид сырья

 

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

В*А =

Где I -я строка соответствует номеру типа сырья, а J- й стол­бец — номеру предприятия согласно табл. (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей А год умножением столбцов матрицы ВА на соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

В*А год =

Введем вектор стоимости сырья – = (40, 50, 60).

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матри­цу ВАг од:

Р = * ВАгод = (2008000, 34906500, 1878500, 11494000, 1552600).

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами векто­ра .

Литература

1. Зеленцов Б.П., Кулагина Н.А. Линейная алгебра: Практикум. Новосибирск: Сибирская академия банковского дела и финансов, 2014.-59 с.

2.Красс М.С. Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Издательство «Дело», 2001. – 688с.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А.Высшая математика для экономистов:Учебник для вузов. – 2-е изд., М.:ЮНИТИ, 2004-471с.

4.Новикова Т.В.Элементы линейной алгебры и линейного программирования в экономике: Методическая разработка.Издательство «Томинтех»,2013.–53 с.

5.Писменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

 

Интернет- ресурсы

Ru.onlinemschool.com

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/

3. mathhrofi.ru

4. http://function-x.ru/systems_kramer.html

 

 

 

Элементы линейной алгебры

 

Разработчик: Есенеева Э.С.
                        

ВВЕДЕНИЕ

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Для будущего специалиста любой отрасли изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру.

Одним из основных разделов математики, где широко используются экономические методы решения задач, является раздел «Линейная алгебра». Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных, так как при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности.  Кроме этого около 75% всех расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это задачи из области экономики, статистики, электротехники, радиоэлектроники, механики и других.

Таким образом, элементы линейной алгебры позволяют описывать те или иные процессы, происходящие в различных сферах деятельности человека. Изучение данного раздела, умение составлять модели процессов с использованием систем линейных уравнений и матриц дает возможность использования полученных знаний в решении конкретных проблем, возникающих в будущей практической профессиональной деятельности.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие матрицы

Впервые матрица под названием "волшебный квадрат" упоминается еще в Древнем Китае. Подобные квадраты чуть позже были известны и у арабских математиков.

Матрица (размером m x n) - это таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы, и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы (A, B, C,..), а саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки.

Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами. Например: a_ij - элемент матрицы А, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции ( i,j ). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

 

Некоторые экономические зависимости удобно записывать в виде матриц. В пример приведем таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (в ус. ед).

Пример 1:

Ресурсы	Отрасли экономики
	Промышленность	Сельхозяйство
Электроэнергия	4,9	4,5
Трудовые ресурсы	3,1	3.9
Водные ресурсы	5,1	5,7

Эти данные в таблице можно представить в удобной форме в виде матрицы распределение ресурсов по отраслям:

В данном примере, матричный элемент а₁₁ показывает, какое количество электроэнергии потребляет промышленность, а элемент а₂₂  - количество трудовых ресурсов в сельском хозяйстве.

Пример 2:

 матрица А размером 2 х 4.

 

 

матрица B размером 4 x 2.

 

 

Элементы a_ij, где i=j, называются диагональными, а элементы a_ij, где i≠j - внедиагональными.

Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Пример 3:

нулевая матрица О.

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n) называется квадратной матрицей порядка n.

Пример 4:

квадратная матрица С порядка 3.

 

 

Определение: Матрица размера 1 x n называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера m x 1 называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Пример 5:

    матрица-строка (1х3)

    матрица-столбец (3х1)

Определение: Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

 

Пример 6:

	4	0	0		- диагональные элементы произвольные
	0	5	0
	0	0	0

1.2.1 Действия над матрицами.

1. Сложение:

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц

названая матрица

Пример 1:

Аналогично определяется разность матриц.

2.Умножение на число:

Произведением  матрицы  на число k  называется такая матрица    элементы которой равны

Пример 2:

 

Матрица – А=(-1) называется противоположной матрице А.