Задачи, решаемые с помощью действий над матрицами.

Задача 1. Три предприятия выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) Найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков

, , .

б) найти матрицы В₁ и В₂ прироста выпуска продукции за каждый месяц и проанализировать результаты.

Решение:

а) матрица продукции за квартал находится как сложение матриц:

+

.

б) Найдем матрицы В₁ и В₂ прироста выпуска продукции за каждый месяц. - =

 

- = .

Выводы: По полученным данным (матрица ) видим, что во втором месяце по сравнению с первым:

- в 1-ом предприятии выпуск продукции 1 вида уменьшился на 1, 2 и 3 вида продукции на 1 увеличился, а на 4-ый остался неизменным.

- во втором предприятии выпуск продукции 1 вида уменьшился на 1, 2,3,4 вида увеличился на 1.

- на третьем предприятии выпуск продукции 1 вида уменьшился на 1, 2 и 4 вида увеличился на 1, а выпуск продукции 3-его вида остался неизменным.

По аналогии можно сделать вывод по матрице В_2..

Задача 2. На предприятии производится продукции трех видов: Р₁, Р₂, Р₃ и используется сырье двух типов: S₁, S₂.Нормы расходы сырья представлены матрицей: . Каждый элемент a ij (i=1,2,3; j=1,2) определяет, сколько единиц сырья j-го типа затрачено на производстве единицы продукции i-го вида. Порядок выпуска продукции отражен матрицей-строкой  С=(100 80 130), стоимость единицы каждого типа сырья (ден.ед.) – матрицей- столбцом: .

Задание:   Найти общую стоимость сырья и стоимость затрат сырья на единицу продукции.

Решение:

Матрицу-строку затрат сырья S можно представить как произведение:

S=C*A= (100 80 130)

Общую стоимость сырья можно рассчитать в следующем  порядке: вначале рассчитываем матрицу стоимостей затрат сырья на единицу продукции, т.е. матрицу:

а затем общую стоимость сырья:

Вывод: Общая стоимость сырья равна 70900 ден. ед, а стоимость затрат сырья на единицу продукции равна

Задача 3. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические показатели ко­торых приведены в таблице. Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Вид изделия №п/п	кол-во изделий, ед	Расход сырья, кг	Норма времени изготовления, час/изделий	Цена изделия ден.ед/изд
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	20

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соот­ветствующие скалярные произведения вектора ассортимента q на три других вектора, т. е.

Задача  4. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использовани­ем 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

   Вид сырья

       1 2 3 4

вид изделия

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции q =(60, 50, 35, 40)

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Ответ: Затраты сырья на каждый вид изделия составят 575, 550, 835 и 990 единиц соответственно.

Задача 5. Предприятие производит муку трех сортов: ржаную, пшеничную и ячменную и продает ее на 4 региона. Матрица   задает цену реализации данной продукции (в усл. ед) i-го сорта в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация муки за месяц (по видам) задана матрицей А (200 80 100).

Решение: Выручка предприятия выражается произведением матрицы А на матрицу В.

А*В=(200 80 100)* =

Ответ: Выручка предприятия в 1-ом регионе 680 усл.ед., во 2-ом регионе – 2010 усл.ед.,в 3-ем регионе – 5040 усл.ед., в 4-ом регионе – 1020 усл.ед.

Задача 6:. В табл. приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с по­треблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указан­ных видов и количеств.

Решение: Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними полу­чить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

      Производительность

       1 2   3  4 5

вид изделия

 

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной про­изводительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J- го предприятия по каждому виду продукции получается умноже­нием J- гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей:

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид:

   Вид изделия

       1 2   3    4

вид сырья

 

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

В*А =

Где I -я строка соответствует номеру типа сырья, а J- й стол­бец — номеру предприятия согласно табл. (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей А год умножением столбцов матрицы ВА на соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

В*А год =

Введем вектор стоимости сырья – = (40, 50, 60).

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матри­цу ВАг од:

Р = * ВАгод = (2008000, 34906500, 1878500, 11494000, 1552600).

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами векто­ра .