Габриэль крамер (31 июля 1704 - 04 января 1752) - ученик и друг иоганна бернулли, один из создателей линейной алгебры.

 С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета.

Он много путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков - Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории.

Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления.

Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу, Вандермонда и Кэли, которые и завершили создание основ линейной алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т.д.

 

Правило Крамера

Пусть дана система линейных уравнений

 

 

       (1)

 

Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n,..., a_n1 , b₂,..., b_n считаются заданными.

Вектор - строка x₁, x₂,..., x_n - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D=∆=detA, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи.

a). Если D≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

 , где
определитель n-го порядка ∆_i (i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b₁ , b₂ ,..., b_n.
б). Если D=0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна,т.е. решений нет.

Рассмотрим частные случаи нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

I.Система уравнений 2-го порядка

Запишем систему уравнений 2-го порядка в общем виде

Решение:

1. Построим и вычислим главный определитель системы

2. Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы

, тогда

3. Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы

, тогда

Пример 1:

Решить систему правилом Крамера

Решение:

Поэтому система имеет единственное решение.

Ответ: x=-1,5; y=2,5.

II. Система уравнений 3-го порядка.

Запишем систему уравнений 3-го порядка в общем виде

Решение:

1.Построим и вычислим главный определитель системы

2.Построим и вычислим первый вспомогательный определитель системы

,

 тогда

3.Построим и вычислим второй вспомогательный определитель системы

,

 тогда

4.Построим и вычислим третий вспомогательный определитель системы

,

тогда

Пример 9:

Решить систему правилом Крамера

Решение:

Поэтому система имеет единственное решение.

 

Ответ: x=-2; y=1; z=-1.

III. Система линейных уравнений с 4-мя неизвестными.

Для того, чтобы решить СЛАУ с 4-мя неизвестными необходимо ввести понятия минора определителя и алгебраического дополнения.

Определение: Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы    М_22, М_23.

Решение: Минор М₂₂ получается путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых, находится данный элемент, т.е. 2-ой строки 2-го столбца.

Минор М₂₃ получается путем вычеркивания 2 строки и 3-его столбца.

.

Остальные миноры находятся аналогично.

Введем понятие алгебраического дополнения.

Определение: Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число     A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij.

Если рассмотреть проще, алгебраическое дополнение регулирует знак перед минором.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы   А_22, А_{23 .}

.