Тема 1. Газовые законы. Молекулярно-кинетическая теория.

         Идеальные газы. Жидкости. Твердое состояние.

Идеальным газ называется в том случае, когда в нем отсутствует взаимодействие между молекулами (кроме упругих столкновений) и собственным объемом молекул можно пренебречь.  Идеальные газы подчиняются законам Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, объединенному газовому закону, закону Авогадро и некоторым другим. Все они и некоторые другие называются законами идеальных газов.

Закон Бойля-Мариотта - изотермические условия (T=const).

              p₁V₁ = p₂V₂ =... = p_nV_n = c,                                       (1.1)

где p - давление, V - объем, T - абсолютная температура, с - постоянная

      величина, зависящая от количества вещщества и от температуры.

Закон Гей-Люссака - изобарные условия (p=const) 

              V₁/T₁ = V₂/T₂ =... =V_n/T_n = c,                                    (1.2)

где с - постоянная, зависящая от количества газа и давления.

Аналогично закон Шарля - изохорные условия(V=const)

              p₁/T₁ = p₂/T₂ =... =p_n/T_n = c,                                      (1.3)

где с - постоянная, зависящая от количества газа и объема.

Объединенный закон Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

              p₁V₁/T₁= p₂V₂/T₂ =... = p_nV_n/T_n = R,                           (1.4)

где R -универсальная газовая постоянная.

R = kN_A = 8,31Дж/моль•K = 62400мм•мл/моль•K = 0,082л•атм/моль•K =

         = 1,98кал/моль•K.

Уравнение состояния газов Менделеева-Клапейрона.

              pV = nRT,                                                                   (1.5)

где n = m/M - число молей газа.

Закон Дальтона - парциальных давлений (T=const).

              P_общ = p₁ + p₂ +... + p_n,                                             (1.6)

              n_общ = n₁ + n₂ +... + n_n.                                               (1.7)

Если смесь газов при температуре Т занимает объем V, то

               p₁ = n₁RT/V,     

               p₂ = n₂RT/V....

               p_общ = (n₁+n₂+...+n_n)RT/V.                                         (1.8)

               p₁ = pn₁/n, p₂ = pn₂/n

Для идеальных газов мольная доля численно совпадает с объемной долей.

                n₁/n = V₁/V.                                                               (1.9)

Закон Авогадро (p=const, T=const)

                V₁/V₂ = n₁/n₂                                                              (1.10)

Закон Амага (T=const)

                 V_общ = V₁ + V₂ +... + V_n,

где V_общ - общий объем газа,

V_n - парциальный объем газа - тот объем, который занимает компонент смеси, если его температура и давление равны общим температуре и давлению.  

Парциальный объем и парциальное давление компонента связаны уравнением

                     V_np_общ = p_nV_общ.                                          (1.11)

Из молекулярно-кинетической теории известно, что газокинетический радиус молекулы r - это половина расстояния, на которое могут сближаться молекулы при их "столкновении". Часто пользуются величиной газокинетического диаметра s

                 s_т = 2r_т                                                             (1.12)

                  s_т² = s_¥²(1 + с/T).                                           (1.13)

Средняя длина свободного пробега молекулы между столкновениями

                   l_т = 1/(4Ö2pr²N),                                            (1.14)

где r - газокинетический радиус молекулы,

N - число молекул в данном объеме газа.

Средняя арифметическая скорость молекулы газа

                    u_a = Ö8RT/pM                                                (1.15)

где М - молекулярная масса газа.

Средняя квадратичная скорость молекул газа

                     u = Ö3RT/M.                                                   (1.16)

Законы идеальных газов можно применять к реальным газам, находящимся при высоких температурах и низких давлениях.

Если газы находятся в условиях, для которых неприменимы законы идеальных газов, тогда к ним применяют уравнение состояния реальных газов Ван-дер-Ваальса. Для 1 кмоль вещества

                      (p + a/V²)(V - b) = RT                                            (1.17)

 где p - давление, н/м2,

   V - объем, м3,

    а - постоянная, учитывающая взаимное притяжение молекул,

            (м³)²н/(м²×кмоль^-2),

     b - постоянная, учитывающая собственный объем молекул,

           м³/кмоль,

     a = 27R²T_к²/ 64p_к;      b = 2pd³N_A/3 = Rt_к/8p_к                                (1.18)

где Т_к, р_к - критические температура и давление газа,

   N_A - число Авогадро.

Типовые задачи по теме 1

1.1. Газ под давлением 1,2×10⁵ Па занимает объем 4,5 л. Каково будет давление, если, не изменяя температуры, увеличить объем до 0,0055 м³

1.2. При н.у. концентрация метана равна 0,0447 кмоль/м³. Вычислить, при какой температуре и нормальном давлении масса 10 м³ метана будет равна 8 кг.

1.3. При 22^оС и 95940 Па объем кислорода равен 20 л. Вычислить объем этого газа при н.у. Какова плотность кислорода при заданных условиях.

1.4. Вычислить среднюю арифметическую скорость движения молекул кислорода при 600^оС.

1.5. Вычислить давление, оказываемое 1 кмоль диоксида углерода при 50^оС, объем которого 1 м³, по уравнениям Ван-дер-Ваальса и Менделеева-Клапейрона. Сравнить полученные результаты.   

1.6. Газовая смесь состоит из 3 м³ диоксида углерода, взятого под давлением 95940 Па, 4 м³ кислорода при давлении 106600 Па, 6 м³ азота при давлении 93280 Па. Объем смеси 10 м³. Определить парциальные давления газов в смеси и общее давление смеси. Температура постоянная.

Примеры решения типовых задач по теме 1

1.7. При 473 К и 0,999×10⁵ Па 7,16×10^{-4 кг органического вещества, испаряясь, занимают объем 2,426}×10^{-4 м3}. Массовое соотношение элементов в этом соединении (С:H:O=2,25:0,375:1). Вычислите молекулярную массу соединения и определите его формулу.

Решение.

По уравнению 1.5 определяем молекулярную массу вещества.

M = (mRT)/(pV) = 116 г/моль.

В общем виде формулу данного соединения можно представить в виде CxHyOz. Учитывая, что индексы в формуле соединений относятся как количества вещества каждого элемента, имеем:

 x:y:z = (2,25:12): (0,375:1): (1:16) = 3: 6: 1.

Простейшая формула соединения C₃H₆O. Молекулярная масса, соответствующая этой формуле равна 58 а.е.м..

Учитывая молярную массу соединения (116), устанавливаем истинную формулу C₆H₁₂O₂.     

1.8. Привести к нормальным условиям газ, если известно, что при 373 К и 13,33×10² Па его объем равен 3×10^{-2 м3}.

Решение.

По уравнению 1.4 находим объем, который занимает данное количество газа при нормальных условиях.

V = (p₁V₁T₀)/(p₀T₁) = 2,89×10^-4.

1.9. Вычислить парциальные объемы воды, азота и кислорода и парциальные давления азота и кислорода во влажном воздухе. Общий объем смеси 2×10^{-3 м3}, общее давление 1,0131×10⁵ Па, парциальное давление воды 1,233×10⁴ Па. Состав воздуха 21 об.% О₂ и 79 об.% N₂

Решение.

Вычисляем парциальный объем воды по уравнению 1.11.

V_(H2O)p_общ = V_общp_(H2O)

V_(H2O) = 2,4×10^-4 м³.

Вычисляем парциальные объемы O₂ и N₂:

V(O₂) + V(N₂) = V_общ - V_(H2O) = 0,002-0,00024 = 1,76×10^-3 м³.

V(O₂):V(N₂) = 0,21:0,79

Отсюда

V(O₂) = 1,76×10^-3×0,21 = 0,37×10^-3 м³

V(N₂) = 1,76×10^-3×0,79 = 1,39×10^-3 м³

Вычислим парциальные давления O₂ и N_2:

p(O₂) = p_общV(O₂)/V_общ = 1,866×104 н/ м².

p(N₂) = p_общ -p(H₂O) - p(O₂ ) = 7,033×104 н/ м².

1.10. Рассчитать длину свободного пробега (l) и среднюю скорость движения молекулы (u_a) для 0,0244 кмоль гелия, находящегося при 293 К в сосуде емкостью 10^{-3 м3}.

Решение

Для вычисления (l) пользуемся уравнениями 1.12-1.14.

Из справочных данных для гелия:

s_¥ = 1,82 А; с = 173;

s_Т² = 1,82²(1+173/293) = 2,295² А;

(В системе СИ 1 А = 10^-10 м);

r = 2,295×10^-10/2 = 1,147×10^-10 м.

Определим N -число молекул в данном объеме:

N = N_An/V = 6,024×10²⁶×0,0244/10-3 = 1,349×10²⁸.

По уравнению 1.2.14 находим:

l_Т = 1/4Ö2×3,14×1,147²×10^-20×1,349×10²⁸ = 3,172×10^-10 м.

Вычислим u_a по уравнению 1.15

u_a = Ö8×8,314×10³×293/(3,14×4) = 1,245×10³ м/с.

1.11. Вычислить давление 1 кмоль водорода, занимающего при 273 К объем 0,448 м³.

Решение

Вычислим давление по уравнению Менделеева-Клапейрона:

p = 50,65×10⁵ Па.

Однако этот результат ненадежен, так как при таких высоких давлениях к реальным газам следует применять уравнение Ван-дер-Ваальса:

p = RT/(V-b) - a/V².

Для водорода: a = 1,95×10⁴ (м³)²Па×кмоль²;

                      b = 2,3×10^-2 м³/кмоль;

p = 8,314×10³×273/(0,448 - 0,023) - 1,95×10⁴/(0,448)² Па.

(Опытная величина p = 52,28 Па).

Контрольные задания по теме 1          

1. Под каким давлением находится кислород, если плотность его при 0^оС равна 6,242 кг/м³? Плотность кислорода при н.у. 1,429 кг/м³.

2. Масса 1м³ сухого коксового газа при н.у. 0,480 кг. Какова масса этого же объема газа под давлением 93300 Па при 0^оС

3. Под давлением 6,078×10⁵ Па 2,4 кг кислорода занимают объем 3 м³. Вычислить давление, при котором концентрация кислорода равна 0,1 кмоль/м³. Температура постоянная.

4. Коксовый газ выходит из подводного пространства камер коксовых печей со средней температурой 700^оС. Какой объем займет 1 м³ этого газа при охлаждении в газосборнике до 80^оС при том же давлении. (Конденсацией некоторых продуктов пренебречь).

    5.Сжатый воздух в баллоне имеет температуру 15^оС. Во время пожара температура воздуха в баллоне поднялась до 450^оС. Взорвется ли баллон, если при этой температуре он может выдержать давление не более 9,8×10⁶ Па. Начальное давление 4,8×10⁶ Па.

    6. При 17^оС давление газа в закрытом сосуде 95940 Па. На сколько понизится давление, если охладить газ до -50^оС?

    7. Давление газа в закрытом сосуде при 31^оС равно 1,12×10⁵ Па.

До какой температуры нужно охладить газ, чтобы давление его стало нормальным?

    8. Стальной баллон наполнен азотом при давлении 10 атм и 18^оС. При какой температуре давление азота достигнет рабочего давления 14 атм.

    9. Открытый сосуд нагрет до 727^оС. Какая часть воздуха по массе осталась в нем по сравнению с тем количеством, какое было в сосуде при 0^оС? Расширением сосуда пренебречь.

    10. Вычислить до какой температуры нужно нагреть газ, находящийся в открытом сосуде при 15^оС, чтобы в нем осталась 1/4 первоначального количества. Расширение сосуда во внимание не принимать.

11. Какой объем коксового газа будет поступать в эксгаустер при температуре 35^оС и давлении 97270 Па? Объем газа при н.у. 40900 м³. Какова плотность коксового газа при заданных условиях? Газовую постоянную коксового газа (R') принять равной 721 Дж/(кг×К).

12. При 15^оС и 100500 Па объем воздуха равен 15 л. Вычислить объем этого количества воздуха при н.у. и его плотность при заданных температуре и давлении. Газовую постоянную воздуха (R') принять равной 287 Дж/(кг×К).

13. Давление пара нафталина при 80^оС рано1040 Па. Какой объем воздуха, измеренный при 22^оС и 99950 Па, необходимо пропустить над 5 г нафталина при 80^оС и этом же давлении, чтобы вызвать полное испарение нафталина?

14. На некоторой высоте давление воздуха 3,059×10⁴ Па, а температура -43^оС. Какова плотность воздуха на этой высоте?

15. Определить, во сколько раз увеличится объем оболочки стратостата при подъеме, если температура при старте была -10^оС, давление 102000 Па; на высоте 22 км температура стала -55^оС, а давление 5332 Па?

17. Сколько килограммов паров эфира (C₂H₅)₂O содержится в 1 м³ воздуха, насыщенного парами эфира при 20^оС? Давление паров эфира при данной температуре 58950 Па.

18. Сколько граммов хлорпикрина CCl₃NO₂ выпадает в виде тумана, если 1 м³ воздуха, насыщенного парами хлорпикрина при 30^оС охладить до 15^оС? Давление паров хлорпикрина при 30 15^оС соответственно равны 4105 и 1852 Па.

19. Баллон с кислородом вместимостью 20 л находится под давлением 10⁷ Па при 15^оС. После израсходования части кислорода давление понизилось до 7,6×106 Па, а температура изменилась до 10^оС. Определить массу израсходованного кислорода.

20. Вычислить среднюю арифметическую скорость движения молекул кислорода при 17^оС.

21. Вычислить среднюю квадратичную скорость движения атомов серебра при 1200^оС и сравнить с экспериментальной величиной 580 м/с

22. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул бензола и толуола при 135^оС

23. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул метана и этана при 35^оС

24. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул кислорода и толуола при 15^оС

25. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул ацетилена и  пропана при 5^оС

26. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул гелия и толуола при 100^оС

27. Вычислить, во сколько раз отличаются друг от друга средние квадратичные скорости движения молекул бензола и кислорода при 25^оС

28. По уравнению Ван-дер-Ваальса вычислить температуру, при которой объем 1 кмоль метана станет равным 2 м³ под давлением 2026500 Па. (a=0,1463 Дж×м³/кмоль, b=0,0495 м³/кмоль).

29. Определить объем 1 кмоль азота при 100^оС и 6,79×10⁷ Па с учетом констант уравнения Ван-дер-Ваальса (a=0,14383 Дж×м³/кмоль, b=0,0385 м³/кмоль).

30. В баллоне вместимостью 320 л при 100^оС находится смесь из 28 кг кислорода и 24 г аммиака. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

31. В баллоне вместимостью 10 л при 18^оС находится смесь из 8 г азота и 2 г метана. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

32. В баллоне вместимостью 50 л при 25^оС находится смесь из 15 кг пропана и 7 кг бутана. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

33. В баллоне вместимостью 32 л при 80^оС находится смесь из 2 кг азота и 24 кг водорода. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

34. В баллоне вместимостью 20 л при 10^оС находится смесь из 2 г кислорода и 24 кг аммиака. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

35. В баллоне вместимостью 30 л при 150^оС находится смесь из 500 г хлора и 500 г фтора. Определить парциальные давления каждого из газов и общее давление смеси.

36. В сосуде вместимостью 5000 м³ при 47^оС содержится смесь из 10 кг азота, 1 кг аммиака и 2 кг водорода. Вычислить парциальные объемы и давления газов, образующих смесь, и общее давление газовой смеси.

37. Вычислить объем 1кмоль кислорода при -50^оС и 101540 Па.

38. Вычислить объем 1моль азота при 50^оС и 100000 Па.

39. Вычислить объем 10 кмоль этана при 10^оС и 102500 Па.

40. Вычислить объем 3 кмоль ацетилена при 70^оС и 103000 Па.

41. Вычислить объем 10 моль пропана при 50^оС и 91540 Па.

42. Вычислить объем 11кмоль хлора при -10^оС и 100540 Па.

43. В сосуде объемом 4000 м³ при 27^оС находится смесь из 3 кг СО₂, 1 кг N₂ и 9 кг СО. Вычислить парциальные объемы и давления компонентов и общее давление смеси.

44. В сосуд, объем которого 6 л, под вакуумом ввели по 1 г воды и гексана С₆Н₁₄, нагретых до 250 ^оС. Вычислить парциальные объемы газов в смеси.