Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

(31)

можно представить в виде суммы

,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения (28), определяемое по формулам (30);  – частное решение уравнения (31).

Функция  может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих случаях:

1) , где – многочлен степени .

Если не является корнем характеристического уравнения (29) (  и ), то тогда полагают, что , где – многочлен степени , коэффициенты которого подлежат определению.

Если есть корень характеристического уравнения (29), то частное решение неоднородного уравнения (31) можно искать в виде , где – кратность корня  (  или ).

2)

Если  не являются корнями характеристического уравнения, то полагают

,

где  и  – многочлены степени .

Если  – корни характеристического уравнения, то

,

где – кратность корней  (для уравнений 2-го порядка ). Примеры нахождения общих решений линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами приведены ниже в задачах 12 – 14.

Правая часть  уравнения (31) вида 1) или 2) называется специальной правой частью. В общем случае, если правую часть нельзя представить в виде функций 1), 2) или их суммы, для решения уравнения (31) применяется метод вариации произвольных постоянных, описанный в параграфе 5.5..

Принцип наложения решений. Если правая часть уравнения (31) есть сумма нескольких функций

и – соответствующие решения уравнений

,  ,

то сумма

является решением уравнения (31).

Задача 12. Найти общее решение уравнения

(32)

Решение. Характеристическое уравнение определяется выражением

и имеет корни  и .

Общее решение однородного уравнения, соответствующего (32), имеет вид

Правая часть уравнения (32) . Разыскиваем частное решение (32) в форме

 ,

так как  и .

Дифференцируя  два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим

Сокращая на  и приравнивая друг к другу коэффициенты при первых степенях  и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем

откуда получим  и ; общее решение данного уравнения есть

.

Задача 13. Найти общее решение уравнения

(33)

Решение. Характеристическое уравнение

имеет двукратный корень r =1.  В данном случае применим принцип наложения решений (суперпозиция). Сначала положим, что правая часть уравнения имеет вид ; здесь  и . Частное решение , поскольку  совпадает с двукратным корнем , отсюда .

Дифференцируя выражение для  дважды, подставляя в уравнение (33) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим  и . Затем положим, что правая часть уравнения , следовательно,  и . Ищем частное решение в виде ; подставляя  в уравнение (33) и производя дифференцирование, получим, что . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения (33) определяется выражением

Задача 14. Найти общее решение уравнения

(34)

Решение. Характеристическое уравнение

имеет мнимые корни .

Запишем общее решение однородного уравнения, соответствующего (34) ((30), при  и )

Правая часть (34) относится к виду, описанному в п. 2 неоднородных уравнений:

,

где , , , . Следовательно, частное решение можно искать в виде

,

(в нашем случае , , , ).

Дифференцируя  дважды и подставляя в исходное уравнение (34), приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при  и . В результате получаем следующую систему из четырех уравнений

,

из которой определим , , , . Отсюда частное решение

Общее решение

.

Пример 1. Дано неоднородное линейное уравнение . Характеристическое уравнение  однородного уравнения имеет комплексные сопряжённые корни . Поэтому общее решение  однородного уравнения будет . Теперь для нахождения частного решения  неоднородного уравнения используем метод неопределённых коэффициентов. Полагая , подставим этот многочлен в исходное уравнение и после упрощения получим: .Чтобы найти значения неопределённых коэффициентов, составим систему линейных уравнений, полученную после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной   в левой и правой частях последнего равенства:

.

Используя решение системы: , , , получим , а затем общее решение исходного уравнения: .

Пусть по-прежнему, правая часть дифференциального уравнения – многочлен. Теперь предположит, что  является простым корнем характеристического уравнения. В этом случае ищем  в виде многочлена  той же степени , дополнительно умноженного на переменную , а именно, в виде . В противном случае, нам не удастся найти значения неопределённых коэффициентов многочлена .

Пример 2. Рассмотрим уравнение . Используя корни ,  характеристического уравнения, получим . Затем найдём частное решение неоднородного уравнения в форме . Подставим это выражение в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной , получим систему

.

Так как , , то  , поэтому .

 

Пример 3. Дано уравнение . Поскольку характеристическое уравнение  имеет корни , то . Заметим, что  не является частным решением характеристического уравнения и будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме . Подставим это выражение в исходное дифференциальное уравнение и получим равенство . Разделим обе его части на общий множитель  и приравняем коэффициенты при различных степенях . Полученная система

имеет решение , . Таким образом, .

Если коэффициент  в показателе экспоненты - корень характеристического уравнения, частное решение следует в виде , где  – кратность корня .

Пример 4. Решим уравнение . Так как характеристическое уравнение имеет двухкратный корень , то . Теперь заметим, что коэффициент  в показателе экспоненты  совпадает с двухкратным корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде . Подставим это выражение в дифференциальное уравнение и разделим обе его части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной , получим значение . Таким образом, .

Фундаментальная система решений  однородного линейного уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

(35)

определяется из анализа корней характеристического уравнения

(36)

А именно:

1) если  представляет собой вещественный корень уравнения (36) кратности , то ему соответствует  линейно-независимых решений уравнения (35):

2) если  – пара комплексных корней уравнения (36) кратности , то ей соответствует  линейно-независимых решений уравнения (35)

Задача 15. Решить дифференциальное уравнение

(37)

Решение. Составим характеристическое уравнение, которое имеет вид

(38)

Решая (38), получим

Корни характеристического уравнения: . Запишем четыре линейно независимых решения уравнения (37):

, , , .

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид:

.