Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

Функции , , …,  называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные , , …,  не все равные нулю, такие, что

, при

(22)

Если условие (22) не выполняется, то данные функции называются линейно независимыми.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения

(23)

с непрерывными коэффициентами  имеет вид

где  – линейно независимые решения уравнения (23) (фундаментальная система решений).

Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

(24)

с непрерывными коэффициентами  и правой частью  имеет вид

 ,

где  – общее решение соответствующего однородного уравнения (23) и  – частное решение данного уравнения (24).

Если известна фундаментальная система решений  однородного уравнения (23), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (24) может быть найдено по формуле

 ,

где искомые функции  определяются из решения системы уравнений

(25)

Указанный метод называется методом вариации произвольных постоянных.

Задача 11. Решить уравнение

(26)

Решение. Решая соответствующее (26) однородное уравнение

,

получим

примем

 ,

Ищем решение неоднородного дифференциального уравнения (26) с помощью метода вариации произвольных постоянных, представляя это решение в следующей форме

Составляя систему (25) и учитывая, что приведенный вид исходного уравнения (26) есть

получим

(27)

Решая систему (27), определим

 ,

отсюда

,

где  и – произвольные постоянные.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2‑го порядка с постоянными коэффициентами.

 

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами  и  без правой части имеют вид

(28)

Ищем решение в виде , подставим его в данное уравнение. Полученное алгебраическое уравнение   называется характеристическим. Необходимо различать следующие три возможных случая для корней . Рассмотрим их отдельно.

Пусть сначала к орни  характеристического уравнения действительные и разные: . Тогда функции  образуют фундаментальную систему решений. Действительно, если r – некоторый действительный корень характеристического уравнения, то подставляя функцию в левую часть дифференциального уравнения, получим равенства

.

Таким образом, функции  являются частными решениями. Так как определитель Вронского

(29)

не равен нулю, система функций  линейно независима и поэтому является фундаментальной. Общее решение уравнения имеет вид .

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение. .

Так как его характеристическое уравнение  имеет корни , то фундаментальная система решений будет  и общее решение: .

Пример 2. Дано уравнение . Его характеристическое уравнение  имеет корни . Заметим, что корню  соответствует частное решение , поэтому общее решение дифференциального уравнения будет .

Перейдём к случаю, когда корни  характеристического уравнения действительные и равные: . Другими словами, корень r является двухкратным. Как и для разных корней, можно показать, что фундаментальная система решений имеет вид , следовательно, - общее решение дифференциального уравнения.

Пример 3. Дано уравнение . Его характеристическое уравнение  имеет двукратный корень . Поэтому в качестве фундаментальной системы решений следует выбрать . Общее решение уравнения имеет вид .

Пусть, наконец, корни   характеристического уравнения - комплексные сопряжённые числа: . В этом случае фундаментальной системой решений: . Общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

Пример 4. Решим уравнение . Решая соответствующее характеристическое уравнение , найдём корни . Общее решение дифференциального уравнения: .

Пример 5. Решим уравнение . Здесь корни характеристического уравнения  мнимые: , поэтому  – общее решение.

Результаты можно записать в виде таблицы:

Пусть – корни характеристического уравнения. Общее решение дифференциального уравнения может быть представлено в одном из следующих трех видов в зависимости от корней характеристического уравнения

 

1)

, если  действительные и .

(30)