Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

(8)

первой степени относительно  и  называется линейным. Если , то уравнение (8) принимает вид

(9)

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (9) можно представить следующим образом

(10)

Для решения неоднородного линейного уравнения (8) применим метод вариации произвольных постоянных. Указанный метод состоит в том, что сначала находится общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. соотношение (10). Затем, полагая в (10) величину  функцией от , ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде (10). Для этого подставляем в уравнение (8)  и , определяемые из (10), и из полученного дифференциального уравнения определяем . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) получаем в виде

Задача 5. Решить уравнение.

(11)

Решение. Приведем соответствующее однородное уравнение

Используя (10), получим следующее его решение

Считая  функцией от  и дифференцируя, находим

Подставляя  и  в уравнение (11), получим

или

откуда

Следовательно, общее решение уравнения (11) имеет вид

Приведем второй способ решения линейного неоднородного уравнения (метод Бернулли).

Для решения уравнения (8) можно применить подстановку

,

(12)

где  и  – неизвестные функции от . Тогда уравнение (8) примет следующий вид

(13)

Потребуем, чтобы

и, разделяя переменные, найдем .

Уравнение (13) примет вид

Отсюда найдем , а затем, используя (12), определим .

Задача 6. Решить задачу Коши: , .

Решение. Для простоты сначала разделим обе части уравнения на , и только потом полагаем . После подстановки исходное уравнение примет вид: . Приравняв круглую скобку к нулю, затем разделив переменные в  и проинтегрировав результат, получим равенство . Выбор значения , приводит к достаточно простой функции . Так как выражение в скобке теперь равно нулю, получим уравнение , откуда . Общее решение уравнения задачи имеет вид . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, подставим ,  в общее решение и получим .

Ответ: .

Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

,

где  и , называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью подстановки . Можно также непосредственно применять подстановку  или метод вариации произвольной постоянной.

Задача 7. Решить уравнение

(14)

Решение. Рассматриваемое уравнение является уравнением Бернулли . Подставляем (12) в уравнение (14). В результате получим

или

(15)

Для определения функции  потребуем выполнения соотношения

,

откуда .

Подставляя приведенное выше выражение в уравнение (15), получим

 .

Отсюда определим функцию

.

Следовательно, общее решение имеет вид

.

Задача 8. Р ешить уравнение . Полагая  и группируя слагаемые, получим .

Приравняем к нулю выражение в скобках и из общего решения полученного уравнения выберем, например, следующее частное решение . Подставив его в выделенное равенство, получим уравнение  с общим решением

Ответ: .

Задача 9. Для данного дифференциального уравнения

построить интегральную кривую, проходящую через точку .

Решение. Общим решением является семейство парабол

Из условий в точке  найдем

Отсюда искомая интегральная кривая

На рисунке показан график полученной интегральной кривой

Рис.2.