Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Многие задачи естествознания приводят к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 секунды после начала замедления, если м/с, а м/с.

Решение: примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки  будет функцией от , т. е. . Для нахождения  воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где  - есть ускорение движущегося тела,  - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае ,  – коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция  является решением дифференциального уравнения  или . Здесь  – масса тела.

Тогда , где  – const.

Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 секунды после начала замедления.

Найдем сначала параметры  и . Согласно условию задачи, имеем:  и . Отсюда  и .

Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому м/с.

Задача 2. Кривая проходит через точку   и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение этой кривой.

Решение. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую искомой кривой. На чертеже изобразим некоторую кривую , произвольную точку  и касательную , проведённую к графику функции в данной точке (рис.1).

Рис.1.

У гловой коэффициент  касательной равен тангенсу её угла наклона и равен значению производной в точке :  или коротко . По условию, угловой коэффициент касательной  в любой точке   кривой пропорционален квадрату ординаты точки касания: , где  – коэффициент пропорциональности. В данной задаче . Таким образом, получаем следующее дифференциальное уравнение: . Решим это уравнение.

 – общее решение,

где  – произвольная постоянная.

В результате мы получили целое семейство функций, удовлетворяющих критерию задачи. Но в условии есть уточнение: кривая проходит через точку . Решим задачу Коши, т.е. найдём соответствующее частное решение. Подставим в общее решение координаты этой точки: .

Таким образом, уравнение искомой кривой:

Ответ: .

Однородные уравнения.

Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным.

При помощи подстановки  или , где  – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применить подстановку .

Задача 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Полагаем ; тогда  или

Интегрируя, получим , отсюда

Уравнения, приводящиеся к однородным. Если

(5)

и , то, полагая в уравнении (5) , , где постоянные  и  определяются из системы уравнений

,

получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных  и . Если , то полагая в уравнении (5) , получим уравнение с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции .

Задача 4. Решить уравнение

(6)

Решение. Составим определитель

Положим в уравнении (6) , , где постоянные  и  определяются из системы уравнений

с помощью формул Крамера

, .

Положим в уравнении (6) ,  и учитывая, что , получим

Введем новую переменную , . Тогда , где  .Уравнение (6) примет вид

(7)

Полученное уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными; решение подобного уравнения было описано выше.

Обыкновенные дифференциальные уравнения