Модель поведения потребителя

Цель потребителя: наиболее полное удовлетворение потребностей. Или: формирование набора благ, потребление которого принесет максимальную полезность.

Формализация цели:

U (z ₁, z ₂,… z_n) ® max

Ограничением для потребителя является сумма, предусмотренная на расходы для текущего потребления – бюджет.

Расходы потребителя зависят от цен приобретаемых товаров и не должны превышать величины бюджета.

Бюджетное ограничение имеет вид:

B – p ₁ z ₁ – p ₂ z ₂ ³ 0.

Задача потребителя: не выходя за пределы бюджетного ограничения, сформировать набор благ, обеспечивающий максимальную полезность.

Формализация задачи максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении ® модель поведения потребителя.

 

Универсальным методом решения задачи потребителя является метод неопреденных множителей Лагранжа.

Лагранжиан является функцией (n+1) переменной: количеств n видов благ и величины λ, представляющей собой неопределенный множитель Лагранжа – оценку эффективности ресурса, в данном случае – денежных средств, используемых потребителем для формирования набора благ. Для поиска оптимума потребителя теперь ищем значения переменных, при которых Лагранжиан достигает максимума. Поскольку система предпочтений строго выпукла, условия экстремума (равенство частных производных функции нулю) одновременно являются условиями достижения максимума.

Лагранжиан (функция Лагранжа) имеет вид:

Максимизируем функцию Лагранжа:

L(z₁, z₂,…z_n, λ) ® max

Лагранжиан является функцией (n+1) переменной.

Переменными являются n компонентов потребительского набора и λ – неопределенный множитель Лагранжа.

Экономический смысл неопределенного множителя Лагранжа в задаче на максимум полезности – предельная полезность дохода, т.е. предельная полезность денег.

Функция достигнет экстремума, в соответствии с «F.O.C.», если все ее частные производные равны нулю.

Поскольку предпочтения выпуклы, экстремум Лагранжиана – его максимум.

Возьмем (n+1) частную производную функции Лагранжа и приравниваем каждую нулю.

Получим систему из (n+1) уравнения, решив которую, найдем состав оптимального набора (z₁*, z₂*,…z_n*).

ОПТИМУМ ПОТРЕБИТЕЛЯ

Условие оптимальности:

Из первых n уравнений получаем:

MU ₁ (z ₁ *, z ₂ *,… z_n *)/ p ₁ = MU ₂ (z ₁ *, z ₂ *,… z_n *)/ p ₂ = MU_n (z ₁ *, z ₂ *,… z_n *)/ p_n = λ,

если в ограничении все z_i > 0.

В оптимальном наборе предельные полезности благ, соотнесенные с ценами, взвешенные предельные полезности благ) равны.

Равенство взвешенных предельных полезностей принято называть «условием оптимальности потребительского набора». Также оно известно как эквимаржинальный принцип.

Если в наборе присутствует благо k, не являющееся абсолютно необходимым для потребления, для него может быть характерно соотношение:

, при любом количестве z_k.

В оптимальный набор такое благо не включается, т.е. . 

Т.е. MU_k (z ₁ *, z ₂ *,… z_n *)/ p_k < λ Þ z_k * = 0 (из условий дополняющей нежесткости Куна – Такера (Kuhn-Tucker conditions)).

Экономический смысл: агент не будет приобретать блага, которые, по его мнению, не стоят запрашиваемой цены: p_k>MU_k/ λ.

При выборе из наборов, включающих не более двух благ, в этом случае 

наблюдается так называемое угловое равновесие.

 

Если предпочтения агента таковы, что для всех z_i должно выполняться требование: z_i > 0, задача потребителя решается методом замены целевой функции условием оптимальности.

Из условия оптимальности получим структуру оптимального набора.

Из бюджетного ограничения – состав оптимального набора.

В случае, когда предпочтения определены на наборах из двух благ, используется также графический метод решения задачи потребителя.