Пассивные элементы линейных цепей гармонического тока

       Цепи, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными цепями. Для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции: действие суммы причин равно сумме действий, вызываемых каждой отдельно взятой причиной. Из принципа суперпозиции следует, что если в линейной электрической цепи действует переменное напряжение, меняющееся во времени по гармоническому закону, например, , где  – это амплитуда, то в цепи возникает переменный ток, который также изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но колебания тока в общем случае будут сдвинуты относительно колебаний напряжения на угол , который называется углом сдвига фаз:

.

Если цепь содержит только сопротивление R, то фаза тока совпадает с фазой напряжения:

,

а их амплитуды связаны соотношением

.

Из совпадения фаз следует, что в комплексном представлении R – действительная величина.[2]

Если переменное напряжение  подать на конденсатор емкостью C, то для тока получим

.

Из полученной формулы видно, что между током, протекающим через конденсатор, и поданным на него напряжением возникает сдвиг фаз, который равен , причем колебания тока опережают колебания напряжения. Согласно данной формуле амплитуда колебаний тока:

.

       Коэффициент пропорциональности между амплитудами напряжения и тока через конденсатор, имеющий размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением: .

Переходя к комплексным величинам, получим что X_C – мнимая величина, равная: .

Аналогично для катушки индуктивности, если ток в цепи изменяется по закону

то падение напряжения на катушке будет:

.

Таким образом, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания тока на .

Амплитуды протекающего через катушку тока и падение на ней напряжения связаны соотношением:

.

       Коэффициент пропорциональности между напряжением и током, имеющий размерность сопротивления, называют индуктивным сопротивлением:

.

В комплексном представлении  будет также мнимой величиной .

Рассмотрим цепь из последовательно соединенных R, L и С, к входу которой приложено напряжение произвольной формы . По второму правилу Кирхгофа сумма электродвижущих сил (э.д.с.), действующих в замкнутом контуре, равна сумме падений напряжений в этом контуре:

, или .

Решение этого уравнения описывает ток в цепи.

Если  является гармонической электродвижущей силой , то, переходя к комплексному представлению, получим

.

Мы видим, что в комплексном представлении дифференциальное уравнение второго порядка заменяется простым алгебраическим.

       Величина  называется комплексным сопротивлением цепи или импедансом:

.

Мнимую часть i X комплексного сопротивления Z называют реактивным сопротивлением, действительную R – активным.

Модуль комплексного сопротивления

определяет коэффициент пропорциональности между амплитудами действующего в цепи напряжения и возникающего в цепи тока: .

Аргумент комплексного сопротивления

определяет сдвиг фаз между током и напряжением: .

Как и в цепях постоянного тока, полное сопротивление Z (импеданс) последовательно соединенных  элементов с сопротивлениями  равно  

При параллельном соединении  элементов цепи: .