Пассивные элементы линейных цепей

Пассивные элементы линейных цепей

Свойства элементов электрической цепи математически описываются уравнениями, связывающими напряжение U на концах элемента с током I, протекающим через него. Так, для резистора с сопротивлением R

.

Для конденсатора емкостью  и зарядом

, .

Для катушки с индуктивностью

, .

 

Представление величин, изменяющихся во времени по гармоническому закону

       Величины, зависящие от времени по следующему закону: или , где  – амплитуда,  – круговая частота,  – начальная фаза, называются гармоническими. Любой гармонической величине можно сопоставить некоторый радиус-вектор  длиной , вращающийся против часовой стрелки относительно начала координат с угловой скоростью  (рис.2). В начальный момент времени угол между вектором и осью абсцисс равен . По мере вращения вектора величина его проекции на ось OX будет меняться в соответствии с функцией , а величина его проекции на ось OY – с функцией .

Рис.2. Векторное представление гармонических величин

 

       При таком рассмотрении сумма нескольких гармонических величин одной частоты может быть получена как проекция суммы векторов, соответствующих отдельным слагаемым. Совокупность нескольких векторов, соответствующих гармоническим величинам одной определенной частоты, называется векторной диаграммой.

Вместо вектора каждой гармонической величине в определенный момент времени можно сопоставить некоторую точку на комплексной плоскости, т. е. комплексное число

,

где i – мнимая единица. Тогда

, .

       Таким образом, вместо гармонических величин  и  можно рассматривать соответствующую им комплексную величину , при этом сами гармонические величины будут равны соответственно ее мнимой или реальной части.[1]

 

Задания к лабораторной работе №5

«Последовательный колебательный контур»

1. Построить схему последовательного колебательного контура, используя программу моделирования электрофизических процессов Electronics WorkBench (рис.22).

Резистор с сопротивлением R подключить к заземленной клемме генератора и использовать для измерений тока контура. В данном случае он увеличивает сопротивление потерь контура. Рассчитать L и C для  = 100 kHz,  = 10. Значение R дается преподавателем. Качественно проанализировать и начертить векторные диаграммы напряжений на контуре при ,  и , .

Рис.22. Схема для моделирования последовательного колебательного контура

 

2. Измерить и построить зависимости от частоты амплитуд напряжений на элементах контура  в диапазоне частот от 10 до 200 kHz и объяснить их поведение. Зависимости   и  построить на одном графике. Из этих зависимостей найти резонансную частоту.

3. Построить резонансную кривую, учитывая, что . Определить по ней добротность контура  и сравнить ее с расчетной, найденной по определению добротности.

4. Измерить параметры реального последовательного колебательного контура.

Подключить генератор и осциллограф к колебательному контуру по схеме (рис.12); Сопротивление R _Д используется в качестве датчика тока для определения резонансной частоты контура. Измерить резонансную частоту и построить зависимость . Указать систематическую погрешность измерений.

5. Собрать схему последовательного контура без добавочного сопротивления (рис.11) и измерить резонансную частоту по максимуму напряжения на конденсаторе, а также добротность контура. Сравнить с резонансной частотой, измеренной по току. Оценить систематическую погрешность измерения. Измерить и построить на одном графике зависимости  и  для 10 значений частоты вблизи и определить по ним резонансную частоту. Объяснить различные значения максимумов   и .

6. По резонансной частоте найти индуктивность контура и емкостное сопротивление конденсатора. По известной добротности вычислить сопротивление потерь контура.

7. Для проверки вычисленных значений найти добротность через отношение индуктивного сопротивления контура при резонансе к активному сопротивлению потерь. Оценить погрешности вычислений с учетом допусков величин погрешностей элементов.

 

Задания к лабораторной работе №6

«Параллельный колебательный контур»

 

1. Построить схему параллельного колебательного контура, используя программу моделирования электрофизических процессов Electronics WorkBench (рис.23). Рассчитать, какие параметры должны иметь элементы контура c резонансной частотой  = 200 k Hz и добротностью  = 10 (принять R ₁ = R ₂ = R). Значение R дается преподавателем. Качественно проанализировать и начертить векторные диаграммы токов контура при ,  и , .

Рис.23. Схема для измерения параметров параллельного колебательного контура

 

2. Измерить и построить зависимости токов на элементах контура  в диапазоне частот от 100 до 300 kHz. Выбрать по 5 точек вблизи резонансной частоты и вдали от нее. Показать, что при  на элементах контура L и C наблюдается резонанс токов. Токи в ветвях контура можно определить по падениям напряжения на резисторах  и .

3. Между общим выводом генератора и контуром включить резистор R _П и использовать его для измерения тока контура. Измерить зависимость  и построить ее на графике. Из полученной зависимости найти резонансную частоту , полосу пропускания и добротность контура. Сравнить значение , найденное из графика, с расчетным и найденное значение Q с величиной . Объяснить различие между ними.

4. Измерить параметры реального параллельного колебательного контура.

Подключить генератор и осциллограф к колебательному контуру по схеме (рис.21). С целью повышения внутреннего сопротивления генератора последовательно с ним включен резистор  с сопротивлением в несколько десятков кОм. Первый канал осциллографа измеряет напряжение на контуре , а второй канал измеряет напряжение генератора . Измеряя одновременно двухканальным осциллографом напряжения  и , найдем резонансную частоту  и резонансное сопротивление контура

.

5. По резонансному значению напряжения на контуре и его сопротивлению найти резонансный ток контура. Вычислить резонансное сопротивление конденсатора и катушки индуктивности и найти токи ветвей контура. По определению добротности параллельного контура найти ее значение через токи ветвей и контура.

6. Найти сопротивление потерь контура R из найденной добротности и резонансного реактивного сопротивления. Указать систематическую погрешность расчетов с учетом допусков величин погрешностей элементов.

 

[1] Напомним, что любое комплексное число  можно характеризовать его модулем  и аргументом. Кроме того, его можно представить в тригонометрическом  или в показательном виде.

[2] Действительно, если мы сопоставим приложенному напряжению комплексную величину, а возникающему току величину, то комплексная величина, соответствующая сопротивлению R при   будет равна.

[3] Калашников А.М. Колебательные системы. Москва, 1992, 378 с.

Пассивные элементы линейных цепей

Свойства элементов электрической цепи математически описываются уравнениями, связывающими напряжение U на концах элемента с током I, протекающим через него. Так, для резистора с сопротивлением R

.

Для конденсатора емкостью  и зарядом

, .

Для катушки с индуктивностью

, .