Вихре электрическое поле – ротор.

; ; .

  – теорема Остроградского-Гаусса.                                              

  – теорема Стокса, где  – поверхность, натянутая на линию .

.
, , ,   – основные уравнения электростатики.
Так как  или .  – оператор Лапласа .

.

 – уравнение Лапласа.

 

Задача: дана сфера , , . Найти потенциал на расстоянии  от сферы.

: ;

: .

 

Задача: даны две сферы (одна в другой):  и , и причём .

: ;

: ;

: .

Задача: дан шар , . Найти потенциал в точке на расстоянии  от центра шара.

: ;

: .

 

Потенциал сферического конденсатора.

: ;

: ;

: .

,

, где .

 

 

Потенциал бесконечной плоскости.

, так как .

 

 

Потенциал плоского конденсатора.

, .

 

Потенциал вблизи заряженного цилиндра.

: ;

: .

 

Потенциал между обкладками цилиндрического конденсатора.

, где

,  и .

 

Мкость конденсатора.

Для единичного проводника . Чем больше ёмкость, тем больше содержится зарядов на проводнике.

Для плоского конденсатора: .

Для любого конденсатора: .

 

Электрическое поле диполя.

 – длина диполя.  – очень близко.  – дипольный момент. .
Согласно принципу суперпозиции: , где

, , .

.

 

,

 

, .

Частный случаи: 1) при ;     

 2) при .

 

Электрическое поле в веществе.

Молекулы вещества экранируют заряды и поэтому сила их взаимодействия уменьшается. Внутри диэлектрика электрическое поле уменьшается в  раз, но не до нуля. Для вакуума . .

 

Диэлектрик – это вещество, в котором имеются связанные электрические заряды (отрицательные и положительные заряды не могут отойти друг от друга далеко). Под воздействием электрического поля у электрически нейтральных молекул в обычном состоянии, возникает дипольный момент , где  – поляризуемость молекулы.

 – поляризация – дипольный момент единицы объёма вещества.

, где ,  – восприимчивость, характеризует поляризацию и . Если заряды распределены непрерывно, то , так как .

Задача: поле внутри плоского конденсатора. Между обкладками конденсатора находится вещество. При наложении электрического
поля частицы вещества принимают определённое положение в пространстве в соответствии с этим полем. Образуется  – плотность связанных зарядов
с внутренней стороны обкладок и  – полный связанный заряд.  – плотность свободных зарядов. , где  – площадь пластин.  – теорема Гаусса для поляризации. Полный поток вектора поляризации через замкнутую поверхность равно сумме силовых линий поляризации. , где . 

 – дифференциальная форма теоремы Гаусса для поляризации.

 

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.

В веществе присутствуют свободные заряды  (как в вакууме), так и

связанные заряды  за счёт поляризации вещества.
.  – для индукции в вакууме.  – индукция электрического поля в веществе.

  – теорема Гаусса для вещества.

Полный поток  через любую замкнутую поверхность равен числу свободных электрических зарядов внутри этой поверхности. полный поток силовых линий вектора индукции зависит только от количества свободных зарядов. . .