Основные виды фазовых траекторий линейных систем второго порядка.

Уравнение системы второго порядка:

Корни этого уравнения:

Для разных значений a возможны шесть разных случаев, следовательно шесть фазовых траекторий.

1) корни чисто мнимые при a ₁=0, а ₂>0 (колебательная граница устойчивости линейной системы);

получается незатухающие колебания (рис. 16.2, а)

(16.4)

Для фазовой плоскости уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и ω A (рис. 16.2, б).

Уравнение эллипса:

можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.3) при а₁=0 и а₂=ω², причем A — произвольная постоянная интегрирования.

периодическим колебаниям системы (рис. 16.2, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой(рис. 16.2, б). Фазовые траектории по замкнутой кривой

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при  (устойчивая линейная система);

это затухающие колебания (рис. 16.3, а)

Рис. 16.3

  где

а произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий:

.

Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.3, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку М₀, а подходит ближе к началу координат, то есть фазовые траектории в виде спиралей (рис. 16.3, б).

3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при  (неустойчивая линейная система);

Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траектории тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.4, б).

Рис. 16.4

 

4) корни вещественные отрицательные при  (устойчивая линейная система);

апериодический процесс: (16.5)

где

 

 

Рис. 16.6

Здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически. Фазовые траектории, вливающиеся в начало координат. (Рис. 16.6)

5) корни вещественные положительные при  (неустойчивая линейная система);

Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.5), но при α₁<0 и α₂<0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.6.

Рис. 16.6

6) корни вещественные и имеют разные знаки при а ₂<0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а ₂ = 0 (апериодическая граница устойчивости линейной системы).

Это апериодический процесс, но α₁ и α₂ имеют разные знаки, следовательно картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а₂<0, то α²= –а₂, рассмотрим случай а₁=0, что соответствует согласно (16.1) уравнению системы

и согласно (16.3) — уравнению фазовых траекторий

                (16.6)

Интегрирование дает

,

т.е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.7, б.

рис. 16.7, б.

Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а₁≠0.

Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.6, б или типа рис. 16.7, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

 

Основные понятия по Ляпунову об устойчивости нелинейных систем. Основные виды устойчивости нелинейных систем.

Устойчивость по Ляпунову: «Невозмущенное движение устойчиво, если при достаточно малых начальных возмущениях вызванное ими возмущенное движение сколь угодно мало отличается от невозмущенного; при этом движение асимптотически устойчиво, если при t возмущенное движение стремится к невозмущенному.»

Невозмущенным движением системы - одно из возможных расчетных движений системы при некоторых определенных начальных условиях и заданном внешнем воздействии. Всякое другое движение называется возмущенным. Можно считать, что любое возмущенное движение получается за счет приложения к системе кратковременного внешнего возмущения при t = 0.

От наличия внешних воздействий на систему, системы управления могут быть разделены на автономные и неавтономные. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. К автономной системе может быть сведена любая из непрерывных систем при не зависящем от времени внешнем воздействии. В неавтономных системах существуют зависящие от времени внешние воздействия.

Так как в автономных нелинейных системах наиболее характерными: являются два процесса равновесие и автоколебания, то для них рассматриваются два различных понятия устойчивости: устойчивость равновесия и устойчивость автоколебаний. Для неавтономных систем существует понятие устойчивости процесса, обусловленного внешним воздействием.

Состояние равновесия и установившийся режим автоколебаний можно рассматривать как важные частные случаи невозмущенных движений автономной системы.

Для общего суждения об устойчивости движения пользуются понятием устойчивости, данным А. М. Ляпуновым: движение устойчиво, если для любой сколь угодно малой заданной области   допустимых отклонений  _k  от точки  _k = 0 можно указать область начальных значений   лежащую внутри области  и обладающую тем свойством, что ни одно возмущенное движение, начавшееся внутри области   никогда не достигнет границы области .

Области  и  на плоскости ₁ и ₂ схематически показаны на рис. 18.1

Для характеристики устойчивости кроме областей  и  удобно ввести понятие области  установившихся значений разности возмущенного и невозмущенного движений. При t

                        (18.3)

Вид области зависит от области начальных отклонений. Нужно отметить два практически важных частных случая областей . В первом случае  = 0, т. е.

                               (18.4)

Такое движение называют асимптотически устойчивым. Если для выполнения равенства (18.4) требуется, чтобы область начальных отклонений была достаточно мала, то говорят об асимптотической устойчивости в малом. Если эта область может иметь конечные размеры, то говорят об асимптотической устойчивости в большом. Если, наконец, равенство (18.4) выполняется при сколь угодно больших начальных отклонениях, то говорят об асимптотической устойчивости в целом.

Во втором частном случае область представляет собой отрезок на оси ₁. В этом случае равенство (18.4) не выполняется при сколь угодно малых отклонениях от равновесия и устойчивость относится к неасимптотической.

Для суждения об устойчивости автоколебаний вводится понятие орбитальной устойчивости.

Периодическое движение (автоколебание) в пространстве состояний изображается некоторой замкнутой кривой Г. Представляя любую траекторию геометрическим местом конца вектора x (t), можно для любого момента времени t определить кратчайшее расстояние ох конца вектора x (t)до кривой Г, которое обозначим [ x (t), Г].

Под орбитально асимптотически устойчивым периодическим движением в автономной системе (автоколебанием) будем понимать такое движение, для которого

. (18.5)

Это условие можно выразить с помощью понятия невозмущенного движения, если учесть возможный сдвиг по времени  между x ^H (t) и х (t).

Обозначив

, (18.6)

можно условие орбитальной асимптотической устойчивости сформулировать следующим образом: существуют такие положительные вещественные значения = ₀, для которых

                  (18.7)

Невыполнение условия (18.5) или (18.7) приводит к нарушению орбитальной асимптотической устойчивости.