С многократными наблюдениями

 

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение получают непосредственно, например, измерение напряжения вольтметром.

Требуемая точность измерений может обеспечиваться, в том числе, повторением многократных наблюдений. Чтобы сократить время для обработки нескольких рядов применяют критерии, позволяющие определить предпочтительный ряд и в дальнейшем обрабатывать только этот ряд.

Такими критериями является сумма остаточных погрешностей и сумма квадратов остаточных погрешностей. Они являются косвенной характеристикой несмещенности и эффективности оценки, полученной при обработке результатов многократных наблюдений.

Ряд, в котором результаты распределены симметрично относительно среднего арифметического значения, т.е. наиболее близко к нормальному закону, в наибольшей степени будет удовлетворять условию равноточности, а при исключенной систематической погрешности – условию несмещенности оценки результата измерения. Несмещенная оценка – статистическая оценка, математическое ожидание которой совпадает с оцениваемой величиной. Несмещенная оценка лишена систематической погрешности.

Эффективной называется та из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Условию эффективности будет удовлетворять ряд с наименьшей суммой квадратов остаточных погрешностей.

 

Рекомендации по обработке результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Перед освоением этого раздела учебного пособия целесообразно ознакомиться с кратким изложением теоретического материала (Приложение 1).

Всю обработку результатов прямых измерений с многократными наблюдениями следует проводить в следующем порядке.

 

1. Проверить результаты наблюдений на наличие грубых погрешностей (промахов). При обнаружении таковых – исключить.

Существует несколько критериев, которые позволяют выявить промахи.

 

«Правило 3σ»

Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону при числе измерений (наблюдений) n > 20...50. По этому критерию считается, что результат q -го измерения, возникающий с вероятностью P ₁ < 0,003  маловероятен и его можно считать промахом. Здесь P ₁=1- P, где Р – д оверительная вероятность, заданная для обработки результатов измерений.

Таким образом, критерий оценки: | , где σ₁ – среднеквадратическое значение отклонений измерений,

 ,                               (1.1)

                                              (1.2)

Величины  и σ вычисляют без учета экстремальных значений x _q.

Критерий Романовского

Критерий Романовского применяется в случае, если число измерений n <20. При этом вычисляется отношение

|                                       (1.3)

и сравнивается с критерием b_Т, выбранным по таблице 1.1 при заданном уровне вероятности Р P ₁ =1- P. Если b > b_Т, то результат x_q считается промахом и отбрасывается.

 

Таблица 1.1 – Таблица уровней значимости

 

Вероятность P 1	bТ
	Число измерений n
	4	6	8	10	12	15	20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,1	1,69	2,0	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

2. Оценить наличие исключаемых систематических погрешностей. При обнаружении таковых исправить результаты наблюдений (формируют новую таблицу с исправленными результатами), исключив эти (эту) погрешности. 

 

3. Вычислить среднее арифметическое   исправленных результатов наблюдений по формуле (1.2).

 

4. Вычислить среднеквадратическое значение σ среднего арифметического результата измерения по формуле:

 ,                             (1.4)

 

5. Определить для заданного значения доверительной вероятности P и числа n из таблицы 1.2 значение коэффициента Стьюдента t _np.

 

Таблица 1.2 – Коэффициенты Стьюдента

 

n	Коэффициенты Стьюдента, t np
	Значения Р
	0,6	0,8	0,95	0,99	0,999
2	1,376	3,078	12,706	63,657	636,61
3	1,061	1,886	4,303	9,925	31,598
4	0,978	1,638	3,182	5,841	12,941
5	0,941	1,533	2,776	4,604	8,610
6	0,920	1,476	2,571	4,032	6,859
7	0,906	1,440	2,447	3,707	5,959
8	0,896	1,415	2,365	3,499	5,405
9	0,889	1,397	2,306	3,355	5,041
10	0,883	1,383	2,262	3,250	4,781
11	0,879	1,372	2,228	3,169	4,587
12	0,876	1,363	2,201	3,106	4,437
13	0,873	1,356	2,179	3,055	4,318
14	0,870	1,350	2,160	3,012	4,221
15	0,868	1,345	2,145	2,977	4,140
16	0,866	1,341	2,131	2,947	4,073
17	0,865	1,337	2,120	2,921	4,015
18	0,863	1,333	2,110	2,898	3,965
19	0,862	1,330	2,101	2,878	3,922
20	0,861	1,328	2,093	2,861	3,883
21	0,860	1,325	2,086	2,845	3,850
22	0,859	1,323	2,080	2,831	3,819
23	0,858	1,321	2,074	2,819	3,792
24	0,858	1,319	2,069	2,807	3,767
25	0,857	1,318	2,064	2,797	3,745
26	0,856	1,316	2,060	2,787	3,725
27	0,856	1,315	2,056	2,779	3,707

 

6. Вычислить случайную погрешность Δ X _сл, в соответствии с выражением:

.                                            (1.5)

7. Оценить значения не исключенных систематических погрешностей. Составляющими этих погрешностей являются: основная и дополнительная погрешности средства измерения, погрешность метода, погрешность, вызванная взаимодействием средства измерения на объект исследования и т.п. В большинстве случаев в качестве границ составляющих не исключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений.

8. Вычислить полную не исключенную систематическую погрешность Δ X _сис для заданного значения доверительной вероятности P:

 ,                                                 (1.6)

где ∆ X _j   - составляющие полной систематической погрешности (основная, дополнительная и прочие погрешности), k - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности (для P = 0,95 k = 1,1 ).

 

9. Вычислить полную погрешность ∆ X, включающую в себя случайную и полную систематическую погрешности:

 

 .                                              (1.7)

 

10. Округлить числовые значения полной погрешности и среднего арифметического результата измерения (см. приложение 2).

 

11. Вычислить относительную погрешность (при необходимости):

 .                                                  (1.8)

12. Записать результат измерения в виде:

 

 […] для P =…                                   (1.9)

 

                                          δ=…

Пример обработки результатов измерений с многократными наблюдениями

В исследуемой электрической цепи на резисторе R ₁ сопротивлением 100 Ом проводились измерения напряжения U с помощью цифрового вольтметра. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.3.

                                                                                                                             Таблица 1.3 – Результаты многократных наблюдений

 

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
U, мВ	2,92	2,98	2,35	2,93	3,01	3,03	3,05	2,99	2,98

 

Примечание: измеряемая физическая величина – напряжение, обозначается буквой U, а поэтому в формулах (1.1 - 1.8) величина x заменяется на U.

Характеристики вольтметра:

- входное сопротивление, R_V = 10 МОм;

- приведенная погрешность, γ = 0,2%;

- верхний предел диапазона измерений, U _В  = 20 мВ;

- относительная дополнительная погрешность, δ_доп, описывается выражением:

,

где t _р – температура окружающей среды.

Условия измерения: t _р= 120° С; доверительная вероятность P = 0,95.

Обработку результатов измерения проводим в соответствии с ранее представленными рекомендациями.

 

1. Рассмотрев результаты в таблице 1.3, замечаем, что результат под номером 3 сильно отличается от остальных результатов. Определим, является ли это значение промахом. Так как количество наблюдений n 20, то применяем критерий Романовского. Воспользуемся выражениями (1.1) – (1.3). Получаем: ; σ₁ = 0,042 мВ; b =15,2. Из таблицы 1.1 для Р =0,01 и n =8 находим b_Т = 2,43.

Поскольку b , то результат под номером 3 оказывается промахом. Он отбрасывается.

 

2. Анализируем методику измерения на предмет наличия исключаемых систематических погрешностей.

Для нашего случая к ним можно отнести: погрешность, связанную с возможным смещением «нуля» вольтметра и погрешность взаимодействия, вызванную шунтированием резистора R ₁ входным сопротивлением вольтметра.

Соединяем клеммы входного кабеля вольтметра между собой. Показания вольтметра: - 0,35 мВ. Это – исключаемая систематическая погрешность. Исправляем результаты таблицы 1.3. Исправленные результаты представлены в таблице 1.4.                                        

 

Таблица 1.4 – Исправленные результаты

 

i	1	2	4	5	6	7	8	9
U, мВ	3,27	3,33	3,28	3,36	3,38	3,4	3,34	3,33

         

Анализируем возможную погрешность взаимодействия исследуемого объекта (резистора R ₁, на котором измеряем напряжение) и вольтметра. Определим отношение параллельного соединения R ₁, R_V к R ₁:

 

.

 

Из последнего видно, что изменение сопротивления составляет всего 0,001 %, что в 200 раз меньше приведенной погрешности вольтметра. Таким образом, вклад погрешности взаимодействия в полную погрешность ничтожен. Этой погрешностью можно пренебречь.

 

3. Вычисляем среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений:

.

4. Вычисляем среднеквадратическую погрешность σ результата измерения, используя выражение 1.4:

σ = 0,016 мВ.

5. Определяем из таблицы 1.2 для Р =0,95 и n =8 коэффициент Стьюдента:

t _np = 2,365.

6. Вычисляем случайную погрешность:

Δ U _сл, = t _np σ = 0,038 мВ.

7. Оценим значения не исключенных систематических погрешностей. Для нашего случая к этим погрешностям относятся: основная и дополнительная погрешности вольтметра.

Рассчитываем абсолютное значение основной погрешности Δ U ₁, используя значения приведенной погрешности γ и верхнего предела диапазона измерений U _в: 

Δ U ₁ = γ U _в/100% = (0,2%)20/100% = 0,04 мВ.

Рассчитываем абсолютное значение дополнительной погрешности Δ U ₂:

.

8. Вычисляем полную не исключенную систематическую погрешность ∆ U _сис для заданного значения доверительной вероятности P =0,95 по формуле (1.6):

 .

9. Вычисляем с помощью выражения (1.7) полную погрешность Δ U, включающую в себя случайную и полную систематическую погрешности:

.

10. Округляем результаты до второго знака после запятой:

                                          =3,34 мВ; Δ U = 0,08 мВ.

11. Вычисляем относительную погрешность δ:

12. Записываем результат измерения:

 

 

                                              δ = 2,4%.

 

Задания по обработке результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Обработать результаты и записать конечный результат измерения.

Задание 1.3.1

В результате проведенных студентом («рука не поставлена» - отсутствие опыта) измерений толщины стальной плиты с помощью микрометра получены следующие результаты (таблица 1.5):

 

Таблица 1.5 – Результаты измерений

 

№ варианта	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	L, мм	10,231	10,229	10,210	10,235	10,234	10,237	10,232	10,229	10,331	10,231	10,227	10,228
2		17,451	17,449	17,102	17,448	17,452	17,453	17,447	17,449	17,450	17,453	17,450	17,451
3		23,551	23,548	23,549	23,552	23,553	23,550	23,721	23,750	23,547	23,551`	23,552	23,554
4		35,761	35,708	35,711	35,709	35,712	35,710	35,708	35,707	35,707	35,706	35,921	35,711
5		47,245	47,243	47,244	47,242	47,239	47,200	47,241	47,243	47,238	47,237	47,240	47,241
6		54,821	54,631	54,633	54,632	54,630	54,629	54,329	54,632	54,631	54,630	54,628	54,629
7		67,772	67,771	67,770	67,768	67,769	67,521	67,769	67,771	67,770	67,773	67,772	67,768
8		75,221	75,222	75,220	75,2	75,019	75,225	75,227	75,228	75,222	75,219	75,218	75,222
9		84,341	84,342	84,340	84,339	84,338	84,341	84,342	84,343	84,340	84,341	84,342	84,341
10		98,815	98,895	98,816	98,818	98,818	98,817	98,814	98,815	98,800	98,817	98,816	98,819
11		110,251	110,254	110,200	110,249	110,248	110,247	110,249	110,252	110,253	110,251	110,248	110,250
12		245,472	245,469	245,521	245,470	245,469	245,468	245,467	245,472	245,470	245,471	245,473	245,471
13		275,621	275,619	275,622	275,617	275,652	275,618	275,622	275,620	275,621	275,623	275,688	275,621
14		320,801	320,531	320,528	320,529	320,532	320,533	320,530	320,528	320,527	320,529	320,5529	320,530
15		345,252	345,248	345,247	345,251	345,253	345,284	345,250	345,202	345,249	345,248	345,252	345,251
16		380,708	380,709	380,703	380,711	380,712	380,707	380,705	380,771	380,711	380,710	380,709	380,708
17		290,351	290,352	290,299	290,349	290,352	290,354	290,371	290,352	290,350	290,355	290,348	290,349
18		35,708	35,707	35,707	35,706	35,821	35,711	35,708	35,761	35,798	35,711	35,709	35,712
19		84,341	84,342	84,370	84,339	84,341	84,342	84,340	84,339	84,338	84,341	84,341	84,342
20		245,472	245,469	245,521	245,470	245,469	245,468	245,467	245,472	245,490	245,471	245,473	245,471

 

Характеристики микрометра:

микрометр 1-го класса точности, предел допускаемой погрешности  мкм;

шаг микрометрического винта – 0,5 мкм;

допускаемое отклонение температуры от 20⁰С: ± 4⁰С.

 

Окончание таблицы 1.5

№	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
21	L, мм	20,231	20,229	20,210	20,235	20,234	20,237	20,232	20,229	20,331	20,231	20,227	20,228
22		27,451	27,449	27,102	27,448	27,452	27,453	27,447	27,449	27,450	27,453	27,450	27,451
23		33,551	33,548	33,549	33,552	33,553	33,550	33,721	33,750	33,547	33,551`	33,552	33,554
24		5,761	5,708	5,711	5,709	5,712	5,710	5,708	5,707	5,707	5,706	5,921	5,711
25		7,245	7,243	7,244	7,242	7,239	7,200	7,241	7,243	7,238	7,237	7,240	7,241
26		9,821	9,631	9,633	9,632	9,630	9,629	9,329	9,632	9,631	9,630	9,628	9,629
27		4,821	4,631	4,633	4,632	4,630	4,629	4,329	4,632	4,631	4,630	4,628	4,629
28		5,221	5,222	5,220	5,228	5,019	5,225	5,227	5,228	5,222	5,219	5,218	5,222
29		4,341	4,342	4,340	4,339	4,338	4,341	4,342	4,343	4,340	4,341	4,342	4,341
30		8,815	8,895	8,816	8,818	8,818	8,817	8,814	8,815	8,800	8,817	8,816	8,819
31		584,341	584,342	584,340	584,339	584,338	584,341	584,342	584,343	584,340	584,341	584,342	584,341
32		498,815	498,895	498,816	498,818	498,818	498,817	498,814	498,815	498,800	498,817	498,816	498,819
33		610,251	610,254	610,200	610,249	610,248	610,247	610,249	610,252	610,253	610,251	610,248	610,250
34		745,472	745,469	745,521	745,470	745,469	745,468	745,467	745,472	745,470	745,471	745,473	745,471
35		875,621	875,619	875,622	875,617	875,652	875,618	875,622	875,620	875,621	875,623	875,688	875,621
36		920,801	920,531	920,528	920,529	920,532	920,533	920,530	920,528	920,527	920,529	920,552	920,530
37		45,252	45,248	45,247	45,251	45,253	45,284	45,250	45,202	45,249	45,248	45,252	45,251
38		80,708	80,709	80,703	80,711	80,712	80,707	80,705	80,771	80,711	80,710	80,709	80,708
39		90,351	90,352	90,299	90,349	90,352	90,354	90,371	90,352	90,350	90,355	90,348	90,349
40		135,708	135,707	135,707	135,706	135,821	135,711	135,708	135,761	135,798	135,711	135,709	135,712

 

 

Условия измерения:

температура окружающей среды - +18⁰С;

изделие выдерживалось при этой температуре 2 часа;

измерение проводилось в перчатках;

доверительная вероятность Р = 0,999.

Результаты измерения в таблице 5 относятся к нормальному распределению.

Задание 1.3.2.

Проводились измерения напряжения U на выходе усилителя постоянного тока (выходное сопротивление менее 1 Ом) с помощью цифрового вольтметра. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 – Результаты многократных наблюдений

 

№ варианта	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	U, мВ	110	112	109	31	108	107	109	111	113	109
2		154	155	154	152	156	157	231	140	153	152
3		188	189	71	185	187	186	183	184	189	187
4		223	225	221	220	222	226	223	220	221	222
5		258	259	257	256	321	257	255	256	258	259
6		291	293	290	292	294	381	345	293	294	290
7		331	330	333	335	331	336	334	332	331	332
8		377	121	375	376	37	154	377	376	374	375
9		394	392	394	395	398	396	631	397	393	392
10		412	413	34	415	417	526	418	412	414	413
11		487	731	485	486	480	483	488	482	484	487
12		541	543	547	545	548	123	548	871	543	540
13		576	575	67	574	579	577	574	572	571	574
14		652	658	657	321	655	654	657	656	87	657
15		771	773	778	775	777	774	773	772	776	774
16		831	832	456	457	833	837	836	833	832	837
17		156	157	131	101	153	152	154	155	154	152
18		220	222	226	223	220	221	242	223	225	221
19		210	212	209	31	208	207	209	211	213	209
20		254	255	254	252	256	257	231	240	253	252
21		391	393	390	392	394	381	345	393	394	390
22		431	430	433	485	431	436	434	432	431	432
23		477	221	475	476	47	254	477	464	474	475
24		494	492	494	495	498	496	631	497	493	492
25		512	513	54	515	517	526	518	512	514	513
26		587	731	585	586	580	583	588	582	584	587
27		641	643	647	645	648	323	648	871	643	640
28		577	574	572	571	574	576	575	97	574	579
29		654	657	656	87	657	652	658	657	421	655
30		774	773	772	776	704	771	773	778	775	777
31		76	75	67	74	79	77	74	72	71	74
32		52	58	57	21	55	54	57	56	87	57
33		71	73	78	75	77	74	73	72	76	74
34		31	32	56	57	33	37	36	33	32	37
35		56	57	31	101	53	52	54	55	54	52
36		20	22	26	23	20	21	42	23	25	21
37		910	912	909	931	908	907	909	911	913	909
38		54	55	54	52	56	57	31	40	53	52
39		91	93	90	92	94	81	45	93	94	90
40		976	975	867	974	979	977	974	972	971	974

Характеристики вольтметра:

- входное сопротивление R _v =10 Мом;

- приведенная погрешность, γ = 0,2%,

- верхний предел диапазона измерений, U _в = 1В,

- относительная дополнительная погрешность, , описывается выражением:

,

где t _р – температура окружающей среды.

Условия измерения: t _р = 80⁰ С; доверительная вероятность P = 0,95.

Результаты измерения в таблице 6 относятся к нормальномураспределению.

 

Задание 1.3.3.

Для отбраковки электрических детонаторов по их собственной емкости проводились измерения в геологической партии в полевых условиях. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице 1.7 при P =0,95.

Применялся мультиметр с параметрами:

 γ = 2%; С _max=1000 пФ; С _м=20 пФ – входная емкость мультиметра (с входным кабелем); 

относительная дополнительная погрешность  описывается выражением:

,

где  – температура окружающей среды;

 

Таблица 1.7 – Результаты многократных наблюдений

 

№ детонатора	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	С, пФ	87	61	89	85	84	82	79	88	84	82	81	80
2		91	85	82	78	77	78	121	80	81	83	84	85
3		82	87	81	84	85	89	91	90	90	88	81	79
4		91	92	90	89	99	90	88	87	86	92	91	90
5		87	85	89	83	87	88	80	86	87	91	90	88
6		78	77	75	79	82	80	78	65	77	76	78	75
7		88	84	82	81	80	87	65	89	85	84	82	87
8		77	78	101	80	81	83	84	85	91	85	82	78
9		90	88	81	79	82	87	81	84	85	89	91	90
10		99	90	88	91	92	90	89	87	86	92	91	90
11		101	100	99	103	100	98	87	99	100	103	102	101
12		105	102	100	107	127	105	106	103	104	102	101	100
13		81	82	80	81	96	83	84	82	84	85	80	85
14		92	90	91	97	90	89	88	92	90	94	78	90
15		89	99	100	103	102	101	101	100	99	103	100	98
16		105	106	103	104	102	101	105	102	100	107	127	105
17		81	96	83	84	82	84	85	80	85	81	82	80
18		51	52	50	56	50	49	47	50	49	48	50	51
19		88	87	84	88	91	90	76	88	89	87	89	91
20		85	91	85	82	78	77	78	104	80	81	83	84
21		187	101	189	185	184	182	179	188	184	182	181	180
22		191	185	182	178	177	178	221	180	181	183	184	185
23		182	187	181	104	185	189	191	190	190	188	181	179
24		191	192	190	189	109	190	188	187	186	192	191	190
25		287	285	289	283	287	188	280	286	287	291	290	288
26		278	277	275	279	282	280	278	265	277	276	298	275
27		288	284	282	281	280	287	165	289	285	284	282	287
28		371	378	401	380	381	383	384	385	391	285	382	378
29		390	388	381	379	382	387	381	384	285	389	391	390
30		106	103	104	87	101	100	105	102	100	107	127	105
31		487	461	489	485	484	482	479	488	484	482	481	480
32		491	485	482	478	477	478	521	480	481	483	484	485
33		482	487	481	484	485	489	491	490	490	488	481	479
34		391	392	390	389	399	390	388	387	386	392	391	390
35		387	385	389	383	387	388	380	386	387	391	390	388
36		378	377	375	379	382	380	378	365	377	376	378	375
37		388	384	382	381	380	387	365	389	385	384	382	387
38		577	578	501	580	581	583	584	585	591	585	582	578
39		590	588	581	579	582	587	581	584	585	589	591	590
40		599	590	588	591	592	590	589	587	586	592	591	590

 

Задание 1.3.4.

В австралийском штате Квислэнд (Queensland) в местечке Лайтнинг Ридж (Lightning Ridge) найден редкий драгоценный черный опал. Для определения стоимости находки (один карат, кт = 0,2 г, черного опала стоит около 4000$) были проведены многократные взвешивания на электронных весах в условиях сильной жары (температура ), низкой влажности и большой запыленности (причины грубых погрешностей). Результаты измерений представлены в таблице 1.8.

Обработать результаты многократных наблюдений для доверительной вероятности P =0,95 и записать результат измерения.

Основная погрешность весов  0,02 кт (определялась при температуре окружающей среды ).

Дополнительная погрешность: .

Таблица 1.8 – Результаты многократного взвешивания опала

№ варианта	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	m, кт