Формулы для установившегося режима

1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):

n – число каналов;

m – длина накопителя;

ρ – интенсивность нагрузки;

К – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.

1. Вероятность отказа в обслуживании:
2. Вероятность обслуживания: Р_обс= 1- P_отк                                                   
3. Абсолютная пропускная способность: A=λ Р_обс
4. Среднее число занятых каналов: , где ρ=λ/ μ
5. Среднее число заявок в очереди:
6. Среднее время ожидания обслуживания:  
7. Среднее число заявок в системе:
8. Среднее время пребывания в системе: t_смо= z/λ

Примеры решения задач

 

Пример № 1. Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

       Определить характеристики дежурного администратора как системы массового обслуживания.

Решение:

1. Классифицируем СМО:

· с отказами (нет накопителя);

· многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).

 

2. Обозначения:

λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)

n – число каналов (n=5);

μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ t_обс)

t_обс – среднее время обслуживания (t_обс=2мин)

ρ – интенсивность нагрузки;

k – номер заявки (число заявок), k=n=5;

Р₀ – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Р_отк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;

Р_обс – вероятность обслуживания.

 

n_з = ρ* Р_обс - среднее число занятых обслуживанием каналов.

к_з = n_з / n - для каналов, занятых обслуживанием.

А = λ Р_обс - абсолютная пропускная способность СМО.

 

3. Определяем характеристики данной СМО:

а) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = 3/2 * 2 = 3 

б) = 1/ (ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+(ρ³/3!)+(ρ⁴/4!)+(ρ⁵/5!) =   

=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)

=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054

в) = (3⁵/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=(243/120)*0,054=0,12

г) Р_обс = 1- Р_отк = 1-0,12=0,88

д) n_з = ρ*Р_обс = 3*0,88=2,6

е) к_з = n_з / n = 2,6/5=0,52

ж) А = λ Р_обс = (3/2)*0,88 = 1,31.

 

    Пример № 2. На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин. Определить характеристики этой СМО.

 

Решение:

       1. Классифицируем СМО:

- с ограниченной длиной очереди

- с накопителем

- многоканальная

- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

       2. Обозначения:

m=2 - длина накопителя

n=2 - число каналов

Остальные обозначения - как в Примере № 1.

       3) Определяем характеристики данной СМО:

а) λ = 1/3;        

б) t_обс = 2 мин;

в) ρ = λ/μ = λ/(1/t_обс) = λ t_обс = (1/3)*2=2/3.

г) Вероятность простоя каналов: =

=1/ ((ρ⁰/0!)+(ρ¹/1!)+(ρ²/2!)+(ρ²⁺¹/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)²]=1/ ((2/3)/0!)+2/3+((2/3)²/(1*2))+

+((2/3)³/ 2(2-2/3)) [1- ((2/3)/2)]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52

 д) Вероятность отказа в обслуживании: = ((2/3)⁴/1*2*2²)*0,52 =(16/81)/8*0,52=0,013

е) Вероятность обслуживания:    Р_обс = 1- Р_отк = 0,987

ж) Абсолютная пропускная способность:   А = λ Р_обс = 0,987*1/3=0,33

з) Среднее число занятых каналов: n_з = ρ*Р_обс = 2/3*0,987=0,658

Для каналов, занятых обслуживанием:

к_з = 0,658/2=0,329.

и) Среднее число заявок в очереди:   

=( (2/3)³/(2*2) ) * 1- ( (2/3)/2)² ) * ( 2+1-2*((2/3)/2) ) / ( 1-(2/3)/2)² ) *0.52

=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14

к) Среднее время ожидания обслуживания: = 0.14/0.33=0.42

л) Среднее число заявок в системе: = 0,14+0,66=0,8

м) Среднее время пребывания в системе: t_смо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или

t_смо= t_or+ t_oбс = 0,42+2=2,42 мин

 

 

Практическое занятие № 12

Наименование работы: Моделирование систем массового обслуживания

Цель работы: научиться моделировать систему массового обслуживания с помощью Mathcad. Формировать ОК 1 – ОК 9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, ПК 1.2.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы массового обслуживания»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Математические методы», 2015г.

Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ

Задание на занятие:

       С помощью Mathcad смоделировать систему массового обслуживания без отказов с 1 прибором обслуживания, в которой интервал времени между поступившими заявками и время обслуживания заявок – случайная величина, имеющая равномерное распределение в интервале (1;10) и (1;8) соответственно.

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе.
2. Выполнить задание в соответствии со своим вариантом.
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель работы, задание;
2. Выполненное задание;
3. Выводы по результатам выполненного задания;
4. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пример моделирования системы массового обслуживания с помощью Mathcad

Пусть нужно смоделировать СМО без отказов с 1 прибором обслуживания, в которой интервал времени между поступившими заявками и время обслуживания заявок – случайная величина, имеющая равномерное распределение в интервале (1;10) и (1;8) соответственно.

 

В данном модуле также используется таблица (K), строки которой соответствуют обслуживаемым заявкам (n строк – n заявок), а столбцы распределены следующим образом (нумерация начинается с 1, что задано свойством ORIGIN=1):

 

1 – номер клиента (заявки)

2 – время поступления (число минут с начала работы)

3 – время обслуживания (в минутах)

4 – время начала обслуживания

5 – время окончания обслуживания

6 - длина очереди

7 – время пребывания в очереди

8 – время пребывания в системе

 

 

 

Задав количество заявок (n=45) получаем следующие результаты:

 

 

 

 

 

Поскольку обычно время между соседними заявками и время обслуживания заявки – случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону, то можно использовать генератор случайных чисел с соответствующим распределением.