Вводим матрицу стоимости перевозок, вектор запасов, вектор спроса

                       

Вводим целевую функцию

x_m,n:=0

Given

x ≥ 0

x:=Minimize(Z,x)

Получим матрицу оптимальных перевозок

 

Определена стоимость оптимальных перевозок

Z(x) =1330

 

Практическое занятие № 7

Наименование работы: Решение задач нелинейного программирования графическим методом

Цель работы: Научиться решать задачи нелинейного программирования. Формировать ОК 1 – ОК 9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, ПК 1.2.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Нелинейное программирование»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Математические методы», 2015г.

Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ

Задание на занятие:

Графически и аналитически решить задачу нелинейного программирования. Полученные результаты проверить с помощью математической системы Mathcad. Исходные данные необходимо выбрать из таблицы в соответствии со своим вариантом.

 

Вариант	Целевая функция	Ограничения
1	Z = (x1 – 8)²+(х2 – 4) ²	х1 + х2 ≥ 4 2х1 + х2 ≤ 16 -х1 + х2 ≤ 2 0,25х1 + х2  ≥ 4 х1≥0,  х2≥0
2	Z = (x1 – 16)²+(х2 – 8) ²	х1 + х2 ≤ 1 6 х1 - х2 ≥ 4 4х1 + х2 ≥ 32 х1≥0,  х2≥0
3	Z = (x1 – 4)²+(х2 – 6) ²	х1 + х2 ≤ 1 6 х1 - х2 ≤ 4 4х1 + х2 ≥ 32 х1≥0,  х2≥0
4	Z = (x1 – 10)²+(х2 – 12) ²	х1 + х2 ≤ 1 6 х1 - х2 ≤ 4 4х1 + х2 ≥ 32 х1≥0,  х2≥0
5	Z = (x1 – 6)²+(х2 – 4) ²	х1 + х2 ≤ 8 х1 + х2 ≥ 2 - х1 + х2 ≤ 2 х1 - х2 ≤ 4 х1≥0,  х2≥0
6	Z = (x1 – 1)²+(х2 – 4) ²	х1 + х2 ≤ 8 х1 + х2 ≥ 2 - х1 + х2 ≤ 2 х1 - х2 ≤ 4 х1≥0,  х2≥0
7	Z = (x1 – 4)²+(х2 – 2) ²	х2≤4 2х1+х2 ≤ 8 х1+х2 ≥4 х1≥0,  х2≥0
8	Z = (x1 – 10)²+(х2 – 2) ²	х1 - х2 ≥ 6 х1 + х2 ≤ 10 х1 + 2х2 ≥ 8 х1≥0,  х2≥0
9	Z = (x1 – 4)²+(х2 – 2) ²	2х1+х2 ≥ 16 х1+ 2х2 ≤ 16 х1≥0,  х2≥0
10	Z = (x1 – 4)²+(х2 – 6) ²	х1 -х2 ≤ 2 х1+х2 ≤ 6 х1+ 2х2 ≥ 4 х1≥0,  х2≥0

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе.

2. Выполнить задание в соответствии со своим вариантом.

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель работы, задание;
2. Выполненное задание;
3. Выводы по результатам выполненного задания;
4. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Сформулируйте задачу нелинейного программирования в общем виде.

2. Чем отличаются задачи нелинейного программирования от задач линейного программирования?

3. Перечислите основные этапы решения задачи нелинейного программирования графическим способом.

4. Где может быть расположена точка экстремума в задачах нелинейного программирования?

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Требуется решить задачу нелинейного программирования тремя способами: графически, аналитически, с помощью математической системыMathcad.При решении нужно найти максимум и минимум целевой функции.

Рассмотрим пример графического и аналитического решения задачи нелинейного программирования. Найдем минимум целевой функции: Z = (х₁-7)² + (х₂-4)² с ограничениями:

х₁+х₂ ≤ 10,

2х₁+х₂ ≥ 12,

х₁-х₂ ≥ 2,

х₁-х₂ ≤ 4

х₁≥ 0, х₂≥ 0

Графическое решение

Чтобы решить задачу графически, вначале следует изобразить многоугольник допустимых решений, построение которого осуществляется так же, как в задачах линейного программирования.

Область, удовлетворяющая всем четырем неравенствам, будет областью допустимых решений (трапеция ABCD).

.

Теперь необходимо построить график ЦФ. Для этого следует отметить центр окружности. В данном  примере х₁ = 7 и х₂ = 4. Затем с помощью циркуля нужно построить несколько окружностей, увеличивая радиус до тех пор, пока окружность не коснется какой либо точки ОДР. В этой точке будет минимум ЦФ. Далее следует найти наиболее удаленную от центра окружности точку ОДР. В этой точке будет максимум ЦФ.

Из рисунка видно, что минимум ЦФ находится в точке F, а максимум – в точке D. Определим приближенно координаты точки F: х₁ = 6,5, х₂ = 3,5. Значение целевой функции в этой точке Z = 0,5. Приближенные значения координат точки D: х₁ = 5,3, х₂ = 1,4. Приближенное значение ЦФ в этой точке Z = 9,65.

 

Аналитическое решение

На основании приближенного графического решения задачи НПР найдём аналитически точный ответ. Для этого, из уравнения целевой функции Z = (х ₁-7)²+(х ₂-4)² найдем частные производные по х ₁ и х ₂:

Производная по х ₁: Z^| = 2(х ₁-7) + 2(х ₂-4)∙ х ₂^| . Приравняем Z^| =0. Затем выразим из этого  уравнения производную х ₂^| : х ₂^| = -(х ₁-7/ х ₂-4).

Определим тангенс угла наклона (производную) для прямой х ₁+ х ₂ = 10

х ₂^| = -1

-(х ₁-7/ х ₂-4) = - 1

х ₁-7 = х ₂-4

Решим систему уравнений

х _{1 -} х ₂ = 3

х ₁+ х ₂ = 10

2 х ₁₌ 13,

х ₁= 6,5

х ₂ = 3,5

Полученные значения х ₁ и х ₂ подставляем в ЦФ Z = (х ₁-7)²+(х ₂-4)²

Таким образом, минимальное значение ЦФ Z=0,5.