Перечень формируемых компетенций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 высшего образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

 

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

УТВЕРЖДАЮ:

Директор КС ПГУТИ

____________Андреев Р.В.

«____»____________2017г.

СБОРНИК

Практических занятий

по дисциплине

«Математические методы»

Номера работ: № 1- 12

для специальности: 09.02.03 – «Программирование в компьютерных системах»

 

Каждая работа рассчитана на 2 часа

 

 

 

Составлен преподавателем Лобачевой М.Е.

 

Рассмотрен на заседании П(Ц)К

«Информационные системы и технологии»

Протокол № 5 от 10.01.2017г.

Председатель П(Ц)К________Шомас Е.А.

 

Самара,

2017 г

Перечень формируемых компетенций

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информацион­но – коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

       ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

       ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

Практическое занятие №1

Наименование занятия: Составление простейших математических моделей

Цель занятия: Научиться составлять математическую модель задач линейного программирования. Формировать ОК 1 – ОК 9.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Линейное программирование»

Литература:

1. Лобачева М.Е.  Конспект лекций «Математические методы», 2015г.

Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ

Задание на занятие:

Составить математические модели задач в соответствии со своим вариантом.

 

Вариант	Выполняемые задания	Вариант	Выполняемые задания
1	1, 7, 15	6	5, 10, 14
2	2, 5, 8	7	1, 3, 8
3	3, 9, 11	8	2, 4, 11
4	4, 5, 12	9	3, 7, 13
5	6, 13, 15	10	6, 14, 15

 

Задача 1. Производительная мощность ремонтного завода позволяет за месяц произвести капитальный ремонт ходовой части 20 тракторов типа А или 40 тракторов типа В. За это же время можно изготовить или 30 кабин тракторов типа А, или 30 кабин тракторов типа В. Определить производственную программу завода, обеспечивающую максимальную прибыль, если стоимость ремонта одного трактора типа А в 2 раза больше стоимости ремонта одного трактора типа В.

Задача 2. Из одного города в другой ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице указаны обязательный состав вагонов поезда, наличный парк вагонов разных видов, из которых можно комплектовать поезд, и количество пассажиров, перевозимых в каждом вагоне.

Параметр	Вагоны
	багажный	почтовый	плацкартный	купейный	мягкий
Скорый поезд	1	1	5	6	3
Пассажирский поезд	1	-	8	4	1
Число пассажиров	-	-	58	40	32
Парк вагонов	12	8	81	70	26

 Определить число скорых и пассажирских поездов, при котором число перевозимых пассажиров будет наибольшим.

Задача 3. Оборудование консервного цеха позволяет подготовить к выпуску фруктовые компоты в двух видах тары: полиэтиленовой, вмещающей 15 центнеров, или жестяной, вмещающей 5 центнеров. Можно подготовить полиэтиленовой тары – на 12 центнеров продукции, жестяной – на 6 центнеров. Определить производственную программу, дающую наивысшую прибыль, если себестоимость производства одного центнера компота в полиэтиленовой таре составляет 30 у.е., в жестяной – 15 у.е. Отпускная цена независимо от тары 40 у.е./ц.

Задача 4. Механический цех за смену может изготовить 600 деталей №1 или 1200 деталей №2.Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на термообработку в тот же день, позволяет обработать 1200 деталей №1 или 800 деталей №2. Цены на детали одинаковые. Оба цеха работают в одну смену. Определить ежедневную производительную программу выпуска деталей, максимизирующую товарную продукцию предприятия. 

Задача 5. При составлении ежедневного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать особой питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 100 г), фосфор (не менее 80 г). В таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и себестоимости этих продуктов.

Продукт	Количество кормовых единиц	Белок, г/кг	Кальций г/кг	Фосфор г/кг	Себестоимость 1 кг, у.е.
Сено	0,5	46	1,25	2	1,2
Силос	0,5	10	2,5	1	0,8

Определить оптимальный рацион при условии минимальной себестоимости.

Задача 6. На складе имеется 204 изделия вида А, 278 изделий вида В, 365 изделий вида С. Транспортная фирма берется обеспечить перевозку части этих изделий автомобилями двух типов при условии их полной загрузки. Полная загрузка автомобилей первого типа обеспечивается помещением в него изделий А, В, С в количествах 4, 2, 4 соответственно. Полная загрузка автомобилей второго типа обеспечивается помещением в него изделий А, В, С в количествах 3, 5, 5 соответственно. Прибыль от перевозки груза автомобилем первого типа составляет 3 у.е., второго типа – 5 у.е. Определить, сколько автомобилей каждого типа должна выделить транспортная фирма для перевозки груза, чтобы обеспечить наибольшую прибыль.

Задача 7. Для выработки удобрений видов А и В применяется сырье, запасы которого составляют 600, 400, 2400, 2500 кг. Количество сырья каждого вида, необходимого для производства удобрений, приведено в таблице.   

Сырье	Удобрения
	А	В
S1	0,2	0,1
S2	0,1	0,1
S3	0,3	0,8
S4	0,4	0,2

Доход от продажи 1 кг удобрения А составляет 2 у.е., удобрения В – 1,5 у.е. Составить план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

Задача 8. Завод может производить за месяц или 200 роторов электродвигателя типа А, или 600 роторов электродвигателей типа В. За это же время завод может изготовить 400 статоров для электродвигателей типа А или 500 статоров для электродвигателей типа В. Цены двигателей соотносятся как 6:4. Определить производственную программу завода для обеспечения максимума общей стоимости продукции.

Задача 9. Цех №1 за месяц может произвести капитальный ремонт 8 двигателей комбайнов. Цех №2 за это время может отремонтировать 7 ходовых частей комбайнов типа А или 11 – типа В. Цех №3 при этом может выполнить все работы на 14 комплектах навесных агрегатов для комбайнов типа А или на 7 комплектах для комбайнов типа В. Капитальный ремонт комбайна типа А в два раза дешевле капитального ремонта комбайна типа В. Определить производственную программу завода, обеспечивающую максимальный доход.

Задача 10. Для изготовления двух типов изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. Изделия изготовляются на токарных и фрезерных станках. В таблице приведены запасы стали и цветных металлов, которыми располагает предприятие, ресурсы оборудования по станкам, нормы расхода материалов и нормы затрат на единицу изделия, прибыль от продажи единицы каждого изделия. 

Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода на одно изделие
		А	В
Сталь (кг)	570	10	70
Цветные металлы (кг)	490	20	50
Токарные станки (станко-час)	5600	300	400
Фрезерные станки (станко-час)	3400	200	100
Прибыль (у.е.)		3	8

Определить план выпуска продукции, при котором будет достигаться максимальная прибыль.

Задача 11. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные шкафы. При изготовлении этих товаров используются два различных типа досок, причем фабрика имеет в наличии 1500 м досок типа I и 1000 м досок типа II. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количестве 8000 чел.-ч. В таблице приведены нормативы затрат каждого из видов ресурсов на изготовление 1 ед. изделия и прибыль на 1 ед. изделия.

Ресурсы	Затраты на 1 ед. изделия
	Столы	Стулья	Бюро	Шкафы
Доски I типа, м	5	1	9	12
Доски II типа, м	2	3	4	1
Трудовые ресурсы, чел.-ч.	3	2	5	10
Прибыль, у.е/шт	12	5	15	10

Определить оптимальный ассортимент, обеспечивающий максимальную прибыль при условии комплектности: количество столов относится к количеству стульев, как 1:6.

Задача 12. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 8, 6, 4 и 10 у.е., а единицы веса сплава, соответственно, 20, 30, 40 у.е. Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный – не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничений. Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса декоративного сплава.

Составить производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

Задача 13. Механический завод при изготовлении трёх разных типов деталей использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими способами. В таблице указаны ресурсы (в станко-часах) каждой группы станков, нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.

Детали	I			II			III			Ресурсы времени
Технологические способы	1	2	3	1	2	3	1	2	3
Токарный	0,4	0,9	0,5	0,5	0,3	-	0,7	-	0,9	250
Фрезерный	0,5	-	0,4	0,6	0,2	0,5	0,3	1,4	-	450
Строгальный	0,3	0,5	0,2	0,4	1,5	0,3	-	1	0,5	600
Прибыль	12			18			30

Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль при условии выполнения соотношения между количеством деталей различных типов 1:2:1.

Задача 14. Строительный комбинат производит 2 типа облицовочных плит. Для производства используется цветной цемент, мраморная и гранитная крошка. Потребление компонентов задано пропорциями 10:5:9:4, 17:10:4:5. Последний член в пропорции задаёт потребление прочих материалов (красители, вода и др.). Комбинат располагает материалами в количестве 50 000 т цветного цемента, 22 000 т мраморной крошки, 30 000 т гранитной крошки, прочие материалы без ограничений. Определить оптимальный план производства облицовочных плит, который позволяет произвести отделку максимальной площади, если известно, что на облицовку одного квадратного метра необходимо 0,07 т плит первого типа или 0,1 т второго типа.

Задача 15. Для кормления скотаиспользуются грубые корма и концентраты. В 1 кг концентратов содержится 0,8 кормовых единиц и 0,06 кг протеина, в 1 кг грубых кормов – 0,3 кормовых единиц и 0,05 кг протеина. Суточный рацион должен содержать не менее 12 кормовых единиц и не менее 1,5 кг протеина. Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, если 1 кг концентрата стоит 10 у.е., а 1 кг грубых кормов – 6 у.е.

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе;
2. Выполнить задания в соответствии со своим вариантом;
3. Ответить на контрольные вопросы.

 

Содержание отчета:

1. Наименование, цель работы, задание;
2. Выполненное задание;
3. Выводы по результатам выполненного задания;
4. Ответы на контрольные вопросы.

 

Контрольные вопросы для зачета:

1. Какие задачи относятся к задачам линейного программирования?

2. Запишите общий вид задачи линейного программирования.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пример построения математической модели задачи

Предприятие изготавливает и продает краску двух видов: для внутренних и внешних работ. Для производства краски используется три исходных продукта S1, S2 и S3. Расходы продуктов и запасы этих продуктов на складе приведены в таблице:

 

Исходный продукт	Расход продуктов (в тоннах на 1 т. краски)		Запас продукта на складе (тонн)
	краска для внутренних работ	краска для внешних работ
S1	10	5	250
S2	20	20	500
S3	5	5	200

Выпуск 1 тонны краски для внутренних работ приносит предприятию прибыль в размере 200 денежных единиц (ден. ед.), для внешних работ - 200 ден. ед. Требуется определить, сколько краски каждого вида следует производить предприятию, чтобы получить максимальный доход (при соблюдении ограничений на ресурсы).

1) Введем переменные задачи:

Обозначим x ₁ - количество производимой краски для внутренних работ; x ₂ - соответствующее количество краски для наружных работ.

2)Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи:

Учитывая количество каждого вида сырья для производства краски, а также запасы сырья и прибыль, получаемую от выпуска изделий, составим соответствующие ограничения.

3) Целевая функция задачи:

Обозначим Z доход от продажи краски, тогда целевая функция задачи записывается так:

Z = 200 х ₁ + 200 х ₂

 

Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти максимум целевой функции

Z = 200 х ₁ + 200 х ₂  при ограничениях

Это и есть математическая модель задачи.

Практическое занятие №2

Наименование занятия: Решение задач линейного программирования графическим методом

Цель занятия: Научиться составлять математическую модель задачи линейного программирования, решать ее графическим методом. Формировать ОК 1 – ОК 9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, ПК 1.2.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Линейное программирование»

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Математические методы», 2015г.

Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ

Задание на занятие:

Задание 1. Решить задачу линейного программирования графическим методом

 

Вариант		Вариант
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

 

Задание 2. Составить математическую модель задачи и решить ее графическим методом

 

Один из цехов предприятия выпускает изделия двух видов: А и В. Для производства этих изделий требуются три вида сырья: S1, S2 и S3. На выпуск изделия А расходуется D1 кг S1, D2 кг S2 и D3 кг S3. На выпуск изделия В расходуется F1 кг S1, F2 кг S2 и F3 кг S3. Запасы ресурсов ограничены: за рабочую смену цех может израсходовать не более G1 кг S1, G2 кг S2 и G3 кг S3. Выпуск изделия А приносит предприятию прибыль в размере Р1 денежных единиц (ден. ед.), изделия В - Р2 ден. ед. Требуется составить оптимальный план работы цеха, т.е. найти, сколько изделий А и изделий В требуется выпускать, чтобы получить максимальную прибыль (при соблюдении ограничений на ресурсы).

 

Вариант	D1	D2	D3	F1	F2	F3	G1	G2	G3	P1	P2
1	5	10	20	20	5	5	500	250	200	300	100
2	15	10	10	10	10	10	400	200	350	150	250
3	10	15	10	10	15	5	200	400	350	250	150
4	15	15	5	15	5	15	450	250	250	200	200
5	10	20	5	5	20	5	250	500	200	200	200
6	5	15	15	15	5	15	250	250	450	200	200
7	5	15	15	15	15	5	250	400	250	200	200
8	10	15	10	15	10	10	300	300	250	250	150
9	15	10	10	10	10	15	300	250	300	250	150
10	10	10	15	10	15	10	250	300	300	150	250

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе;
2. Выполнить задания в соответствии со своим вариантом;
3. Ответить на контрольные вопросы.

 

Содержание отчета:

1. Наименование, цель работы, задание;
2. Выполненное задание;
3. Выводы по результатам выполненного задания;
4. Ответы на контрольные вопросы.

 

Контрольные вопросы для зачета:

1. Какие задачи относятся к задачам линейного программирования?

2. Запишите общий вид задачи линейного программирования.

3. Геометрический метод решения задач линейного программирования, его достоинства и недостатки

4. Как определяется область допустимых решений?

5. Перечислите основные этапы решения задачи ЛПР графическим способом.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Практическое занятие №3

Наименование занятия: Решение задач линейного программирования с помощью Excel и Mathcad

Цель занятия: Научиться решать задачи линейного программирования с помощью Excel и Mathcad. Формировать ОК 1 – ОК 9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК 1.1, ПК 1.2.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Линейное программирование».

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Математические методы», 2015г.

Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ

Задание на занятие:

Составить математическую модель задачи линейного программирования и решить ее с помощью Microsoft Excel и MathСad, сравнить полученные результаты.

Имеется  продуктов , содержащих  видов питательных веществ . Пусть , где ;  — количество единиц -го питательного вещества в единице -го продукта;  — суточная потребность (минимальная норма) организма в -м питательном веществе;  — стоимость единицы -го продукта. Требуется выбрать такой суточный рацион питания (т. е. назначить количества продуктов , входящих в него), чтобы условия по питательным веществам были выполнены, а стоимость рациона была минимальной.

Вариант