Признаки монотонности функции. Экстремумы функции и их признаки.

⊐ f определа на

f имеет в т.  (локальный) max(min), если ∃ окрестность U=U(  такое что f( f() для xϵU

-т. экстремума (т.max или т.min)

1) т.Ферма ↝ необходимый признак экстремума

если -т.экстремума f, то либо )=0, либо

2) достаточные точки экстремума

Признак 1. ⊐ f непрерывна на

$ U( =U такое что дифференциал в U, за исключением может быть самой т. , причем  " сторонняя от  сохраняет значение.

Если при пререходе через т.  слева направленная  меняется знак

+ → ‑ ↝ т.

- → + ↝ т.

↝ в  нет экстремума

Замечание: f имеет непрерывную  в

 знак  сохраняем

Признак2: ⊐ дифференциал в некоторой окрестности точки  и ⊐  (т.е.  - стационарная точка) и $

если >0, то - точка min; <0, то - точка max

Доказательство: ⊐ >0 =

↝ в некоторой окрестности точки

↝ если хϵ этой окрестности и х< ↝ х- <0↝  и х> ↝ х- <0↝

рисунок↝

Признаки монотонности: ⊐ f определена на , f возрастает на , если "  строго возрастает

Теорема 1. ⊐ f непрерывна на  и дифференциал в (a,b); f возрастает на

⇐ ⊐ f(  т.е. f(

Замечание:1)f непрерывна , дифференциал в (a,b) и  "хϵ(a,b),то f строго возрастает

2)если f строго возрастает, то не обязательно  в (a,b)

f(x)=  строго возрастает

Теорема 2. f непрерына  и дифференциал во всех точках (a,b) за исключением конечного числа a<

 там где она $↝f возрастает на

Формула Тейлора и её применение к отысканию экстремума.

f опр <a,b>; f’( =

↝f(x)-f( = *

При x

1) ⊐ n-четное ↝ >0 при  

если

если

2) ⊐ n-нечет ↝ ↝f(x)-f(  меняется знак↝ в  экстр.нет

f'()=f’’( …=

n-нечет если ,

n-нечет в  экстр.нет

f(x)=

f’(x)=

f’’(x)=

f’’’(x)=

f’’’’(x)=

33. Формы Лагранжа для  в формуле Тейлора.

 где с-нек.т, расположенная между x и

Если  при n→∞

Чем меньше величина |x-  т ем быстрее  убывает с ростом n.

Частым случаем этой формулы при n-0 является теорема Лагранжа:

f(x)=f()+f’(c)*(x- )

Для доказательства формулы (1) рассмотрим вспомогательную функцию

j(z)=f(x)- где zϵ[

Отметим, что jэ(я)=

Введем функцию y(z)= , где n+1>0

$ сϵ[ , что = Учитывая, что

j(ч)=0,

y(x)=0, y(

получим

 

Выпуклые функции (разностное и дифференциальные условия).

Лемма: ⊐

Док-во: 1) если х=a xϵ

2) ⊐ xϵ

Замечание: т.к. a+b=1 ↝ a=1-b↝x=a (1-b)  рисунок

⊐ f непрерывна  f  выпуклая на

" ϵ  и " a,b такое что 0≤a, b≤1, a+b=1

f (a  (*)

Замечание: f называется вогнутой на

f вогнутая ⟺ в (*)справедливо ≥

Разностное условие выпуклости:

f опр  произв:  такое что

f выпуклая на  ⇔ f(x)≤ )-f(x))⇔  (**) рисунок

Т.о. f выпуклая на  ⇔ " трех чисел  выполняется (**)

f выпуклая ⇔ (**)

Теорема 1: ⊐ f непрерывна на  дифф-а в

эквивалентны: 1) f выпуклая на

2)  возрастает на ↝выполнены разностные условие и ↝

≤ ≤  ↝ , то ⇔ разностное условие

Теорема 2: ⊐ f непрерывна на  и в (a,b) $ (x)

эквивалентны: 1) f выпуклая на  

f выпуклая

2)

Замечание: если т.  разделяет участки выпукл и вогнут т.