Множества и операции над ними. Их свойства.

Вопросы для экзамена по математическому анализу.

1.  Множества и операции над ними. Их свойства.

2. Определение функции. Образы и прообразы множеств.

3.  Биекции, теорема о $ обратной функции.

4. Счетные множества и их свойства.

5. Множество , сечения. Аксиома полноты и теорема о $ точных граней множества в

6. Определение о свойства  , неопределённости.

7. Предел монотонной последовательности. Число е.

8. Лемма о последовательности вложенных отрезков. Теорема об открытом покрытии отрезка.

9. Теорема Б-В о подпоследовательности. Критерий Б-К для сходимости числовой последовательности.

10. Множества мощности  и их свойства.

11. Наибольший и наименьший пределы последовательности.

12. Определения придела функций на двух языках.

13. Свойства предела функции.

14. Односторонние пределы функции.

15.

16. Предел монотонной функции (один из вариантов).

17. Критерий Б-К для предела функции.

18. Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций.

19. Теоремы Коши о непрерывной функции на промежутке.

20. Непрерывность монотоной функции.

21. Степень  с вещественным показателем х.

22. Свойства показательной функции f(x)=

23. Логарифмическая функция и замечательные приделы , ,

24. Теорема В о Наибольшем и наименьшем значениях Функции на отрезке.

25. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора о равномерной непрерывности функции.

26. Определение f'(, правила дифференцирования.

27. Дифференцируемые функции. Уравнение касательной прямой кграфику функции.

28. Производная суперпозиции функций.

29. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

30. Правила Лопиталя.

31. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции и их признаки.

32. Формула Тейлора и её применение к отысканию экстремума.

33. Формы Лагранжа для  в формуле Тейлора.

34. Выпуклые функции (разностное и дифференциальные условия).

 

Множества и операции над ними. Их свойства.

· Способы задания:

1) перечисление (B=  f.e. B=  – нечётные числа)

2) описание (Х=  f.e. X=  – ная числа меньше 7

· Операции: М – основное множество А,В с М

1) Объединение: А В =  рисунок

2) Пересечение: А В=

3) Разность: А\В=

· Свойства:

1) Дистрибутивные законы

(А∪В)∩С=(А∩В) ∪ (В∩С), (А∩В) ∪С=(А∪С)∩(В∪С)

2) Законы двойственности (Де Морган)

 ,

Предел монотоной последовательности. Число е.

Теорема:

- если

- если  не огр, то lim=+∞

Число Эйлера: e=2,718281828

конечный

Определения придела функций на двух языках.

I) Aϵ lim f при x→a,если ждя " ϑ(А) $ окрестность

U(a),т.ч. f(U(a)∩X)ϵ ϑ(A)

 Станд.окр:

1)≠a,AϵR (конечные)

lim f(x)=A↝для всех ε>0 $d≫0 для "xϵX

x≠a, |x(x→a)-a|<d↝|f(x)-A|<e

II) x≠∅ϵR; aϵ  Если U(a)= ϑ(a)\{a}-пред.окр

точки а (а-пред.т.мн-ва х, если для " U(a)↝ ϑ(a)∩X≠∅)

1)a-пред.т.Х, когда $

U(n)=(n;∞)

a=+∞

Если а-пред.т. ϑ(ф)сод. беск.число т из х

I эквивалетно II

 

Свойства предела функции

x⊂ℝ; f,g : X→ ℝ; aϵ

1) единственность: ⊐

2) if  ↝ $ U(a): if xϵ

3) if ↝ $ U(a): f огр в U(a)∩x

4) ↝ $ =A±B

Аналогично:

 (g(x)≠0, B≠0)

5) предельный переход в нер-ве:

↝A≤B

f(x)≤g(x) (xϵx, x≠a)

6) предел сужения:

⊐ )

⊐ g=  если $

7) предел суперпозиции:

⊐

h опр на  ↝

 

14. Односторонние пределы функции.  

x⊂ℝ; aϵ ℝ-пред.т.Х f:X→ ℝ

 ;  рисунок

Определение: ⊐ а-пред.т

Если $ -то он называется левостор.предел f при x→a и обозн. через

аналог.прав.предел

x=ℝ; f(x)=[x-цел.часть х]=E(x)-наиб.число, непровосх.Х

Замечание: 1) если а-предел.т.Х, то она явл пред.т. хотя бы одного из множеств

2) если а явл. пред.т. только ), то $-е f(a-0)⇔

3) если $ обыч. предел  и а-пред.т. ,то $ f(a-0), f(a+0) f(a-0)=f(a+0)=

=1

1) $ 0<x<  рисунок

разделим sinx на " вел.в неравенстве

sinx<x<tgx

1>sinx/x>cosx ↝ 0<1 sinx/x<1-cosx=2 2sin <2*x/2=x

↝ =1

2) = = =1

следствие: =1/2 =1

15.

=e

Известно, что =e nϵℕ

↝ " п.посл {  нат.чисел,

⊐ {

для " k найд.нат.число  т.ч.

↝  т.о. доказано =e

положим ⊐ = = = =

=e

следствие = =e

16. Предел монотонной функции (один из вариантов).

⊐ ф-я f опр на х⊂ℝ

f  возраст: "

убыв: "

монотонной, если f-возр или f-убыв

х⊂ℝ: f-монот на Х, а-пред.т.Х (аϵ )

Рисунок

 

 

Теор: $ f возраст на х⊂ℝ; а-пред.т.Х а=sup; (для I) a∉X тогда $

в частности: а) если f огр сверху, то f иеет в т. а кон lim,

б) если f не огран сверху, то

Док-во: (для кон а)

a) ⊐ для "xϵX f(x)≤M<∞ тогда $ кон supf(x)=A

Докажем, что А=  рисунок

e>0↝$ x’ϵX, т.ч. А-e<f(x')

⊐ d=a-x’ (↝d>0)

тогда если хϵХ и

a-d<x<a↝A-e<f(x’)≤f(x)≤A

a↝|f(x)-A|<e
⇔ =A

б) ⊐ supf(x)=∞ и число М∈ℝ

$ x'ϵX,т.ч. M<f(x’) и ⊐ d=a-x’. Тогда "xϵX, т.ч. x’<x<a спр. M<f(x’)≤f(x) т.е. =∞

точно также аналогично можно с II,III,IV

Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций.

Пусть функция f9x) определена в некоторой окрестности 0() точки  (включая саму точку , если существует , равный значению функции f(x) в этой точке: f(  

Замечание: равенство (1) можно записать в виде: f  x), т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть ∆x=x-  -приведение аргумента ∆y=f(x)-f(  - соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

 Функцияу=f(x) непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда

Замечание: условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны. пусть f(x) опр в полуинтервале [ .

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке

Пусть f(x) опрделена в полуинтервале (

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке  существует односторонний предел

Теорема: (непрерывность сужения функции):

Пусть f:X→ℝ; E⊂X;

Если f непрерывна в точке  то g-непрерывна в

(непрерывность суперпозиции функций)

Пусть f:X→ℝ; g: X→ℝ; f(x)⊂Y: ϵX  f непрерывна в

Тогда h=g◦f непрерывна в

Пусть { →

т.к. f непр в то

т.к. g непр в , то g  =

Правила Лопиталя.

Теорема 1: ®расрытие неопределенностей x®

⊐ функции f,g определены на (a,b>

 на (a,b>

3)

4)

5) $

Тогда $

 если правда lim $, то определим f,g в т. а положив f(a)=g(a)=0

Тогда f,g непрерывны на [a,b> и дифференциалы в (a,b)

Рассмотрим a<x<b на [a,b] можем применить теорему Коши

a<x<b®

Теорема 2: ⊐ f,g определены на <c,∞)

<c,∞)

3)

4)

5) $

Тогда ⊐

⊐ t=

1)  непрерывны на  как суперпозиция непрерывных функций

2)

 

3)

4)

5) =k по т.1 ⊐

Теорема 3: ⊐ f,g определена на (a,b> (-∞≤a)

на (a,b>

3)

4)

5) $

Скорость стремления  рисунок

+ ∞

2)

= = + ∞

Вопросы для экзамена по математическому анализу.

1.  Множества и операции над ними. Их свойства.

2. Определение функции. Образы и прообразы множеств.

3.  Биекции, теорема о $ обратной функции.

4. Счетные множества и их свойства.

5. Множество , сечения. Аксиома полноты и теорема о $ точных граней множества в

6. Определение о свойства  , неопределённости.

7. Предел монотонной последовательности. Число е.

8. Лемма о последовательности вложенных отрезков. Теорема об открытом покрытии отрезка.

9. Теорема Б-В о подпоследовательности. Критерий Б-К для сходимости числовой последовательности.

10. Множества мощности  и их свойства.

11. Наибольший и наименьший пределы последовательности.

12. Определения придела функций на двух языках.

13. Свойства предела функции.

14. Односторонние пределы функции.

15.

16. Предел монотонной функции (один из вариантов).

17. Критерий Б-К для предела функции.

18. Определения непрерывности функции в точке. Непрерывность сужения и суперпозиции функций.

19. Теоремы Коши о непрерывной функции на промежутке.

20. Непрерывность монотоной функции.

21. Степень  с вещественным показателем х.

22. Свойства показательной функции f(x)=

23. Логарифмическая функция и замечательные приделы , ,

24. Теорема В о Наибольшем и наименьшем значениях Функции на отрезке.

25. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема кантора о равномерной непрерывности функции.

26. Определение f'(, правила дифференцирования.

27. Дифференцируемые функции. Уравнение касательной прямой кграфику функции.

28. Производная суперпозиции функций.

29. Теорема Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

30. Правила Лопиталя.

31. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции и их признаки.

32. Формула Тейлора и её применение к отысканию экстремума.

33. Формы Лагранжа для  в формуле Тейлора.

34. Выпуклые функции (разностное и дифференциальные условия).

 

Множества и операции над ними. Их свойства.

· Способы задания:

1) перечисление (B=  f.e. B=  – нечётные числа)

2) описание (Х=  f.e. X=  – ная числа меньше 7

· Операции: М – основное множество А,В с М

1) Объединение: А В =  рисунок

2) Пересечение: А В=

3) Разность: А\В=

· Свойства:

1) Дистрибутивные законы

(А∪В)∩С=(А∩В) ∪ (В∩С), (А∩В) ∪С=(А∪С)∩(В∪С)

2) Законы двойственности (Де Морган)

 ,