Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Критерий Больцано-Коши для сходимости числовой последовательности.

· Теорема Б-В

- числовая последовательность, зафиксирована последовательностью нат чисел

если  п\посл

· Критерий Б-К

Теорема:  имеет lim (сходящ)  для "e>0 $ нат N (услове Б-К ( -фундаментальн, -сходится в себе)

1) Необх ⇒: ⊐

по опр lim посл

$ нат N: при  ,

А тогда если m,n

2)достаточно ⇐ ⊐ для

e<0 – произв и ⊐ нат N из (*) ↝ при n,m ≥N

но n≥N↝  огр и по т. Б-В

$ п\посл  для кот →

подберем

тогда при n≤N ↝ )+(( =2e

10. Множества мощности  и их свойства.

Мощность множества – количество элементов множества (кон).

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, называется мощностью континиума.

Множество I точек отрезка [0,1] имеет мощность континиума

Континиум - мощность множества всех вещественных чисел С

Свойства континуума:

1) бесконечная мощность, превосходящая мощность счетного множества Любое конт.мн-во содержит счетное п.множество.

2) С – мощность булеана счетного множества

3) мощность объединения не более чем контин. семейства множеств, которые не более чем континиальны, не превосходит континиума.

4)при разбиении конт.мн-ва на конечное или счетное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность С.

Множества мощности С:

Теор 1: мн-ва всех чисел в [0,1] несчетное (∞ и не явл. счет)

опр: Множество А имеет мощность С, если А рав. [0,1]

A ~[0,1] ($ биекция [0,1]→A)

обознач: А имеет мощность С: |A|=C, А-С-мн-во

Наибольший и наименьший пределы последовательности.

Для "  (будь то она ограничена или нет) существуют частичные пределы. Среди них обязательно найдутся наиб и наим пределы и обозначаются

и lim

Любая послед огр.сверху

Опр-м " n

Тогда " n - кон и ↓ ( =infy⇋  верх (наиб) предел (

Ясно – ∞ с  <∞

Если ( не огр.сверху, то по опр

2) пусть (  огр снизу

Опр-м "n =inf(

Тогда "n  - кон и  ↑ ( =sup ⇋ lim  - нижн (наим) предел ()

ясно, что -∞< lim

если же (  не ограничен снизу, то по опр lim

Опр: число а (кон и беск)  частичный предел  п.посл т.ч.

1) пусть а-част.предел (

тогда lim

2) ( имеет предел (кон и беск) ⇔ lim =  при этом lim =

Определения придела функций на двух языках.

I) Aϵ lim f при x→a,если ждя " ϑ(А) $ окрестность

U(a),т.ч. f(U(a)∩X)ϵ ϑ(A)

 Станд.окр:

1)≠a,AϵR (конечные)

lim f(x)=A↝для всех ε>0 $d≫0 для "xϵX

x≠a, |x(x→a)-a|<d↝|f(x)-A|<e

II) x≠∅ϵR; aϵ  Если U(a)= ϑ(a)\{a}-пред.окр

точки а (а-пред.т.мн-ва х, если для " U(a)↝ ϑ(a)∩X≠∅)

1)a-пред.т.Х, когда $

U(n)=(n;∞)

a=+∞

Если а-пред.т. ϑ(ф)сод. беск.число т из х

I эквивалетно II

 

Свойства предела функции

x⊂ℝ; f,g : X→ ℝ; aϵ

1) единственность: ⊐

2) if  ↝ $ U(a): if xϵ

3) if ↝ $ U(a): f огр в U(a)∩x

4) ↝ $ =A±B

Аналогично:

 (g(x)≠0, B≠0)

5) предельный переход в нер-ве:

↝A≤B

f(x)≤g(x) (xϵx, x≠a)

6) предел сужения:

⊐ )

⊐ g=  если $

7) предел суперпозиции:

⊐

h опр на  ↝

 

14. Односторонние пределы функции.  

x⊂ℝ; aϵ ℝ-пред.т.Х f:X→ ℝ

 ;  рисунок

Определение: ⊐ а-пред.т

Если $ -то он называется левостор.предел f при x→a и обозн. через

аналог.прав.предел

x=ℝ; f(x)=[x-цел.часть х]=E(x)-наиб.число, непровосх.Х

Замечание: 1) если а-предел.т.Х, то она явл пред.т. хотя бы одного из множеств

2) если а явл. пред.т. только ), то $-е f(a-0)⇔

3) если $ обыч. предел  и а-пред.т. ,то $ f(a-0), f(a+0) f(a-0)=f(a+0)=

=1

1) $ 0<x<  рисунок

разделим sinx на " вел.в неравенстве

sinx<x<tgx

1>sinx/x>cosx ↝ 0<1 sinx/x<1-cosx=2 2sin <2*x/2=x

↝ =1

2) = = =1

следствие: =1/2 =1

15.

=e

Известно, что =e nϵℕ

↝ " п.посл {  нат.чисел,

⊐ {

для " k найд.нат.число  т.ч.

↝  т.о. доказано =e

положим ⊐ = = = =

=e

следствие = =e

16. Предел монотонной функции (один из вариантов).

⊐ ф-я f опр на х⊂ℝ

f  возраст: "

убыв: "

монотонной, если f-возр или f-убыв

х⊂ℝ: f-монот на Х, а-пред.т.Х (аϵ )

Рисунок

 

 

Теор: $ f возраст на х⊂ℝ; а-пред.т.Х а=sup; (для I) a∉X тогда $

в частности: а) если f огр сверху, то f иеет в т. а кон lim,

б) если f не огран сверху, то

Док-во: (для кон а)

a) ⊐ для "xϵX f(x)≤M<∞ тогда $ кон supf(x)=A

Докажем, что А=  рисунок

e>0↝$ x’ϵX, т.ч. А-e<f(x')

⊐ d=a-x’ (↝d>0)

тогда если хϵХ и

a-d<x<a↝A-e<f(x’)≤f(x)≤A

a↝|f(x)-A|<e
⇔ =A

б) ⊐ supf(x)=∞ и число М∈ℝ

$ x'ϵX,т.ч. M<f(x’) и ⊐ d=a-x’. Тогда "xϵX, т.ч. x’<x<a спр. M<f(x’)≤f(x) т.е. =∞

точно также аналогично можно с II,III,IV