Определение функции. Образы и прообразы множеств.

Функция – соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствии некоторый элемент из другого множества.  рисунок

Е с Х+Y

Если хϵХ, то

Если уϵУ, то

· Теорема 1. (свойства образов)

 X тогда

1)

2) f(

3)

Док-во:

· Теорема 2. (свойства прообразов)

1)

2)

3)

Док-во:

3. Биекции, теорема о $ обратной функции.

Суперпозиция: h  суперпозиция f и g

Обратная функция: f:x

g

Инъекция, биекция, сюръекция:

1) f

2) f

3) f  биекция, если f одновременно инъекция и сюръекция

Теорема об обратной функции.

Для f:X

а) f-биекция

б)

Док-во:

строим функцию g следующим образом:

 

Счетные множества и их свойства.

Счетное множество- это множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами

или х-счетное, если $ биекция Х→ℕ

или х-счетное, если |X|=|ℕ|

⊐ A-счетное множество , B-кон.множество

A∩B=∅,тогда А∪В-счетное мн-во

Док-во: построим биекцию N→A∪B

f(k)= , k=1,2,…,m

f(k)=  k=m+1,m+2…

Отображение f каждому нат числу ставит ставит в соответствие элемент множества А∪В, причем отображение – биекция

Множество ℚ-счетно

ℤ-счетно,дек.произв ℤ*ℕ счетно. Поставим в соотвествие произвольному эл-ту (p;q) из ℤ*ℕ рац число p/q

Отображение f: ℤ*ℕ→ℚ сюръективно

" рац число r можно представить в виде r=p/q, причем q>0,тогда (p;q)-прообраз r относительно f↝т.о. ℚ счетно, как образ счетного множества при некотором отображении

 

5. Множество , сечения. Аксиома полноты и теорема о $ точных граней множества в

Точные верхние и нижние грани

∅≠M⊂

sup M – наим верхняя граница

inf M – наиб нижняя граница

Теорема 1. о $ точных граней числ мн-ва

Для " ∅≠M⊂  $ infM, supM ϵ

Док-во:

⊐

(A,B)-сечение в

1) A≠∅ M<A

B≠∅ +∞ϵB

2) (A∪B=  aϵ  и дополн x∉A↝"xϵA вып x<a

т.е. a≥xϵM,т.е. а-верх граница для М ↝аϵВ

3) (А≤В) ⊐ аϵА, bϵB↝$xϵM,т.ч. a≤x, a т.к. b-верх. граница, то x≤b ↝ a≤x≤b ↝a≤b

$ погр.число sϵ , т.ч. A≤S≤B

Т.к. M<A, то M≤S↝S-верняя граница для M

Т.к. S≤B, то S-наим.верх.граница

6. Определение о свойства  , неопределённости.

1) -(единсвтенность lim)

2) если

3) если  сход ($ lim  =∞, то она огран), то $ M>0:

|

предельный переход неравенств:

1) a≤b

2)  ↝

3){  беск. возр посл нат чисел 1

4)  , то

1) x±y→a±b

2) x*y→a*b

3) y≠0 b≠0 ↝ ⟶

Неопределенности:

 

Предел монотоной последовательности. Число е.

Теорема:

- если

- если  не огр, то lim=+∞

Число Эйлера: e=2,718281828

конечный

Лемма о последовательности вложенных отрезков. Теорема об открытом покрытии отрезка

Имеется посл.замкнутых отрезков ϵ  для

Тогда ∅

Если , то это  состоят из одной точки

Теорема: Из взятого покрытия замкнутого отрезка (открытыми) интервалами можно выделить кон.подпокр.

[a,b]ϵ (; xϵ[a,b]ϵ (

Из всех огр посл-ей можно выделить сходящиеся п\посл (скон.числом)

1) возьмем производную

2) выберем ,т.к.