Непрерывность монотонной функции.

Признак непр (теорема 1): ⊐ монотонность на промежутке <a,b> и Y=f(<a,b>) тоже промежуток

Тогда f непр на <a,b>

Док-во: (от противного) ⊐ f возр на <a,b> и -т.разрыва

разрыв в  набл справа

f(

Возьмем f(

$ чиcло с т.ч. f((

По теореме о промеж знач: $

Если  ↝ f( ≥inff(x)=f(

т.е. f( ≠c, т.е. x> ,таким образом (m,M) ⊐

Сущ. непр.обратной функции к строго монотонной

⊐ f сторого монотонна и непр на <a,b>

(по Т.о. мн-ве знач f(<a,b>)-промежуток)

Тогда $ обр.ф. :f(<a,b>)→<a,b> тоже строго монотонна (такого же типа, что и f) и непр на f(<a,b>) т.к. f строго монотонна, то f-инъекция, а если f рассмотреть как функцию f:<a,b>→f(<a,b>),то f-сюрьекция

Итак, эта функция-биекция и следовательно $

Строгая монотонность  и ее тип проверяется непосредственно

Итак, по Т1  непр на f(<a,b>)

Следствие: существование и непрерывность корня nϵM [0;∞) f(x)=  и множ.знач.=[0;∞)↝$ строго возр и непр на [0;∞)

21. Степень  с вещественным показателем х.

f(x)=  a>0 a≠1

I. Степень с рац показ степени

⊐ fϵℚ; r=m\n (mϵZ,nϵM(N))

свойства:

1) зависима от представления r в виде дроби

2) если a>1,то

3)

4)

II) Лемма (дополнение к аксиоме полноты)

⊐ ∅≠A,B<R и

1) A≤B ("aϵA, "bϵB ↝a≤b)

2) "e>0 $ aϵA, bϵB, т.е. b-a<e

3)Тогда $ еденичный sϵR,т.ч. A≤s≤B

Док-во: $ s' т.ч. A≤s’≤B и s’≠s

Например: если aϵA; bϵB ↝ a≤s<s’≤b↝s’>s b-a≥s’-s>0 рисунок

III) ⊐ a>1; xϵR- проивольная   Положим

A,B-удовлетворяет условиям Леммы ⇒A,Bϵ∅

1) Если , т.е. A<B

2)⊐ e>0  и

0≤

Возьмем рацион ≥x и натур n

 Тогда если  и r’-r<1\n

В следствие Леммы $ единств y, который развивает A и B

Определение:

Т.о. (a<1) sup =inf

1) Если x=p рациональное (=m/n), то старое опредление совпадает с новым

новое=

2) f.e.

Но! r+p≤x+y≤r’+p’ ↝

Опрделение: Если 0<a<1,то

22. Свойства показательной функции f (x)=

⊐ a≠1 a>0

f(x)=  ;xϵ(-∞,∞)

Теорема: показ.ф-я f непрерывна на всей числовой оси (R) строго: и множ.ее значений У=f(R) есть промеж (0;∞)

Док-во: (для a>1):

1) строго возр: ⊐

По определению степени и свойства степени с рац.показателем

2) Док-м, что мн-во значений У=f(R)=(0;∞)

⊐хϵR ↝ $ рац. r≤x, а тогда

⊐ yϵ(0,∞) т.е. 0<y<∞

ϵ

r≤r’5

$x:

Непрерывность функции следует из признака непрерывности для монотонной функции.

 

23. Логарифмическая функция и замечательные приделы , ,

⊐ число а>0, a≠1

Т.к. f(x)=  определена и непрерывна на (-∞,∞), сторого монотонна и мн-во её значений есть (0;∞), то $ обр.ф-я

Непрерывная и строгая монотонность

И множество значений есть (-∞;∞)

Замечательные пределы:

III)  Известно, что  т.е.

IV) =1    =lna

V) =µ  

(непр.на (0,∞) как суперпозиция непр.функции

Теорема В о Наибольшем и наименьшем значениях Функции на отрезке.

⊐ f опр на xϵR Число M(m) назыв наиб (наим) значением f на x

Теорема: Если f непрерввна на [a;b], то она ограничена и среди ее значений, тк есть наиб(М) и наим(m)

Док-во: 1) док.что f не огр сверху, а это: "нат n, $

Теорема Б-В: $ подпосл. :

f(

Но f(

2) $ наиб.знач

1.$ конеч

по определению sup " натур. n

$ подпосл. ®сϵ[a,b]

f(

"k:M-