Построение наглядных изображений простейших комбинаций многогранников и круглых тел

§ 11. Основные задачи, обеспечи вающие простоту построения

Изображений комбинаций тел

Третья основная задача. Построить сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания.

Р е ш е н и е (рис.49):

1) через произвольную точку 0₁  высоты конуса проведен отрезок A ₁B₁ параллельно АВ;

2) строим В₁С₁ ВС и O₁D₁= O₁С₁;

3) строим изображение сече­ния – эллипс с осями

Рис.49

 A₁B₁ и С₁D₁.

 

Следует обратить внимание на тот факт, что концы большой  оси эллипса сечения лежат на осевых образующих SA и SB, а сам эллипс касается контурных образующих.

Решение этой задачи лежит в основе построения изображений цилиндра и призм, вписа нных в конус(см.стр. 41-42).

Четвертая основная задача. Построить сечение шара плоскостью. параллельной плоскости экватора.

Р е ш е н и е (рис.50):

1) строим изображение двух больших кругов шара (меридианный – круг, экваториальный – эллипс с осями АВ и СD):

2) проводим EF АВ и FN ВС;

3) строим изображение параллельного сечения – эллипс с осями EF и MN.

Замечание. Необходимо следить, чтобы концы большой оси эллипса (точки Е и F), изображающего горизонтальное сечение шара, находились на большом меридианном круге, а сам эллипс выступал за изображение этого круга и касался контура шара.

Рис.50                          Рис.51

Четвертая основная задача обеспечивает построение изображений призм, пирамид, цилиндра и конуса, вписанных в шар (см. § 13).

 Пятая основная задача. Дано изображение шара и его параллели. На продолжении оси шара построить точку, все касательные из которой к шару касаются его поверхности в точках параллели.

Р е ш е н и е (рис.51):

1) строим изображение шара и его горизонтального сечения (параллели);

2) проводим радиус OF в конец большой оси эллипса сечения;

3) строим FS 0F;

4) находим искомую точку S (S =PQ х FS).

Умение решать эту задачу позволяет достаточно просто строить изображения некоторых видов пирамид, описа нных около шара (см.стр.47).

Шестая основная задача. Построить изображение шара, вписанного в конус.

Решение (рис.52):

1) строим конус и осевое сечение SАВ;

2) в осевое сечение вписываем окружность – изображение большого меридианного круга шара;

3) строим изображение окружности

касания поверхности конуса с поверхностью шара:

а) из центра шара опускаем перпендикуляр ОB₁ на SB;           

б) проводим A₁B₁ АВ;

в) через точку O ₁(O₁=SO x A ₁B₁) строим горизонтальное сечение конуса – эллипс,

который и будет изображением искомой окружности;

4) строим контур шара.

Замечания:

а) при построении чертежей к задачам контур шара можно не строить;

б) следует следить, чтобы большой меридианный круг шара был вписан в осевое сечение конуса, но не касался его контурных образующих, а контур шара обязательно касался контурных образующих конуса;

в) контур шара должен пересекать диаметр АВ основания конуса.

Шестая основная задача будет нами широко применяться при построении изображений к задачам на вписывание шара в пирамиды (см. стр.53).     

 

§ 12. Построение изображений тел, вписанных в конус

Задача 18. Построить изображение пирамиды, вписанной в конус.  

Решение задачи сводится к вписыванию многоугольника основания пирамиды в основание конуса.

На рас.53 дано изображение правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.

Замечания:  а) один из сопряженных диаметров (на рисунке диаметр МА) рекомендуется в большинстве случаев брать близким к горизонтальному; в этом случае ребро SC не будет закрываться высотой конуса;

Рис.53

б) изображение, данное на рис.53, в, полезно выполнять при построении чертежей к задачам.

 

Задача 19. Построить изображение усеченной пирамиды, вписанной в конус.

При построении изображения усеченной пирамиды, вписанной в конус, сначала вписывают полную пирамиду, а затем строят сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания конуса.

На рис.54 построено изображение усеченной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус.

Рис.54

 

Задача 20. Построить изображение прямой призмы, вписанной в конус. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник.

Замечание. Построение изображений призмы или цилиндра, вписанных в конус, основано на умении решать третью основную задачу (см.стр.38).

Последовательность построений (рис.55,а):

1) строим изображение конуса и сечения его плоскостью, параллельной плоскости основания;

2) в сечение конуса вписываем верхнее основание призмы;

3) через вершины верхнего основания проводим прямые, параллельные высоте конуса, и откладываем на них отрезки, равные высоте призмы (N₁N = M₁M  = P₁P = O₁O);

 4) строим нижнее основание призмы.

Можно применить и иную последовательность построений изображения прямой призмы, вписанной в конус. На рис.55, в вписана призма, в основании которой лежит трапеция.

Рис.55

Последовательность построений: строим верхнее основание призмы; проводим образующу SL  (SL проходит через вершину А); строим L0; строим вершину A₁   (A₁ = A₁A x OL; A ₁A SO).

Р

 

§13. Построение изображений тел, вписанных в шар

 

Задача 21. Построить изображение конуса, вписанного в шар. Решение задачи (рис.57) сводится к построению параллели ша ра (см.стр. 38).

Задача 22. Построить изображение пирамиды, вписанной в шар.

Решение задачи сводятся к вписыванию основания пирамиды в окружность горизонтального сечения шара.

На рис.58,а дано изображение правильной треугольной пирамиды, вписанной в шар, а на рис.58, в – пирамиды с равными боковыми ребрами к основанием в форме трапеции.

Замечания: а) для построения изображений цилиндра

или прямой призмы, вписанных в шар, строят изображения двух параллелей шара, расположенных на                        

равных расстояниях по разные стороны от его центра; на рис.59 дано изображение прямой призмы, в основании которой равносторонний треугольник, вписанной в шар;

б) на рис.60 построено изображение усеченного конуса, вписанного в шар

Рис.58

.

                        Рис.59                                                Рис.60