Обратимые линейные отображения и их матрицы. Ранг матрицы

 

 

Если  - линейное взаимно однозначное отображение векторного пространства V1 на векторное пространство V2, то обратное отображение  пространства V2 в V1 также является линейным и взаимно однозначным.

 

Матрица обратимого линейного отображения - квадратная.

 

Квадратная матрица А называется обратной к квадратной матрице В, если

АВ = ВА = Е.

 

Матрица  обратима, если существует обратная к  матрица .

 

Ранг матрицы по столбцам - размерность подпространства, порожденного системой векторов-столбцов этой матрицы.

Ранг матрицы по строкам - размерность подпространства, порожденного системой векторов-строк этой матрицы.

 

Ранг линейного отображения совпадает с рангом его матрицы.

 

Квадратная матрица размера n n обратима тогда и только тогда, когда ее ранг совпадает с n.

 

Ранги произвольной матрицы по строкам и по столбцам совпадают.

 

Элементарные преобразования:

● перестановка двух столбцов (строк);

● прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки);

● умножение столбца (строки) на ненулевой скаляр.

 

 

Элементарные преобразования обратимы. Это значит, что если над столбцами (строками) некоторой матрицы A выполнить произвольную последовательность элементарных преобразований, то над столбцами (строками) получившейся матрицы можно выполнить последовательность элементарных преобразований, которая приведет к исходной матрице A.

 

Элементарные преобразования над столбцами/строками матрицы не увеличивают ранг матрицы ни по столбцам, ни по строкам.

 

Если поменять ролями строки и столбцы матрицы  = (aij)k×n, получится транспонированная матрица  = (aji)n×k.

 

Элементарные преобразования над столбцами (строками) матрицы сохраняют линейные зависимости между ее строками (столбцами).

 

----------Применение ранга----------

 

Алгоритм вычисления ранга:

● с помощью элементарных преобразований над столбцами и строками матрицы привести ее к виду

,

где на местах 1,1; 2,2; …; r,r стоят 1, а на всех остальных местах стоят 0. Число r и будет рангом матрицы.

Пример: ранг такой матрицы равен 2

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

● припишем к обратимой n n матрице А слева единичную n n матрицу;

● проделаем над строками n 2n матрицы Е|А последовательность элементарных преобразований, которая приведет А к единичной матрице;

● левая половина получившейся матрицы будет равна матрице .

 

Пример:

 

Элементарные преобразования над столбцами (строками) матрицы A равносильны умножению A справа (слева) на некоторые матрицы.

 

Рассмотрим произвольную систему k линейных уравнений c n неизвестными:

a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2

…

ak1x1 + ak2x2 +... + aknxn = bk

 

Эту систему можно кратко записать в виде Ax = b, если ввести обозначения:

 

 

- основная матрица системы.

 

 

 

 

- столбцы неизвестных и свободных членов.

 

 

Матрица размера k × (n + 1), получаемая приписыванием к основной матрице системы столбца свободных членов называется расширенной матрицей системы.

 

Теорема Кронекера–Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

 

Системы линейных уравнений

 

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех уравнений системы нулевые:

a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = 0

…

ak1x1 + ak2x2 +... + aknxn = 0

 

 

Если x0 — некоторое решение системы Ax = b, то вектор-столбец x1 будет решением системы Ax = b тогда и только тогда, когда x1 = x0 + y, где y — решение соответствующей однородной системы Ax = 0.

 

Множество решений однородной системы Ax = 0 образует подпространство в пространстве столбцов.

 

Фундаментальная системой решений - любой базис пространства, если пространство решений однородной системы ненулевое.

 

Размерность пространства решений системы Ax = 0 равна n − r, где n — число неизвестных в системе, а r — ранг матрицы A.

b11y1 + b12y2 +... + b1ryr = - b1 r+1yr+1 -... - b1nyn

b21y1 + b22y2 +... + b2ryr = - b2 r+1yr+1 -... - b2nyn

…

bk1y1 + bk2y2 +... + bkryr = - br r+1yr+1 -... - brnyn

 

Неизвестные yr+1,..., yn - свободные, а неизвестные y1,..., yr - связанные.

 

Процедура решения системы линейных уравнений:

● элементарными преобразованиями строк приводим матрицу A|b к ступенчатому виду;

● если ранг r матрицы A меньше ранга матрицы A|b, система Ax = b несовместна; если ранги равны, находим частное решение x0 этой системы;

● находим фундаментальную систему решений x1,..., xn−r соответствующей однородной системы Ax = 0;

● выражение x = x0 + c1x1 + c2x2 + · · · + cn−rxn−r, где c1, c2,..., cn−r — произвольные скаляры, дает общее решение системы Ax = b. Каждое решение системы получается из общего при некотором (однозначно определяемом) наборе c1, c2,..., cn−r.

Тема 6: Евклидовы и унитарные пространства