Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные операции над векторамиСтр 1 из 7Следующая ⇒
Скалярное произведение векторов
Прямая называется осью, если на ней зафиксирован ненулевой вектор, называемый направляющим вектором этой оси. Пусть — вектор. Его проекцией на ось ℓ называется число, обозначаемое пр и определяемое следующим образом: ● если ⊥ ℓ, то пр := 0. ● иначе - отложим вектор от какой-нибудь точки O прямой ℓ. ○ | |, если ⇈ ○ −| |, если ↑↓
Угол между осью ℓ и вектором — угол между направляющим вектором оси и . пр = | | cos(, )
Скалярным произведением ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними - . Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор по определению равно 0. cos(, ) = Если вектора и — ненулевые, то = | | · | | · cos(, ) = | | · пр = | | · пр
Скалярный квадрат вектора - скалярное произведение вектора на себя - .
Ненулевые вектора и называются ортогональными, если они лежат на перпендикулярных прямых - ⊥ . Нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору.
Базис называется ортогональным, если его вектора попарно ортогональны. Ортогональный базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единице.
Метод Крамера
Если определитель системы не равен 0, то рассматриваемая система имеет только одно решение, причем
-----------------Плоскость-----------------
Направляющий вектор плоскости - любой ненулевой вектор, коллинеарный данной плоскости. x = x0 + q1u + q2v
y = y0 + r1u + r2v - параметрические уравнения плоскости.
z = z0 + s1u + s2v
Пусть плоскость π задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор = (A,B,C) называется главным вектором плоскости π.
Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Все пространство делится этой плоскостью на три непересекающиеся части: саму плоскость σ и два полупространства.
d(M, σ) = - расстояние от точки М до плоскости σ.
------Прямая в пространстве------
x = x0 + qt
y = y0 + rt - параметрические уравнения прямой в пространстве.
z = z0 + st
- канонические уравнения прямой в пространстве. - уравнения прямой в пространстве по 2 точкам. A1x + B1y + C1z + D1 = 0 - общие уравнения прямой в пространстве. A2x + B2y + C2z + D2 = 0
d(M, ℓ) = = - расстояние от точки М до прямой ℓ.
Пусть ℓ1 и ℓ2 — скрещивающиеся прямые. Общим перпендикуляром к прямым ℓ1 и ℓ2 называется прямая, перпендикулярная к каждой из прямых ℓ1 и ℓ2 и пересекающая каждую из них.
Расстояние между скрещивающимися прямыми ℓ 1 и ℓ 2 - расстояние между точками, в которых общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ℓ1 и ℓ2 пересекает эти прямые. d(ℓ1, ℓ2) =
Если в пространстве заданы прямые с направляющими векторами (q1,r1,s1) и (q2,r2,s2), то угол α между этими прямыми: cos α = Если прямые на плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, то угол α между этими прямыми: cos α = Если плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между этими плоскостями можно найти, вычисляя угол α между их главными векторами: cos α = Если α — угол между ℓ и ℓ1, а β — острый угол между ℓ и ℓ2, то α + β = 90°. Пусть (q,r,s) — направляющий вектор прямой ℓ, а Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости σ. Тогда прямая ℓ2 коллинеарна главному вектору (A, B, C) плоскости σ. Отсюда угол между прямой и плоскостью:
sin α = cos β = Тема 3: Комплексные числа -----------Формула Кардано-----------
x = u + v = + - формула Кардано (для уравнения вида ).
Поле - неодноэлементное ассоциативное и коммутативное кольцо с 1, в котором все ненулевые элементы обратимы. Поле комплексных чисел: ● содержит поле R действительных чисел; ● содержит квадратные корни из отрицательных чисел; ● не содержит ничего лишнего.
Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех уравнений системы нулевые: a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = 0 … ak1x1 + ak2x2 +... + aknxn = 0
Фундаментальная системой решений - любой базис пространства, если пространство решений однородной системы ненулевое.
b11y1 + b12y2 +... + b1ryr = - b1 r+1yr+1 -... - b1nyn b21y1 + b22y2 +... + b2ryr = - b2 r+1yr+1 -... - b2nyn … bk1y1 + bk2y2 +... + bkryr = - br r+1yr+1 -... - brnyn
Неизвестные yr+1,..., yn - свободные, а неизвестные y1,..., yr - связанные.
Процедура решения системы линейных уравнений: ● элементарными преобразованиями строк приводим матрицу A|b к ступенчатому виду; ● если ранг r матрицы A меньше ранга матрицы A|b, система Ax = b несовместна; если ранги равны, находим частное решение x0 этой системы; ● находим фундаментальную систему решений x1,..., xn−r соответствующей однородной системы Ax = 0; ● выражение x = x0 + c1x1 + c2x2 + · · · + cn−rxn−r, где c1, c2,..., cn−r — произвольные скаляры, дает общее решение системы Ax = b. Каждое решение системы получается из общего при некотором (однозначно определяемом) наборе c1, c2,..., cn−r. Тема 6: Евклидовы и унитарные пространства Метод наименьших квадратов
Псевдорешение системы линейных уравнений Ax = b — это вектор x0, минимизирующий расстояние между векторами Ax и b. Если псевдорешение неединственно, то обычно интересуются псевдорешением наименьшей длины - нормальное псевдорешение. Метод наименьших квадратов - простое соображение, которое позволяет находить псевдорешения без вычисления ортогональной проекции.
-----Линейные функционалы-----
Пусть V — векторное пространство над произвольным полем F. Линейный функционал на V — это линейное отображение : V → F.
Строение линейного функционала: Ker(Φ) — подпространство размерности dim V − 1, а его ортогональное дополнение Ker(Φ) — одномерное подпространство в V. Фиксируем ненулевой вектор b ∈ Ker(Φ) и пусть β:= Φ(b). Положим a:= b и проверим, что Φ(x) = xa для каждого x ∈ V. Для этого представим x в виде x = c + γb для некоторого c ∈ Ker(Φ) и γ ∈ F. Такое представление возможно, так как V = Ker(Φ) ⊕ Ker(Φ) , а одномерное подпространство Ker(Φ) порождается вектором b. Тогда Φ(x) = Φ(c + γb) = Φ(c) + Φ(γb) = γΦ(b) = γβ, поскольку Φ(c) = 0. С другой стороны, xa = (c + γb) b = c b + γb b = γβ, поскольку cb = 0.
---Сопряженное отображение---
Пусть : V1 → V2 — линейное отображение (линейный оператор) пространств со скалярным произведением над полем F ∈ { ℝ, ℂ}. В каждом из пространств V1 и V2 — свое скалярное произведение: будем обозначать произведение векторов x, y ∈ V1 через x y, а произведение векторов p, q ∈ V2 — через p q. Возьмем произвольный вектор r ∈ V2 и свяжем с ним отображение Φr: V1 → F, определенное правилом Φr(x):= x r. Отображение Φr — линейный функционал на пространстве V1. Пусть пространство V1 конечномерно. По теореме о строении линейного функционала существует однозначно определяемый вектор a ∈ V1 такой, что x r = x a для каждого x ∈ V1. Сопоставляя вектору r вектор a, получаем отображение из V2 в V1 - сопряженное отображением к - .
Ключевое тождество для сопряженного отображения: или же, если вернутся к привычному обозначению
Преобразование : V → V называется самосопряженным, если = . Тождество самосопряженных преобразований:
Если — матрица самосопряженного преобразования A в некотором ортонормированном базисе, то = . Матрицы над ℂ со свойством = называются эрмитовыми. Для матриц над ℝ свойство = означает, что = ; такие матрицы называются симметрическими.
Преобразование : V → V, сопоставляющее каждому вектору x ∈ V его ортогональную проекцию xS, называется ортогональным проектированием на S (ортопроектором).
Псевдообратное отображение
Пусть : U → V — линейное отображение пространств со скалярным произведением. Теорема Фредгольма дает ортогональное разложение пространства V: V = Ker ⊕ Im . Применяя ту же теорему к сопряженному отображению : V → U, получим ортогональное разложение пространства U: U = Ker ⊕ Im . Положим U0:= Im , V0:= Im и обозначим через 0 ограничение отображения на подпространство U0. Это означает, что вектор 0x определен, только если x ∈ U0, и в этом случае 0x:= x.
Если A — матрица линейного отображения : U → V в некоторых ортонормированных базисах пространств U и V, то матрица псевдообратного отображения : V → U в тех же базисах называется псевдообратной к матрице A - A .
Примеры задач
Линейные операции над векторами
Отрезок AB называется направленным, если указано, какая из точек A или B является его началом, а какая — концом. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B - . Длина направленного отрезка - | |. Если A = B, то отрезок называется нулевым - . Направленный отрезок называется противоположным к . Ненулевые направленные отрезки, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными - || . Коллинеарные направленные отрезки называются сонаправленными (прямо коллинеарными), если они направлены в одну и ту же сторону - ⇈ , и противонаправленными (обратно коллинеарными) в противоположном случае - ↑↓ .
Вектор — это множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление. Изображение вектора - направленный отрезок, принадлежащий вектору. Длина (модуль) вектора - длина любого его изображения.
Два вектора называются коллинеарными [сонаправленными, противонаправленными], если их изображения коллинеарны [сонаправленны, противонаправленны]. Если отрезок является изображением вектора , то вектор, изображением которого является отрезок , называется противоположным вектору - − . Нулевой вектор - вектор, изображением которого является нулевой направленный отрезок - .
Пусть даны вектора и . Зафиксируем точку O, отложим от нее вектор , обозначим конец полученного направленного отрезка через A. От точки A отложим вектор , обозначим конец полученного направленного отрезка через B. Тогда отрезок изображает вектор, который называется суммой векторов и - + .
Произведением вектора на число t называется вектор t такой, что: 1) |t~a | = |t| · | ~a |; 2) если t > 0, то t ⇈ , а если t < 0, то t ↑↓ . Операции сложения векторов и умножения вектора на число часто объединяют термином линейные операции над векторами.
Пусть — ненулевой вектор. Ортом вектора называется вектор длины 1, сонаправленный с вектором . Если — ненулевой вектор, то вектор является ортом вектора .
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 252; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.117.162 (0.158 с.) |