Система координат. Координаты точки

 

Система координат в пространстве [на плоскости] - совокупность базиса пространства [соответственно базиса плоскости] и точки [принадлежащей этой плоскости] - (О; , , ) или (О; , ).

Начало системы координат - точка, входящая в систему координат.

Прямые, проходящие через точку O параллельно одному из базисных векторов, называются осями координат.

Ось абсцисс - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Ось ординат - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Ось аппликат - прямая, проходящая через точку O параллельно вектору .

Координатные плоскости - плоскости, проходящие через точку O и две из трех осей координат.

 

Зафиксируем в пространстве некоторую систему координат (О; , , ).

Радиус-вектор точки М - вектор .

Координаты точки M в системе координат (О; , , ) - координаты ее радиуса-вектора в базисе (, , ) (чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты его начала) - M(a1, a2, a3).

Координаты точки на плоскости определяются аналогично координатам точки в пространстве.

Пусть точки A и B имеют координаты (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3) соответственно. Тогда

 = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3)

|AB| =

 

Система координат в пространстве (О; , , ) называется прямоугольной декартовой, если базис (, , ) — правый ортонормированный.

Система координат на плоскости (O; , ) называется прямоугольной декартовой, если базис (, ) — ортонормированный.

 

Предположим, что даны различные точки A и B и число t. Будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении t, если  = t * .

             

 - формулы деления отрезка в отношении t.

 

 

(, , ) - координаты середины отрезка.

 

Тема 2: Прямые и плоскости

--------Прямая на плоскости--------

 

Геометрический объект на плоскости (в пространстве) - произвольное множество точек плоскости (пространства), возможно, пустое.

 

Пусть π — плоскость, в которой зафиксирована система координат, а ℓ — некоторый геометрический объект в этой плоскости. Уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) — функция двух переменных, называется уравнением ℓ, если точка плоскости π принадлежит ℓ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют этому уравнению - объект ℓ задается уравнением F(x, y) = 0 или ℓ является геометрическим образом этого уравнения.

 

Пусть на плоскости задана произвольная система координат. Тогда всякая прямая на плоскости может быть задана некоторым уравнением вида Ax + By + C = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов A и B отличен от 0. Обратно, любое уравнение Ax + By + C = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов A и B отличен от 0, задает некоторую прямую.

 

Направляющий вектор прямой - любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

 

                      - параметрические уравнения прямой на плоскости.

 

- каноническое уравнение прямой на плоскости.

 

Если прямая задана уравнением Ax + By + C = 0, то вектор с координатами (−B,A) является ее направляющим вектором.

 

Пусть прямая ℓ задана уравнением Ax + By + C = 0. Тогда вектор  = (A,B) называется главным вектором прямой ℓ.

 

Главный вектор прямой не коллинеарен этой прямой.

 

Если система координат является прямоугольной декартовой, то главный вектор прямой является ее нормальным вектором. Другими словами, если прямая задана уравнением Ax + By + C = 0 в прямоугольной декартовой системе координат, то вектор  = (A, B) перпендикулярен этой прямой.

 

y = kx + b    - уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

 

Прямая имеет уравнение с угловым коэффициентом тогда и только тогда, когда она не параллельна оси ординат.

 

- уравнение прямой на плоскости по 2 точкам.

 

Пусть прямая ℓ1 задана уравнением A1x + B1y + C1 = 0, а прямая ℓ2 — уравнением A2x + B2y + C2 = 0. Прямые ℓ1 и ℓ2: 1) пересекаются тогда и только тогда, когда ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда .

  

Пусть ℓ — прямая, заданная уравнением Ax + By + C = 0. Вся плоскость делится этой прямой на три непересекающиеся части: саму прямую ℓ и две полуплоскости.

 

 

Пусть M(x′, y′) — точка плоскости. Если M ∈ λ, то Ax′ + By′ + C > 0, а если M ∈ µ, то Ax′ + By′ + C < 0.

 

Точки P(x1, y1) и Q(x2, y2) расположены по одну сторону от прямой Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда числа Ax1 + By1 + C и Ax2 + By2 + C имеют одинаковый знак, и по разные стороны от этой прямой тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки.

 

Главный вектор прямой, если его отложить от точки этой прямой, направлен в положительную полуплоскость.

 

d(M, ℓ) = | | = = =  - расстояние от точки М до прямой ℓ.

Метод Крамера

Если определитель системы не равен 0, то рассматриваемая система имеет только одно решение, причем

 

-----------------Плоскость-----------------

 

 

Пусть в пространстве задана произвольная система координат. Тогда всякая плоскость может быть задана некоторым уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B, C отличен от 0. Обратно, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B, C отличен от 0, задает некоторую плоскость.

 

Направляющий вектор плоскости - любой ненулевой вектор, коллинеарный данной плоскости.

x = x0 + q1u + q2v

 

y = y0 + r1u + r2v - параметрические уравнения плоскости.

 

z = z0 + s1u + s2v

 

 

x - x0	y - y0	z - z0
q1	r1	s1	= 0 - каноническое уравнение плоскости.
q2	r2	s2

 

Пусть плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Положим  = (−B, A, 0),  = (−C, 0, A) и  = (0, −C,B). Тогда по крайней мере два из векторов ,  и  не коллинеарны и являются направляющими векторами плоскости (если A  0, то этими свойствами обладают вектора  и , если B  0 — вектора  и , а если C  0 — вектора  и ).

 

Пусть плоскость π задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор  = (A,B,C) называется главным вектором плоскости π.

 

Главный вектор плоскости не коллинеарен этой плоскости.

 

Если система координат является прямоугольной декартовой, то главный вектор плоскости является ее нормальным вектором. Другими словами, если плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то вектор с координатами (A,B,C) перпендикулярен этой плоскости.

 

x - x0	y - y0	z - z0
x1 - x0	y1 - y0	z1 - z0	= 0 - уравнение плоскости по 3 точкам.
x2 - x0	y2 - y0	z2 - z0

 

Пусть плоскость σ1 задана уравнением A1x + B1y + C1z + D1 = 0, а плоскость σ2 — уравнением A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Плоскости σ1 и σ2: 1) пересекаются тогда и только тогда, когда или ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда = = ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда = = = .

 

Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Все пространство делится этой плоскостью на три непересекающиеся части: саму плоскость σ и два полупространства.

 

Пусть M(x′, y′, z′) — произвольная точка пространства. Если M ∈ λ, то Ax′ + By′ + Cz′ + D > 0, а если M ∈ µ, то Ax′ + By′ + Cz′ + D < 0.

 

Точки P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2) расположены по одну сторону от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 тогда и только тогда, когда числа Ax1 + By1 + Cz1 + D и Ax2 + By2 + Cz2 + D имеют одинаковый знак, и по разные стороны от этой плоскости тогда и только тогда, когда числа Ax1 + By1 + Cz1 + D и Ax2 + By2 + Cz2 + D имеют разные знаки.

 

d(M, σ) =  - расстояние от точки М до плоскости σ.

 

------Прямая в пространстве------

 

x = x0 + qt

 

y = y0 + rt - параметрические уравнения прямой в пространстве.

 

z = z0 + st

 

 - канонические уравнения прямой в пространстве.

- уравнения прямой в пространстве по 2 точкам.

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

                                      - общие уравнения прямой в пространстве.

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

 

 

Вектор   является направляющим вектором прямой, заданной общими уравнениями прямой в пространстве.

 

Если прямая задана как пересечение двух плоскостей и известны уравнения этих плоскостей в прямоугольной декартовой системе координат, то в качестве направляющего вектора этой прямой можно взять векторное произведение главных векторов этих плоскостей.

 

Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая ℓ — уравнениями x = x0 + qt y = y0 + rt    z = z0 + st   Тогда: 1) ℓ и σ пересекаются тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs  0; 2) ℓ и σ параллельны тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D  0; 3) ℓ лежит в σ тогда и только тогда, когда Aq + Br + Cs = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

 

Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы уравнениями x = x1 + q1t             x = x2 + q2t y = y1 + r1t  и     y = y2 + r2t     z = z1 + s1t            z = z2 + s2t   соответственно. Положим     x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 ∆ = q1 r1 s1   q2 r2 s2 1) ℓ1 и ℓ2 скрещиваются тогда и только тогда, когда ∆  0; 2) ℓ1 и ℓ2 пересекаются тогда и только тогда, когда ∆ = 0 и либо , либо   ; 3) ℓ1 и ℓ2 параллельны тогда и только тогда, когда ∆ = 0,    и либо , либо ; 4) ℓ1 и ℓ2 совпадают тогда и только тогда, когда ∆ = 0,  и .

 

d(M, ℓ) = =  - расстояние от точки М до прямой ℓ.

 

Пусть ℓ1 и ℓ2 — скрещивающиеся прямые. Общим перпендикуляром к прямым ℓ1 и ℓ2 называется прямая, перпендикулярная к каждой из прямых ℓ1 и ℓ2 и пересекающая каждую из них.

 

Для произвольных скрещивающихся прямых ℓ1 и ℓ2 существует общий перпендикуляр к этим прямым.

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми ℓ 1 и ℓ 2 - расстояние между точками, в которых общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым ℓ1 и ℓ2 пересекает эти прямые.

d(ℓ1, ℓ2) =

 

Если в пространстве заданы прямые с направляющими векторами (q1,r1,s1) и (q2,r2,s2), то угол α между этими прямыми:

cos α =

Если прямые на плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, то угол α между этими прямыми:

cos α =

Если плоскости заданы уравнениями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между этими плоскостями можно найти, вычисляя угол α между их главными векторами:

cos α =  

Если α — угол между ℓ и ℓ1, а β — острый угол между ℓ и ℓ2, то α + β = 90°. Пусть (q,r,s) — направляющий вектор прямой ℓ, а Ax + By + Cz + D = 0 — уравнение плоскости σ. Тогда прямая ℓ2 коллинеарна главному вектору (A, B, C) плоскости σ. Отсюда угол между прямой и плоскостью:

sin α = cos β =

Тема 3: Комплексные числа

-----------Формула Кардано-----------

 

x = u + v =  +  - формула Кардано (для уравнения вида ).

 

Поле - неодноэлементное ассоциативное и коммутативное кольцо с 1, в котором все ненулевые элементы обратимы.

Поле комплексных чисел:

● содержит поле R действительных чисел;

● содержит квадратные корни из отрицательных чисел;

● не содержит ничего лишнего.