Число пространственных степеней свободы когерентных оптических сигналов

 

Рассмотрим дифракционно ограниченную оптическую систему, заданную своими зрачками (рис. 47.), которые для упрощения рассмо­трения будем предполагать прямоугольными с размерами С_х, С_у по соответствующим осям.

 

Рис. 47. Дифракционно ограниченная оптическая система: а) расположение и габариты предмета Р, изображения Р' входного С и выходного С' зрачков; б) ход лучей в плоскости у z;

 

Предположим, что оптической системе предъявляется объект Р, имеющий размеры А _x и A_y по соответствующим осям и освещаемый слева пространственно когерентным монохроматическим плоско-поляризованным излучением с длиной волны l. Оптическая система формирует изображения предмета в плоскости Р'. Какое количество взаимно независимых отсчетов комплексной амплитуды сигнала может быть, в принципе, снято в плоскости изображения Р'? Отметим, что полное число незави­симых отсчетов в плоскости Р' равно полному набору незави­симых пространственных параметров, описывающих распространение оптического сигнала через рассматриваемую систему.

Известно,что невозможно различить в изображении детали предмета меньшие по размерам, чем разрешаемый элемент. В связи с этим, в преде­лах одного разрешаемого элемента с поляризованным монохромати­ческим оптическим сигналом связаны только два параметра (ампли­туда и фаза), имеющие для данного предмета вполне конкретные значения. В то же время, в пределах двух соседних разрешаемых элементов комплексные амплитуды поля могут иметь различные значения в зависимости от параметров предмета.

Таким образом, при неизменной поляризации, число простран­ственных степеней свободы оптического сигнала, распространяюще­гося в данной системе, равно числу элементов N, разрешае­мых в изображении предмета, т.е.

,                                                                                 (26)

где A ' _x, A ' _y - линейные размеры изображения; ∆ x ', ∆ y ' - ли­нейные размеры разрешаемого элемента в изображении по соответствующим осям; N_x = A ' _x /∆ x ' N_y = A ' _y /∆ y ' - коли­чества независимых отчетов вдоль осей. Из (26) видно, что общее число независимых параметров равно произведению числа разрешаемых элементов по осям x и у.

Известно, что любая оптическая система обладает ограниченной разрешающей способностью, которая обусловлена волновой природой света. По классической теории Аббе и Рэлея это ограничение связано с дифракцией и определяется длиной волны используемого излучения и числовой апертурой оптической системы. Повысить разрешающую способность возможно при увеличении апертуры оптической системы и уменьшении длины волны используемого излучения. Для дифракционно ограниченной оптической системы (системы без аберраций) размеры разрешаемого элемента определяются со­отношениями:

,                                                                              (27)

где  - задние апертурные углы в координатных плоскостях X 0 Z и Y 0 Z.

Из (27) следует, что общее число пространственных степе­ней свободы

,                                                                  (28)

где W^/ - телесный угол, под которым виден выходной зрачок оптической системы из осевой точки изображения. Поскольку плоскости зрачков, предмета и изображения сопряжены, соотношение (28) может быть записано в виде

,                                                                        (29)

где А _x × А_у - площадь предмета; С _x × С_у - площадь входного зрач­ка; W = C_xC_y / S ² - телесный угол, под которым виден входной зрачок из осевой точки предмета.

Заметим, что числа степеней свободы, связанные c коорди­натными осями 0Х и 0 Y, могут быть определены следующим образом:

,                                                        (30)

где А_х, A_y линейные размеры предмета; U_x, U _у - пе­редние апертурные углы в соответствующих координатных плоскостях.

        

Теоремы Д. Габора

 

Более строгое вычисление числа пространственных степеней свободы когерентных оптических сигналов было дано Д. Габором на основе теоремы Котельникова об отчетах и теоремы Шеннона о пропускной способности информационного канала с шумом.

Рассматривая оптическую систему как линию связи, осуществляющую передачу информации об объекте в пространство изображения, можно провести аналогию между образованием оптического изображения и передачей электрических сигналов. Если в технике электрической связи сигнал является функцией времени, то при передаче оптического изображения сигнал — функция пространственной координаты; временным частотам электрических сигналов соответствуют оптические пространственные частоты. Наиболее полно эта аналогия раскрывается при передаче изображения телевизионным способом. В этом случае при поэлементном сканировании изображения пространственные координаты преобразуются во временные, а пространственные частоты объекта определяют частотный спектр электрического сигнала. Эта аналогия позволяет рассмотреть вопросы формирования изображения с помощью оптической системы на основе общих представлений теории информации.

Рис.48. К теореме Д. Габора. ПО — плоскость объекта, H — главная плоскость линзы, A — апертурная плоскость, F — фокусное расстояние, х, у — координаты плоскости объекта, α _x α _y - апертурные углы, Κ _x, К _y — координаты плоскости Фурье

Д. Габор сформулировал аналог теоремы Котельникова для передачи изображения с помощью оптической системы:

Предположим, что плоскость объекта, превышающая по площади квадрат длины волны, ограничена черным экраном (рис. 48). Предположим также, что существует подобное ограничение в апертурной плоскости оптической системы. Тогда в области, ограниченной этими двумя черными экранами, существует n независимых решений волнового уравнения Гельмгольца , причем n определяется выражением:

,                                             (31)

что совпадает с оценкой (28 - 30).

Таким образом, любая световая волна, проходящая через плоскость объекта и через апертурную плоскость, может быть разложена в n собственных решений с n комплексными коэффициентами, причем n определяется размером апертуры системы.

Проведем количественную оценку информационной емкости оптической системы с точки зрения волновой теории света. Пусть единичная плоская монохроматическая волна, с волновым вектором k = 2 p / l и частотой u распространяющаяся в направлении оси z ,                                                                                      и падает на двумерный объект, расположенный в плоскости z = 0, обладающий некоторым амплитудно-фазовым (комплексным) пропусканием t(x,у). Непосредственно за объектом комплексная амплитуда проходящей волны будет иметь вид:

.                                                                  (32)

Разложим пространственную часть комплексной амплитуды проходящей волны в компоненты двумерного Фурье-преобразования по формуле:

,                                    (33)

где

.                                                (34)

Каждая компонента в разложении Фурье есть плоская пространственная волна с составляющими волнового вектора k_x k_y и , т.е. с направляющими косинусами cos a = k_x / k, cos β = k_y / k, . Таким образом, двойной интеграл Фурье (33) является представлением поля в виде спектра плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. Функция Τ (k _x, k _y) определяет амплитуду каждой из волн и является угловым спектром комплексного поля u (x, y). Можно также определить пространственные частоты, которые связаны множителем 2 p с составляющими волнового вектора: F_x = k_x /2 p, F_y = k_y /2 p, и . На основании принципа суперпозиции амплитуда в любой точке за объектом может быть вычислена путем суммирования отдельных волн, соответствующих пропусканию каждой компоненты Фурье. Благодаря явлению дифракции на синусоидальных решетках, ориентация, частота и амплитуда которых определяются разложением Фурье, плоские волны, соответствующие каждой компоненте Фурье, распространяются в направлениях, определяемых направляющими косинусами которые связаны с пространственными частотами формулами: cos α = l f_x, cosβ = l f_y, . Очевидно, что при получаются затухающие волны, амплитуда которых экспоненциально уменьшается в направлении z, и они практически исчезают на расстоянии нескольких длин волн. Отсюда следует известный вывод о том, что свет с длиной волны λ, независимо от обстоятельств, не будет нести информацию о деталях объекта, размеры которых меньше λ /2.

Рассмотрим теперь, как распространяется информация об объекте, зафиксированная в прошедшей через него световой волне, при увеличении расстояния z. Если картина распределения освещенности за объектом меняется очень быстро, так что объект становится неразличим, модули фурье-трансформации Τ (k _x, k _y) не меняются вообще. Это понятно, так как каждая точка фурье-образа плоского объекта с координатами k _х, k _y соответствует определенному направлению распространения световой волны, которое в свободном пространстве не меняется. При z — >∞ все сходство с объектом теряется и распределение освещенности становится идентичным фурье-образу объекта.

Если поместить на некотором расстоянии z от объекта линзу с определенными конечными размерами, то будет потеряна часть информации об объекте, заключенная в компонентах Фурье, световые волны от которых проходят за пределами зрачка этой линзы. Поэтому линза пропустит только те пространственные частоты, для которых , где α — апертурный угол линзы.

Число степеней свободы волнового поля при передаче изображения с помощью оптической системы можно определить как число независимых реально существующих параметров, необходимых для полного описания волнового поля, формирующего изображение объекта. Для простоты рассчитаем число N степеней свободы волнового поля в пространстве изображений для оптической системы с прямоугольной апертурой, считая, что поверхность изображения — прямоугольник с размерами L_x и L_y. Для расчета удобно сделать следующее предположение: пусть распределение амплитуд в плоскости объекта повторяется с периодичностью L_x и L_y в направлениях x и у. Это предположение не должно влиять на результат, так как, очевидно, никакой информации не добавляется. При этом спектр пространственных частот объекта становится дискретным и соответствует разложению поля u ^/ (x, y) в плоскости объекта в ряд Фурье:

,                                            (35)

где N_x = L_xk ^/ _x / p, N_y = L_yk ^/ _y / p полное число степеней свободы, связанные c коорди­натными осями 0Х и 0 Y, k '_х и k '_у — предельные пространственные частоты, пропускаемые оптической системой в направлениях x и y   соответственно. Таким образом, сохраняются следующие пространственные частоты с весовыми коэффициентами C_nx и C_ny:

.                                                (36)

Полное число степеней свободы поля монохроматической световой волны с учетом апертуры системы будет равно:

 .                                               (37)

В полученном выражении (37) слагаемые, равные 1 в круглых скобках, учитывают плоские волны с нулевыми пространственными частотами k_x = k_y = 0, распространяющимися вдоль оптической оси системы. Кроме того, необходимо учитывать, что для каждой степени пространственной свободы волнового поля имеются два независимых состояния поляризации, которые могут быть использованы для передачи изображения, что приводит к появлению множителя 2 в выражении (37).

Если объект является нестационарным, т. е. изменяющимся во времени или перемещающимся, то необходимо рассмотреть также временные параметры оптической системы, связанные со свойствами света. Идеально монохроматические сигналы в природе не реализуют­ся, поскольку энергия, связанная c монохроматической волной равна нулю. Конечная величина электромагнитной энергии переносится только квазимонохроматическими волнами с ∆ u / u << 1, где ∆ u - ширина спектра, u - центральная частота. Для таких сигналов во всех выше полученных соотношениях длину волны l, необходимо заменить на среднюю длину волны l _ср = c / u.

В случае квазимонохроматической волны каждая пространственная степень свободы волнового поля может быть рассмотрена как отдельная независимая временная линия связи. Согласно теореме Котельникова такой сигнал имеет N_t = 2(1 + ΔνΔτ) степеней свободы в интервале частот Δν за время наблюдения ∆τ. Когерентные оптические сигналы являются комплексными и информация может быть связана с модуляцией как амплитуды, так и фазы волны, что увеличивает число информационных степеней свободы вдвое.

Таким образом, общее число степеней свободы волнового поля при формировании изображения с помощью оптической системы можно записать в виде:

.                       (38)

Д. Габор доказал следующую теорему: при заданных раз­мерах предмета, времени наблюдения, спектральной полосе пропус­кания и апертуре оптической системы, фундаментальным инвариан­том является общее число временных и пространственных степеней свободы сигнала N ₀. Никакими методами невозможно получить большее число независи­мых параметров сигнала, чем определяется выражением (38).

Для L_xk'_x >> 1 и L_yk'_y >> 1, что имеет место в большинстве случаев, можно записать:

,                                                                    (39)

где W = k '_х k '_у/ p ² — ширина полосы пространственных частот, пропускаемая системой, S = L_xL_y — площадь объекта. Величина SW, представляющая собой произведение площади объекта на максимальную пространственную частоту, определяет, очевидно, число пространственных степеней свободы волнового поля объекта, используемых для формирования изображения. Поскольку волновое поле при формировании изображения является носителем информации, справедливо следующее утверждение: инвариантным для данной системы является только число N₀ степеней свободы волнового поля (N ₀ = const), а не ширина полосы пропускания пространственных частот. Д. Габором было также показано, что в пределах полного чис­ла степеней свободы (38) можно взаимно менять соотношения между пространственными, временными и поляризационными степеня­ми свободы, сохраняя при этом полное число N ₀ постоянным.Таким образом, оказывается возможным превзойти предельную пропускаемую пространственную частоту для данной системы путем эффективного использования степеней свободы волнового поля объекта при соответствующем уменьшении одного из других сомножителей в формуле (38). Этот тезис лежит в основе методов формирования изображения с повышением разрешения.

В соответствии с концепцией степеней свободы волнового поля как основного инварианта оптической системы возможно:

1) увеличить ширину полосы передаваемых пространственных частот путем уменьшения ширины полосы передаваемых временных частот (при нулевой ширине полосы передаваемых пространственных частот, например в случае одномодового волокна, можно использовать для передачи пространственной информации временные частоты);

2) увеличить ширину полосы пространственных частот в направлении x с соответствующим сокращением полосы в направлении у, причем так, что исходная двумерная полоса пространственных частот W останется неизменной;

3) увеличить ширину полосы передаваемых пространственных частот путем уменьшения полезного поля объекта.

Для осуществления этих возможностей предложен и осуществлен ряд оригинальных оптических систем, формирование изображения с помощью которых, позволяет превзойти классический предел разрешающей способности. Общим для всех этих систем является то, что в сопряженных плоскостях пространства предмета и пространства изображения помещают специальные устройства, расщепляющие световые пучки (рис.49). Устройство M₁ в пространстве предмета расщепляет падающий световой пучок на несколько когерентных пучков, освещающих объект под различными углами падения. При прохождении этих пучков через объект происходит дифракция световых волн на каждой пространственной частоте объекта. Таким образом, в пространстве изображения системы появляется несколько волн, соответствующих одному и тому же компоненту пространственной частоты объекта. Но в оптической системе, у которой выполняется свойство инвариантности в пространстве, должна быть только одна волна, соответствующая одной пространственной частоте объекта. Поэтому устройство М₂, установленное в пространстве изображений, воздействует на все волны, соответствующие одному компоненту пространственной частоты, таким образом, чтобы соединить их в одном направлении.

Рис.49. Обобщенная схема, поясняющая принцип увеличения разрешающей способности оптических систем при использовании устройств, расщепляющих световые пучки. M₁ М₂ — расщепляющие устройства, установленные в пространстве предмета и в пространстве изображения, ПО — плоскость объекта, ПИ — плоскость изображения, О — оптическая система

 

При этом, однако, возникают волны с другими нежелательными направлениями. Исключение или нейтрализация этих волн являются основной проблемой при осуществлении таких систем. Если эта задача решена, то удается получить пространственно-инвариантное изображение объекта.