Національний транспортний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання лабораторних робіт

З використанням комп’ютерного експерименту

з дисципліни „Концепції сучасного природознавства” для студентів спеціальності 8.050201 „Менеджмент організацій”

В рамках кредитно–модульної системи

Організації навчального процесу

 

ЗАТВЕРДЖЕНО

на засіданні навчально–методичної Ради

Національного транспортного університету

Протокол №___від______________2007 р.

 

Київ НТУ 2007

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з використанням комп’ютерного експерименту з дисципліни „Концепції сучасного природознавства” для студентів спеціальності 8.050201 „Менеджмент організацій” в рамках кредитно–модульної системи організації навчального процесу // Укл.: Гололобов Ю.П., Іщенко Р.М., Шатній Т.Д. – К.: НТУ, 2007. – 37 с.

 

Укладачі: Гололобов Ю.П. – доктор фіз.-мат. наук

Іщенко Р.М. – кандидат фіз.-мат. наук

Шатній Т.Д. – кандидат фіз.-мат. наук

Відповідальний за випуск: Іщенко Р.М.

 

 

Вступ

 

На сучасному етапі розвитку суспільства бути кваліфікованим спеціалістом неможливо без знань основних концепцій сучасного природознавства. Формування наукового світогляду та наукового стилю мислення у значній мірі залежить від засвоєння найбільш важливих досягнень природознавства як сукупності наук про природу. Кожен студент, який в подальшому збирається стати менеджером, економістом чи юристом, щоб почувати себе високоосвіченою людиною, повинен знати що таке теорія відносності, квантова механіка, синергетика та інші науки.   

Навчальною програмою з дисципліни „Концепції сучасного природознавства” окрім лекційного курсу передбачено виконання студентами циклу лабораторних робіт. Такий підхід сприяє формуванню навичок щодо використання одержаних знань для розв’язку практичних задач, зокрема техніко-інженерного напрямку. Кредитно–модульна система організації навчального процесу, яка впроваджується в Національному транспортному університеті, передбачає використання як традиційних методів виконання лабораторних робіт (проведення фізичного експерименту), так і новітніх методів, зокрема, використання комп’ютерного експерименту. Тому в даних методичних вказівках до виконання лабораторних робіт з дисципліни „Концепції сучасного природознавства” для студентів спеціальності „Менеджмент організацій” разом з роботами, які виконуються безпосередньо при проведені фізичного експерименту, представлено лабораторну роботу „Моделювання криволінійного руху тіла”, що виконується з використанням комп’ютерного експерименту. Для покращення засвоєння навчального матеріалу в методичних вказівках після кожної лабораторної роботи наведено питання для самоперевірки знань студентів.

 

Лабораторна робота № 1

(з використанням комп’ютерного експерименту)

Моделювання криволінійного руху тіла

 

     Мета роботи: вивчити основні положення кінематики і динаміки матеріальної точки та закономірності руху тіл в однорідному полі тяжіння. Дослідити вплив опору повітря на форму траєкторії, дальність і висоту польоту.

 

Теоретичні відомості

     Нехай тіло масою m кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю v₀. Знайдемо його траєкторію з врахуванням опору повітря і порівняємо її з траєкторію, отриманою при нехтуванні опором повітря.

     Вважаючи тіло матеріальною точкою, запишемо для нього другий закон Ньютона:

,                                        (1)

де g - прискорення вільного падіння, v = v (t) - швидкість тіла у довільній момент часу t,  - cила опору повітря. Згідно з законом Стокса:

,                                                   (2)

де r – коефіцієнт опору (він залежить від розмірів і форми тіла та від властивостей середовища, в якому тіло рухається).

Виберемо декартову систему координат так, щоб вектор початкової швидкості знаходився у площині Oxy, спрямуємо вісь Oy вертикально вгору перпендикулярно поверхні землі і позначимо через  координати тіла у довільний момент часу t. У проекціях на координатні вісі другий закон Ньютона (рівняння руху) набуває вигляду:

,                                         (3а)

                                 (3b)

або

,                                           (4а)

.                                        (4b)

 

     Якщо у момент кидання t = 0 тіло знаходиться у точці з координатами х₀, у₀, то початкові умови задачі є такими:

при t = 0     x = x₀, y = y₀, , ,                                 (5)

де           ,                                                   (6)

– проекції початкової швидкості на вісі координат.

     Розв’яжемо отримані диференціальні рівняння для двох випадків.

    1. Опором повітря нехтуємо, r = 0. Запишемо для цього випадку рівняння (3а, 3b):

,

та інтегруємо їх з врахуванням початкових умов (5):

     В результаті отримуємо відомі формули:

v_x = v_0x,          v_y = v_0y – gt,                                      (7)

 

згідно з якими рух тіла у горизонтальному напрямку є рівномірним, а у вертикальному – рівноприскореним.

Знайдемо траєкторію тіла у параметричному вигляді: х = х (t),

 у = у (t). Для цього врахуємо, що v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, перепишемо рівняння (7) у вигляді:

 

dx = v_0x·dt,       dу  = v_0y·dt – gt·dt

 

і проінтегруємо їх з врахуванням початкових умов (5):

,

.

В результаті отримуємо траєкторію тіла:

x(t) = x₀  + v_0xt,                                                  (8a)

y(t) = y₀ + v_0yt –  gt ².                                     (8b)

 

  2. Враховуємо силу опору повітря, r > 0. У цьому випадку інтегруємо рівняння (4а):

і знаходимо:

                               (9)

 

де                                                 β = r/m.                                 (10)

 

Аналогічно, інтегруючи рівняння (4b):

знаходимо:

       (11)

Зауважимо, що при  формули (9) і (11) переходять у формули (7).

     Для знаходження траєкторії тіла у параметричному вигляді інтегруємо з врахуванням початкових умов (5) рівняння (9) і (11):

 

В результаті знаходимо траєкторію тіла з врахуванням сили опору повітря:

,                                      (12a)

                                           (12b)

Приклад

На рис. 1 наведено графіки траєкторій, розрахованих за формулами (8а), (8b) і (12а), (12b) при х₀ = 0, у₀ = 0, m = 0,5кг, α = π/4, v₀ = 20 м/c, r=0,1H·c/м.

 

Рис. 1 Графіки траєкторій, розрахованих для випадків 1 і 2.

 

На рис. 2 і 3 наведено пояснювальні графіки, які дозволяють візуально оцінити відмінності при розрахунку балістичних кривих з врахуванням і без врахування опору повітря. З рис. 1, 2, 3 видно, що врахування опору повітря не тільки зменшує дальність (х – х₀) і висоту (у – у₀) польоту тіла, але й робить траєкторію польоту відмінною від параболічної: вона стає несиметричною.

 

Рис. 2. Графіки залежності дальності польоту від часу.

 

Рис. 3. Графіки залежності висоти польоту від часу.

Порядок виконання роботи

 

     Для побудови і анімації траєкторії руху в пакеті Mathcad створюємо документ, що містить послідовність наступних процедур:

1. Ввести прискорення вільного падіння g = 9,8 м/с² і вихідні дані, задані викладачем – початкові координати х₀, у₀, початкову швидкість тіла v₀, його масу m, коєфіціент опору повітря r, кут α, який утворює вектор швидкості з горизонтом.

2. Ввести параметри v_0x, v_0y, b за формулами (6), (10) і параметр t₀ за формулою t₀ = 2v_0y/g.

3. Визначити границі зміни часу, обмеживши його максимальне значення величиною t₀, і ввести аргумент t у вигляді ранжированої змінної (з кроком, наприклад, t₀/100):

t: = 0,  ..t₀.

4. Ввести рівняння траєкторій: (8а), (8b) - для випадку 1 і (12а), (12b) - для випадку 2. При цьому для координат тіла, що відповідають цим випадкам, потрібно ввести різні позначення. Наприклад, для випадку 1 – х(t), у(t), для випадку 2 – Х(t), Y(t).

5. Побудувати графіки траєкторій, введених у п. 4. Для цього виконати послідовність таких операцій:

1) Лівою клавішею мишки натиснути там, де потрібно створити графік.

2) Послідовно відкрити Insert (Вставка), Graph (Графік) і вибрати у вікні, що з’явилося, X –Y Plot. Mathсad створить пустий графік з шістьма полями введення, по три на кожній осі.

3) Ввести у пусте поле, розташоване в середині горизонтальної осі, функції x(t) і Х(t), а у пусте поле біля середини вертикальної осі - y(t) i Y(t); ввести граничні значення функцій x(t) (x₀ i x_m = x(t₀)) i y(t) (y₀ i y_m = y(t₀/2)).

4) Натиснути клавішу F9.

6. Для розгляду руху тіла у динаміці потрібно, використовуючи документ, створений у п. 4, виконати послідовність таких дій:

1) Ввести змінну FRAME, замінивши максимальне значення змінної t, тобто t₀, виразом

t₀ ×

де k – ціле число, k >> 1.

2) Послідовно вибрати пункти View (Вид), Animate (Анімація), що приведе до появи діалогового вікна Animate.

3) У діалоговому вікні, що з’явилося, у полі FRAME встановити нижню границю змінної FRAME і у полі TO – її верхню границю, вибравши для нижньої границі нуль, а для верхньої – число k. Змінна FRAME буде збільшуватись з oдиничним кроком від нижньої границі до верхньої.

4) У полі AT встановити швидкість відтворення кліпу.

5) Підготувати “пустий” графік і виділити його пунктирним прямокутником.

6) Натиснути кнопку Animate діалогового вікна.

7. Після створення анімаційного кліпу зберегти його як Windows AVI-файл; для цього натиснути кнопку Save As у діалоговому вікні.

8. Побудувати і проаналізувати графіки залежностей дальності і висоти польоту від часу для випадків 1 і 2.

 

Питання для самоперевірки

1. Який рух називається поступальним?

2. Що таке матеріальна точка?

3. Дати визначення швидкості поступального руху тіла.

4. Дати визначення середній і миттєвій швидкостям тіла.

5. Що характеризує тангенціальне прискорення? Як визначається його величина і напрямок?

6. Що характеризує нормальне прискорення? Як визначається його величина і напрямок?

7. Як можна охарактеризувати рух, коли відомо, що нормальне прискорення а_n = 0, а тангенціальне прискорення a_t > 0?

8. Як можна охарактеризувати рух, коли відомо, що нормальне прискорення а_n = const, а тангенціальне прискорення a_t = 0?

9. Запишіть і сформулюйте основне рівняння динаміки матеріальної точки.

10.  Запишіть і сформулюйте закон Стокса.

 

Додаток

 

MATHCAD-PROGRAM

g:=9.8 x0:=0 y0:=0 v0:=20 m:=0.5 r:=0.1

v0x:=v0×cos(a)  v0y:=v0×sin(a)    

 

Лабораторна робота № 2