Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы

В плоской стержневой системе (рис. 1.4, а) абсолютно жёсткий брус  имеет три опорных стержня и несёт нагрузку известной величины.

Требуется:

1. С помощью уравнений равновесия определить усилия в опорных стержнях.

2. Подобрать площади поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемое напряжение на сжатие МПа, на растяжение =40МПа. Назначить размеры сечений, принимая два стержня круглого и один квадратного сечений.

Исходные значения: м; кН/м; ; стержни 1, 2 - круглого сечения, стержень 3 – квадратного.

Решение

1. Определение продольных усилий в опорных стержнях

Опорные стержни 1, 2, 3 имеют (рис. 1.4, б) по концам шарниры. При действии внешних сил на жёсткий брус АВ эти стержни деформируются (т.е. изменяют длину) и за счёт деформаций шарниры  и  перемещаются: на рис. 1, в для шарнира  показано новое положение , при котором соединяемые элементы (брус АВ и стержень 2) поворачиваться друг относительно друга, и край  получил горизонтальное и вертикальное перемещения. Эти перемещение края  произошли от горизонтального и вертикального воздействия со стороны бруса . Обозначим их как  и  и покажем эти усилия на рис. 1.4, г. Законченный поворот стержня 2 говорит о том, что для него соблюдается условие равновесия . Запишем его:

.

Здесь равенство нулю возможно, если проекции  и  равны нулю, т. е. полная реакция  направлена вдоль стержня. Тогда в сечении  возникает реакция = , направленная в противоположную сторону вектора .

Очевидно, для стержня, имеющего по концам шарниры, будут всегда верны эти рассуждения, и, используя их, будем сразу направлять реакции вдоль такого стержня.

Замечание 1: стержень, имеющий по концам шарниры, может быть только либо растянут, либо сжат.

Для подбора размеров сечений небходимо знать, какое внутреннее усилие возникает в каждом из стержней 1, 2, 3. Внутренние усилия определяют методом сечений. Например, разрежем стержень 2 в каком-либо месте и рассмотрим одну, пусть, нижнюю часть (рис. 1.4, д). Она нагружена реакцией  (это внешняя для стержня нагрузка) и силой  (это внутреннее для стержня усилие). Равновесие возможно, если  (рис. 1, д). В виду этого можно обозначать реакции опорных стержней как , ,  (рис. 1.4, б) и направлять их вдоль стержней.

Заметим, что для условия прочности важно знать направление продольной силы, которая оценивается знаком: если сила  направлена от проведённого сечения и растягивает стержень, то она считается положительной, если сжимает, то она направлена к сечению и в её цифровом значении ставится знак «–».

Чтобы автоматически при расчёте получить правильный знак , поставим для всех стержней направление усилий , ,  положительное, т. е. растягивающее.

 

а
б
в                        г                              д

Рис. 1.4

 

Усилия , ,  должны удовлетворять условиям равновесия бруса . Брус нагружен внешней нагрузкой  и  и усилиями , , , которые представляют в совокупности плоскую систему сил, поэтому для бруса  имеем три уравнения равновесия:

Запишем эти равнения:

Из третьего уравнения

 кН.

Продольное усилие  отрицательно, значит, стержень 3 сжат.

Из первого уравнения

 кН.

Продольное усилие  положительно, значит, стержень 2 растянут.

Из второго уравнения

 кН.

Продольное усилие  положительно, значит, стержень 1 растянут.

Для проверки правильности найденных усилий в опорных стержнях составим уравнение равновесия: :

,

,

,

значит, существует тождество , которое говорит, что усилия в стержнях найдены верно.

2. Подбор размеров поперечного сечения стержней.

Подбор размеров сечения стержней выполняется по условию прочности по допускаемым напряжениям при растяжении-сжатии (1.4), согласно которому для каждого стержня

 

,                                                    (1.11)

где  – нормальное напряжение;  – допускаемое нормальное напряжение, причём если стержень растянут, то принимаем , если сжат, то ;  – продольное усилие в стержне;  – поперечное сечение стержня. Пусть стержень 1 ‒ квадратного сечения, стержни 2 и 3 ‒ круглого.

Для 1-го стержня квадратного сечения площадь , где  – сторона квадрата. Стержень 1 растянут, условие прочности (1.11) для него принимает вид

.

Подставляя выражение площади квадратного сечения, получим

,

откуда .

Принимаем .

Замечание 2: полученное из условия прочности значение размеров сечения  округляется в бо'льшую сторону.

 

Для 2-го стержня круглого сечения площадь поперечного сечения , где  – диаметр стержня. Стержень 2 растянут, поэтому условие прочности (1.11) для него принимает вид  

.

Подставляя выражение площади стержня 2 как , получим

,

Откуда .

Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» .

Составим условие прочности для 3-го стержня. Стержень 3 сжат, то по условию (1.11)

.

Замечание 3: для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы.

Подставляя площадь круглого сечения , получим

,

Откуда .

Принимаем .