Задача 5. Проектный расчёт стержневой статически неопределимой системы при растяжении и сжатии

В статически неопределимой стержневой системе абсолютно жёсткий брус AB опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен двумя упругими стержнями к неподвижной опорной поверхности (рис. 1.8, а). Брус несёт нагрузку известной величины, , q = 20 кН/м; .

Требуется:

1. Найти усилия в упругих стержнях, используя уравнения равновесия и уравнение перемещений.

2. Подобрать площади поперечных сечений стержней, используя усло­вия прочности по допускаемым напряжениям и по методу предельного со­стояния, если допускаемое напряжение [s]=200МПа, предел теку­чести s_т = 320Мпа, запас прочности n = 1,6.

3. Вычислить температурные напряжения, возникающие в стержнях при повышении температуры среды на 15˚С. Принять коэффициент линейного удлиненияa = 1,25∙10^-5 1/град.

Решение

1.Нахождение усилий в стержнях.

Статически неопределимые стержневые системы – это системы, в кото­рых количество стержней превышает количество уравнений равновесия.

Брус АВ имеет шарнирно подвижные опоры в точках А и В и шарнирно-неподвижную в точке K. В опорах возникают реакции R_AC, R_BD, R_K и H_K (рис. 1.7, б). Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, а неиз­вестных четыре, значит, заданная система имеет одну «лишнюю» связь, и степень ее статической неопределимости .

При расчётах необходимо знать продольные силы, возникающие во всех стержнях. Для нахождения этих усилий дополнительно к уравнениям равновесия составляют уравнения, учитывающие характер деформации сис­темы. Их называют уравнениями совместности деформаций (или уравне­ниями перемещений). Число их равно количеству «лишних» (с точки зрения статики) связей системы и характеризует степень её статической неопредели­мости. Использование уравнений перемещений основано на том, что дефор­мации стержней можно выразить через неизвестные продольные силы по формуле  и сравнить между собой.

Под действием внешней нагрузки брус АВ займет положение  (рис. 1.7, г). Горизонтальными перемещения концов А и В пренебре­гаем в силу малости деформаций в таких несущих конструкциях. Отрезок АА ₁ есть деформация стержня АС, назовем её . На первоначальной длине стержня D В отложим его новую длину  (считаем, что D В). Отрезок  – укорочение стержня D В, обозначим его . Из .

Запишем связь между деформациями  и  из подобия треугольников ~ :

 

 или  

 

 

                                         (1.19)

Выразим деформации  и  через продольные усилия, возникающие в стержнях АС и D В. Чтобы «увидеть» эти усилия, отсечём систему по шар­нирам С и D, а для сохранения равновесия приложим в этих шарнирах реак­ции  и  (рис. 1.8, б), взяв направление в соответствии с деформа­цией удлинения  и укорочения : усилие  покажем растягивающим, а уси­лие  − сжимающим. Или выполнив разрез системы по шарнирам А и В (рис. 1.8, в), покажем усилиями  и  воздействие разрезанных частей сис­темы друг на друга. Здесь хорошо видно, что  и  вызывают соответст­венно растяжение и сжатие стержней. Как известно, деформации свя­заны с продольными усилиями:

 и .

Подставив эти выражения  в (1.19), получим уравнение сов-местности деформаций в виде:

,

где , , , . Тогда ,

и после сокращения это уравнение принимает вид

.                                   (1.20)

Так как не требуется определить реакции в жёсткой опоре K, составим только одно уравнение равновесия ∑ мом К = 0:

 или ,

.                                            (1.21)

Решаем систему уравнений (1.20) и (1.21): подставив из (1.20) в (1.21), получим

.

Отсюда найдём , и по (1.20) .

Положительные знаки  и  указывают на то, что выбранные направления их верны.

 

а
б
в

Рис. 1.8

г
д

Рис. 1.8 (окончание)

 

2. Подбор размеров сечений стержней.

Необходимые размеры поперечных сечений стержней определяют из условий прочности по допускаемым напряжениям или по предельному со­стоянию. В случае неодинакового сопротивления материала растяжению и сжатию условие прочности по допускаемым напряжениям имеет вид:

Для нашего примера это условие прочности по допускаемым напряжениям запишем как

 

или

 

Отсюда получим два значения F:

 

 

и .

Чтобы удовлетворить оба уравнения прочности выбираем бóльшее значение  и округлив его, принимаем , .

Найдём величины  и   по методу предельного состояния. При рас­чёте по предельному состоянию учитываются пластические свойства металла. Считаем, что при действии внешних сил напряжения во всех стержнях равны пределу текучести , а усилие в каждом стержне равно . Такое стоя­ние системы будет предельным, так как может вывести её из строя.

Усилия в стержнях  и . Выразим  и  через пре­дельное (т. е. самое минимальное) значение площади сечения , при котором и возникает предельное равновесие: , . Тогда  и  запишем как  и .

Составим уравнение предельного равновесия, в которое войдут как внешняя нагрузка, так и усилия  и . Как и выше, воспользуемся уравнением ∑мом К = 0, оно принимает вид:

 

 

 

 

Отсюда найдём предельное значение

 

.

 

 

Допускаемые значения площади сечения стержней , при которых система будет безопасной, можно найти, используя коэффициент запаса прочности n: увеличиваемполученное значение  в n раз, т. е. . В нашем случае . Тогда принимаем площади сечений  и . Как и следовало ожидать, эти величины F получились меньше, чем по методу допускаемых напряжений.

3. Вычисление температурных напряжений.

Найдём напряжения , появляющиеся при повышении температуры среды на 15ºС. В статически неопределимых системах с повышением темпе­ратуры окружающей среды уже при отсутствии внешней нагрузки возникают напряжения, так как каждый стержень стремится удлиниться на величину , а этому препятствует другие стержни и опоры системы (рис. 1.8, д). В резуль­тате в стержнях возникают продольные усилия . Здесь деформация каждого стержня  слагается из температурной  и деформации, получен­ной от возникающего продольного усилия  и равной

, т. е. деформация стержня .

 

Методика определения усилий  и напряжений  остается прежней, как и при нахождении усилий N и напряжений  от внешней нагрузки.

Пусть при повышении температуры брус АВ займет положение А ₁ В ₁. То­гда стержень АС получит сжатие на величину = АА ₁, а стержень D В - растя­жение на = ВВ ₂  (рис. 1.8, д). Предположим направление усилий  и  растягивающими и запишем деформации стержней:

 

, .

 

Уравнение равновесия ∑мом К = 0 и уравнение перемещений  образуют систему следующих уравнений:

 

 

Отсюда вычисляем температурные усилия

 

,

.

 

Как видно, стержни АС и D В испытывают сжатие, при котором возникают температурные напряжения

 

,

.