Истинная и средняя теплоемкости

 

Так как теплоемкость идеального газа зависит от температуры, а реального и от давления, то в технической термодинамике различают истинную и среднюю теплоемкости.

Теплоемкость, определяемая уравнениями (5.1), (5.3), (5.4) при дан­ных значениях параметров состояния υ и Т или р и Т (т. е. в данном состоянии тела), называют истинной теплоемкостью. Следовательно, истинной теплоемкостью называется отношение элементарного коли­чества теплоты, сообщаемой термодинамической системе в каком либо процессе, к бесконечно малой разности температур.

В практических расчетах при определении количества теплоты обыч­но применяют так называемые средние теплоемкости.

Средней теплоемкостью с_хт данного процесса в интервале темпе­ратур от t₁  до t₂ называют отношение количества теплоты q_1-2 к конечной разности температур t₂-t₁:

                                          .                                  (5.10)

 

Так как количество теплоты q_1-2,x, полученное системой в про­цессе х=const, определяется уравнением (5.2), где с_х — истинная теплоемкость в данном процессе, то

 

                                    .                            (5.11)

 

Если средние теплоемкости даны в таблице для интервала темпе­ратур от 0 до t,°С, то средняя теплоемкость может быть вычис­лена по формуле

                               .                       (5.12)

 

Таким образом, если в каком-либо процессе идеальный газ был на­грет от температуры t₁ до t₂, то количество теплоты, затраченное на нагревание, равно

 

       . (5.13)

 

где m – масса газа, Vн – объём при нормальных условиях.

 

5.5. Отношение теплоемкостей с_р и с_υ

 

В термодинамике часто используется отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме, обозна­чаемое обычно буквой k:

                  (5.14)

 

Если считать c_x=const, то из табл. 5.1 получаем: для одноатомного газа k = 1,66; для двухатомного газа k=1,4, для трех- и многоатомных газов k= = 1,33.

Теплоемкость смесей идеальных газов

 

При расчетах тепловых установок приходится встречаться со сме­сями газов, а в таблицах приводятся теплоемкости только для отдель­ных идеальных газов; поэтому нужно уметь определить теплоемкость газовой смеси. Если смесь газов задана массовыми долями, то массовая теплоемкость смеси определяется как сумма произведений массовых долей на массовую теплоемкость каждого газа:

                            (5.15)

 

где g₁, g₂, g_n—массовые доли каждого газа, входящего в смесь.

Если смесь газов задана объемными долями, то объемная теплоем­кость смеси равна сумме произведений объемных долей на объемную теплоемкость каждого газа:

     .                  (5.16)

 

Массовая теплоемкость смеси газов может быть определена, если известны плотность и удельный объем смеси газов при нормальных физических условиях:

                      (5.17)

 

Энтропия.

 

Разделив обе части уравнения первого закона термодинамики на Т, получим:

                                                              

.                           (5.18)

 

Отсюда выражение dq/T при обратимом изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции переменных Т и υ (с_υ зависит только от температуры, а R— величина постоянная). Клаузиус назвал эту функцию энтропией и обозначил буквой S. Измеряется полная энтропия S в джоулях на градус (Дж/град), а удельная энтропия s — в джоулях на килограмм на градус [Дж/(кг · град)].

Таким образом, дифференциал энтропии для обратимого измене­ния состояния определяется как

 

                                              .                                      (5.19)

 

Энтропия есть однозначная функция состояния газа, принимающая для каждого его состояния вполне определенное значение. Энтропия может быть определена как функция основных парамет­ров состояния:

 

 

Величина дифференциальа энтропии как функции Т и υ определяется уравнением:

 

                                 .                         (5.20)

 

Интегрируя при с_υ = const найдем для идеального газа

 

                        .                (5.21)

 

В случае когда энтропия является функцией p и T, полуаем:

 

                                                (5.22)

 

Интегрируя при с_р = const, находим

 

                                                (5.23)

 

При условии s=f (p,υ), будем иметь

 

                                  (5.24)

 

Интегрируя, определяем

 

                                    (5.25)

 

 

Тепловая Т s-диаграмма

 

Энтропию можно применять совместно с одним из основных пара­метров для графического изображения процессов. Удобнее всего эн­тропию сочетать с абсолютной температурой Т. Если энтропию s откладывать по оси абсцисс, а абсолютную температуру—по оси ор­динат, то получаем координатную систему: Т s, т.е. Ts-диаграмму, где состояние газа графически изобразится точкой, а процесс — в виде кривой, уравнение которой можно представить как Т = f(s). Эле­ментарная теплота процесса dq= Тds изо­бразится на диаграмме элементарной пло­щадкой, высота которой равна Т, а ос­нование ds (рис. 5.2). Поскольку количество тепла, подводимого в этом процессе

,                                          (5.26)

 

то на Тs-диаграмме площадь 1234, ограниченная линией процесса, крайними ординатами и осью s, в некотором масштабе изображает теплоту, участвующую в процессе.

Из уравнения dq = Тds следует, что dq и ds имеют одинаковые знаки. Если в процессе энтропия s увеличивается, то теплота к газу подво­дится. Если энтропия s уменьшается, то это указывает на отвод теплоты от рабочего тела.

Для идеальных газов условно принято считать энтропию равной нулю при нормальных физических условиях.

 

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

6.1. Основные определения

 

Первый закон термодинамики устанавливает взаимосвязь между количеством теплоты, изменением внутренней энергии и внешней ра­ботой газа, причем количество теплоты, подводимое к телу или отво­димое от него, зависит от характера процесса.

К основным процессам, имеющим большое значение, как для теоре­тических исследований, так и для практических работ в технике, от­носятся: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающий при постоянном давлении; изотермный, протекающий при постоянной температуре; адиабатный, протекающий при отсут­ствии теплообмена с внешней средой.

Кроме того, существует группа процессов, являющихся при опре­деленных условиях обобщающими для основных процессов. Эти про­цессы называются политропными и характеризуются постоянством теплоемкости в процессе.

Изохорный процесс

 

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называют изохорным (dυ = 0, или υ = const). Кривая процесса называется изохорой. На рис. 6.1 представлен график процесса.

Согласно закону Шарля, при постоянном объеме давление газа изменяется прямо пропорционально абсолютным температурам:

 

.                   (6.1)

 

Внешняя работа газа при υ=const равна нулю, так как dυ = 0, т.е. l=0.

Основное уравнение первого закона термодинамики (4.6) при d l = 0 принимает вид

 

dq_υ = du_υ = c_υdt.

 

Количество теплоты, участвующее в процессе при постоянной теп­лоемкости, равно

 

.             (6.2)

 

Вся внешняя теплота расходуется только на изменение внутренней энергии тела.

Если процесс 1-2, осуществляется с увеличением давления, теплота в нём подводится, при этом увеличивается внутренняя энергия и температура. Если давление газа в процессе понижается, то теплота отводится, уменьшается внутренняя энергия и температура (рис.6.1)

Изменение энтропии в изохорном процессе определяем из уравнения (5.21):

,

 

но при υ=const ln υ₂/υ₁=0, поэтому изменение энтропии при посто­янной теплоемкости равно

                      .                 (6.3)

 

Как видно из данного уравнения, изохора на Тs-диаграмме пред­ставляет собой логарифмическую кривую.

 

Изобарный процесс

 

 

Рис. 6.2

 

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называют изо­барным (dр = 0, или р = const). Кривая процесса называется изо­барой. На рис. 6.2 изображен график про­цесса.

Из уравнения состояния идеального га­за для изобарного процесса находим

 

 

В соответствии с з аконом Гей-Люссака, в изобарном процессе объемы одного и того же количества газа изменяются прямо пропорционально абсолютным температурам:

 

                                              (6.4)

При расширении газа его температура возрастает, при сжатии — уменьшается.

Удельная работа изменения объема при этом выражается следую­щим уравнением:

                                     ,                                (6.5)

или

                              .                          (6.6)

 

Основное уравнение первого закона термодинамики при р=const (dр=0) имеет вид

.

Следовательно, количество теплоты, сообщенное телу в изобарном процессе при постоянной теплоемкости, равно

 

                         ;                    (6.7)

 

при переменной теплоемкости

 

              .         (6.8)

 

Для обратимого изобарного процесса при постоянной теплоемкости изменение энтропии находится по уравнению (5.23):

 

,

 

но при р = const lnp₂/p₁=0, поэтому

 

                          .                     (6.9)

 

Изобара на Тs-диаграмме также, как и изохора, изображается логарифмической кривой.

Площадь под изобарой в некотором масштабе изображает коли­чество теплоты q_р, сообщаемое газу, равное изменению энтальпии i ₂- i ₁.

Из сопоставления уравнений (6.3) и (6.9) следует, что в случае осу­ществления изохорного и изобарного процессов в одном интервале тем­ператур возрастание энтропии будет больше в изобарном процессе, так как с_р всегда больше с_υ. Изобары являются более пологими кри­выми, чем изохоры (см. рис. 6.3).

 

 

Рис. 6.3

 

Изотермный процесс

 

Процесс, протекающий при постоянной температуре, называют изотермным (Т = const, или dТ = 0). Кривая процесса называется изотермой (рис. 6.4).

Для изотермного процесса объем газа изменяется обратно про­порционально его давлению (закон Бойля — Мариотта):

 

.   (6.10)

 

На рυ-диаграмме изотермный процесс представляет собой равнобокую гиперболу.

Рис. 6.4

Основное уравнение первого закона термодинамики при Т = const получает простой вид:

           dq=d l и q_1-2= l _1-2.

 

Количество подведенной к идеальному газу теплоты численно равно работе изменения объема.

Зная уравнение изотермного процесса для идеального газа, и применяя уравнение состояния, определим удельную работу газа.

 

               (6.11)

Энтальпия и внутренняя энергия идеального газа не меняются,
т. е. d i =0 и du = 0.

Изотермный процесс на Ts-диаграмме изображается горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс. Для определения изменения энтропии следует воспользоваться уравнениями (5.21) и (5.23) при T=const, после чего плучаем:

 

        . (6.12)

 

Теплота, участвующая в изотермном процессе, равна произведению изменения энтропии (s₂ – s₁) на абсолютную температуру Т:

 

.                                     (6.13)

 

Адиабатный процесс

 

Процесс, протекающий без подвода и отвода теплоты, т. е. при от­сутствии теплообмена рабочего тела с окружающей средой, называют адиабатным, а кривая этого процесса называется адиабатой. Для по­лучения адиабатного процесса необходимым и обязательным усло­вием является dq = 0 и, следовательно, q= 0.

Обратимый адиабатный процесс можно осуществить в цилиндре с абсолютно нетеплопроводными стенками при бесконечно медленном перемещении поршня.

Уравнение адиабаты выводится на основе уравнения первого закона термодинамики и имеет вид:

 

                                                pυ ^k= const.                                          (6.14)

 

При адиабатном процессе произведение давления на объем газа в степени k есть величина постоянная. Величину k называют показателем адиабаты. Показатель адиабаты k= c_p/ c_υ (см. раздел5.5).

В соответствии с уравнением (6.14) адиабата в pυ – диаграмме графически изображена неравнобокой гиперболой АВ (см. рис. 6.5, а).

Рассмотрим зависимость между основными параметрами в адиабатном процессе.

Из уравнения адиабаты следует, что

.   (6.15)

Зависимость между температурой, объёмом и давлением газа в процессе выражается соотношением:

 

.                         (6.16)

 

Уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса принимает вид:

 

 

или

 

l = u₁ – u₂.                                                 (6.17)

 

Это значит, что работа изменения объема в адиабатном процессе получается за счет убыли внутренней энергии тела;

 

                    (6.18)

 

Если газ расширяется, то его внутренняя энергия и температура убывают; если газ сжимается, то его внутренняя энергия и темпера­тура возрастают.

Работу газа также можно определить из следующих соотношений:

 

                                     (6.19)

или

                        (6.20)

Графически внешняя работа изображается на рυ-диаграмме пл. 12v₂v₁ (рис. 6.5, а).

Из рис. 6.5 видно, что поскольку в уравнении адиабаты k > 1, она на рυ-диаграмме идет круче, чем изотерма.

Для обратимого адиабатного процесса dq =0, поэтому

 

ds = dq/T = 0 и s₂-s₁ = const,

 

т. е. обратимый адиабатный процесс является одновременно изоэнтропным (или при постоянной энтропии) и изображается в Тs-диаграмме вертикальной прямой 1 – 2, параллельной оси ординат (см. рис. 6.5, б).

 

Рис. 6.5

 

Политропные процессы

 

Условились всякий процесс идеального газа, в котором теплоем­кость является постоянной величиной, называть политропным про­цессом, а линию процесса — политропой.

Из определения политропного процесса следует, что основные тер­модинамические процессы — изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный, если они протекают при постоянной теплоемкости, яв­ляются частными случаями политропного процесса.

Теплоемкость политропного процесса с_n может принимать самые разнообразные положительные и отрицательные значения от + ∞ до - ∞.

В результате преобразования аналитических выражений первого закона термодинамики получаем выражение:

 

                                           .                                    (6.21)

 

Полученное уравнение является уравнением политропного про­цесса.

Величина n в уравнении (6.21) называется показателем политропы; он равен

 

                                              (6.22)

 

Показатель политропы n принимает для каждого процесса опре­деленное числовое значение. Для основных процессов: изохорных n=±∞, изобарных n = 0, изотермных n = 1 и адиабатных n = k.

Поскольку уравнение политропы отличается от уравнения адиа­баты только величиной показателя n, то, очевидно, все соотношения между основными параметрами могут быть представлены формулами, аналогичными адиабатному процессу:

 

 

Теплоемкость политропного процесса определяем из формулы

 

                               .                        (6.23)

 

Уравнение (6.23) позволяет определить теплоемкость политропного процесса для каждого значения n.

Если в уравнение (6.23) подставить значения n для частных слу­чаев, то получаем теплоемкости рассмотренных процессов:

изохорного процесса n=±∞, c_n=с_υ;

изобарного процесса n=0, c_n=kс_υ=c_p;

изотермного процесса n=1, c_n=±∞;

адиабатного процесса n=k, c_n=0.

Уравнение работы изменения объема, совершаемой телом при политропном процессе, имеет аналогичный вид с уравнением работы в ади­абатном процессе, т. е.

 

                                  ,                           (6.24)

 

или

                                         (6.25)

 

Изменение внутренней энергии газа и теплота в политропном про­цессе определяются по формулам:

 

           .    (6.26)

 

Изменение энтальпии в политропном процессе

                                      .                               (6.27)

 

Изменение энтропии газа в политропном процессе определяется по формуле

,                                     (6.30)

или для конечного изменения состояния

 

.               (6.31)

 

ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ