Основные дидактические единицы

 

Примечание: понятия, отмеченные звездочкой должны войти в активный словарь студентов.

– акалькулия*

– вербальная дискалькулия*

– временные и количественные представления*

– графическая дискалькулия*

– дискалькулия*

– дислексическая дискалькулия*

– зрительно‑моторная координация*

– культура познания математики*

– операциональная дискалькулия*

– оптико‑пространственный гнозис и праксис*

– общефункциональные механизмы речевой деятельности*

– пальцевый гнозопраксис*

– практогностическая дискалькулия*

– предметно‑развивающая среда

– пространственные представления *

– профилактика школьная неуспеваемость*

– речевая деятельность*

 

Текущая аттестация качества усвоения знаний

 

Промежуточная аттестация качества усвоения студентами знаний по курсу определяется в течение семестра в виде устных опросов и практических заданий, направленных на выявление уровня овладения методами и приемами профилактики дискалькулии у детей с нарушениями речи в ходе логопедического воздействия, умения использовать речевой и дидактический материал, различные виды наглядности на разных этапах коррекционной работы, использование предметных, предметно‑схематических, графических моделей, использование экспериментирования и опытов и т. п.

 

Итоговая аттестация по курсу

 

Курс завершается зачетом, который предусматривает выявление:

– качества усвоения теоретического материала курса;

– умения использовать теоретические знания для решения практических вопросов логопедической работы по профилактике и коррекции дискалькулии у дошкольников и младших школьников;

– качества усвоения основных понятий курса;

– степени сформированности практических умений и навыков по профилактике и коррекции дискалькулии у дошкольников с нарушениями речи;

– уровня знания основных научно‑методических исследований в области изучения диагностики, профилактики и коррекции дискалькулии у дошкольников и младших школьников.

 

Организация самостоятельной работы

 

Самостоятельная работа включает:

– самостоятельное изучение некоторых тем учебной программы, освещенных в литературе (например, «Почему ребенок не хочет учиться?», «Шестилетки в школе», «Многие ли дети умеют учиться?»);

– изучение и реферирование предложенных литературных источников;

– составление библиографии по предложенной теме;

– подбор дидактического и речевого материала для исследования профилактики и коррекции дискалькулии.

 

 

Тема 1. Теоретические основы формирования культуры познания математики у детей дошкольного и младшего школьного возраста «группы риска»

 

План

 

1. Проблема развития базиса личностной культуры развития ребенка дошкольного возраста в Концепции дошкольного воспитания.

2. Роль дошкольного детства в формировании у ребенка основы для развития культуры познания.

3. Понятие культуры познания ребенка‑дошкольника, исходя из общего определения культуры познания как качества познавательной деятельности и качества личности: единство сознательно поставленной цели, целесообразных способов, средств познания и результата, адекватно отражающего предмет познания; познавательные потребности и мотивы, личностные смыслы, эмоциональное отношение и способность личности к произвольному управлению процессом познания.

4. Особенности детей дошкольного возраста «группы риска».

5. Дети с «пониженной обучаемостью». Причины неуспеваемости школьников.

6. Критерии, определяющие сформированность общей способности к обучению.

7. Понятие «математические способности» и их роль в овладении образовательной областью «Познание» и учебным предметом «Математика».

8. Продукт и структура учебной математической деятельности.

 

Краткое содержание

 

Первой ступенью непрерывного образования детей является дошкольное образование. Оно подготавливает основу для дальнейшего школьного образования.

Проблема развития базиса личностной культуры ребенка дошкольного возраста заявлена в Концепции дошкольного воспитания. Известно, что культура познания наиболее интенсивно развивается у ребенка в школьные годы в процессе специально организованной учебно‑познавательной деятельности. Однако состояние физического, психического и социального развития ребенка показывает, что уже к концу дошкольного возраста подготовлена основа для развития культуры познания.

Понятие культуры познания ребенка дошкольника исходит из общего определения культуры познания как качества познавательной деятельности и качества личности:

– культура познания как качество познавательной деятельности характеризуется единством сознательно поставленной цели, целесообразных способов, средств познания и результата, адекватно отражающего предмет познания;

– культура познания как качество личности характеризуется познавательными потребностями и мотивами, личностными смыслами, эмоциональным отношением и способностью личности к произвольному управлению процессом познания.

Культура познания представляет собой совокупность побудительного, технологического, эмоционально‑оценочного, управленческого, смыслового компонентов, проявляющихся в каждом акте познавательной деятельности ребенка. Названные компоненты специфически проявляются у ребенка дошкольного возраста, и потому требуются дифференцированные методы, которые обеспечивают развитие каждого компонента культуры познания.

Структура побудительного компонента представлена у ребенка дошкольного возраста его познавательными потребностями во впечатлениях и любознательностью; интересом к содержанию познавательной деятельности, ее процессу, результату, а также другими личностными мотивами. Развитию побудительного компонента способствуют: эвристические беседы, предложение и решение проблемных ситуаций, занимательные примеры, игровые приемы, поисковые вопросы и др.

Структура технологического компонента представлена у дошкольника как совокупность средств и способов чувственного познания. Сообщения познавательного характера, наблюдения, обследование объектов, упражнения репродуктивного и творческого характера, постановка вопросов, построение предположений, доказательств, выводов, экспериментирование, моделирование и другие методы развивают технологический компонент культуры познания.

Структура эмоционально‑оценочного компонента выражена эмоционально‑ценностным и эмоционально‑оценочном отношением. Метод признания детских чувств, экспресс‑задания, символические обозначения сложности задания, рефлексивные вопросы и др. развивают у ребенка данного возраста оценочный компонент культуры познания.

Структура управленческого компонента объединяет волевые импульсы и волевую регуляцию познания, которые у старшего дошкольника выражаются в способности самостоятельно принимать и ставить познавательную цель, руководствоваться ею по ходу деятельности; составлять пооперационный план деятельности; рассуждать в поисках решения; проявлять усилия по преодолению трудностей. Совместные обсуждения цели, дискуссии, ступенчатая, последовательная, парциальная подача материала, напоминания о значимости достижения цели и способах ее достижения, поддержка со стороны взрослого, положительная оценка волевых усилий ребенка, составление последовательности выполнения задания – плана, словесного отчета о проделанных действиях и результате развивают управленческий компонент.

Структура смыслового компонента культуры познания включает системы объективных знаний и их личностные смыслы. В старшем дошкольном возрасте ребенок усваивает общие принципы построения системы знаний; учится искать себя в системе жизненных отношений, оценивать себя в сообществе других, учится осознавать мотивы собственной деятельности, смысл жизненных ситуаций и скрытых текстов. Методы вживания, перевоплощения, идентификации, принятие на себя роли предмета познания, решение задач на поиск смысла, очеловечивание и диалог с объектом познания, беседы развивают смысловой компонент культуры познания.

В рамках данной темы обратимся к взглядам известного ученого Дж. Брунера. Он считал уникальным свойством человека то, что его индивидуальное развитие зависит от истории его вида в целом. Ученый обращал внимание на то, что эта не та история, которая закодирована в генах и хромосомах, а, скорее, та, которая отражена в культуре, внешней по отношению к человеческому телу и по своему охвату превышающей опыт каждого отдельного человека. Дж. Брунер обращал внимание на то, что развитие сознания неизбежно оказывается процессом, требующим посторонней помощи. Поскольку культура, особенно высокоразвитая, выходит за пределы индивидуального опыта, границы индивидуального развития. Она шире тех, которых достиг любой отдельный человек когда‑либо в прошлом. Ученый определял, что эти границы развития зависят от того, какую помощь оказывает культура индивиду в использовании присущего ему интеллектуального потенциала. Он говорил: «Будь то с эмпирической или с «канонической» точки зрения, мы, по всей вероятности, и весьма приблизительно не можем реально представить тех масштабов, которых способна достичь эта помощь».

Обращаясь к взглядам Л. С. Выготского, необходимо отметить, что ученый считал сплавленными в высший синтез биологическое и культурное при развитии нормальных детей и детей, отстающих в развитии. Культура, по его мнению, видоизменяет природные данные. Выготский отмечал, что если природные запасы бедны, то и культурные приемы поведения – незначительны и бедны, а потому и сама возможность возникновения и достаточно полного развития высших форм поведения оказывается часто закрытой из‑за бедности материала. В процессе культурного развития у ребенка происходит замещение одной функции другими, прокладывание обходных путей, и это открывает совершенно новые возможности в развитии детей с проблемами.

Дошкольники «группы риска» (дети с задержкой психического развития, с тяжелыми нарушениями речи) – это дети с нереализованными возможностями, т. к. все основные психические новообразования возраста формируются у них с запаздыванием и имеют качественное своеобразие. Для детей данной категории характерна рассеянность внимания, они не способны удерживать внимание достаточно длительное время и переключать его при смене деятельности. Для них характерны: повышенная отвлекаемость, посторонние раздражители вызывают значительное замедление выполняемой ими деятельности и увеличивают число ошибок. Затруднена ориентировочно‑исследовательская деятельность, направленная на исследование свойств и качеств предметов (умение применять обследовательские действия), что значимо для математической деятельности. В структуре нарушений познавательной деятельности особое место занимают нарушения памяти: ограниченный объем памяти и снижение ее прочности. Своеобразие отмечается и в развитии мыслительной деятельности, которое проявляется: в крайне низкой познавательной активности; в отсутствии потребности ставить перед собой цель, планировать свои действия; в недостаточной сформированности умственных операций анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения, сравнения.

Дети дошкольного возраста «группы риска» с переходом в школу, как правило, попадает в категорию детей с пониженной обучаемостью. Рассмотрим эту категорию учащихся. Выделяется пять групп неуспевающих школьников и соответственно пять причин неуспеваемости:

1) неправильное отношение к учебе;

2) трудности усвоения учебного материала, связанные с тем, что обычно называют отсутствием способностей;

3) неправильно сформировавшиеся навыки и способы учебной работы;

4) неумение трудиться;

5) отсутствие познавательных и учебных интересов.

Исходя из выше сказанного, можно предположить, что если у ребенка дошкольного возраста существуют специфические проблемы в развитии культуры познания, а именно – математики, это может вызвать школьную неуспеваемость.

Выделяются две группы причин неуспеваемости: внешние и внутренние. К числу внешних в первую очередь относятся причины социального плана, а именно:

– снижение ценности образования в обществе;

– несовершенство организации учебного процесса (неинтересные уроки, отсутствие индивидуального подхода, перегрузки, несформированность приемов познавательной деятельности, пробелы в знаниях);

– отрицательное влияние семейного воспитания.

К внутренним причинам относятся:

– сниженный уровень интеллектуальной деятельности;

– нарушение здоровья школьников;

– отсутствие устойчивой положительной мотивации учения.

Различные исследования доказывают, что эффективность обучения зависит не только от совершенствования содержания и методов обучения, но и от уровня развития индивидуально‑психологических особенностей детей, в том числе обучаемости.

Обучаемость рассматривается как совокупность интеллектуальных свойств человека (обобщенность, осознанность, гибкость, устойчивость, самостоятельность) и восприимчивость к помощи, в ее структуру входят познавательные и эмоционально‑волевые процессы. Важно отметить, что умственное развитие ребенка зависит от адекватности средств и способов его обучения.

Исследования проблем умственного развития исходят из положения, сформулированного Д. Н. Богоявленским и Н. А. Менчинской о том, что умственное развитие связано, во‑первых, с накоплением систем ассоциаций (фонда знаний), и, во‑вторых, с накоплением своего рода фонда хорошо «отработанных» и прочно закрепленных умственных приемов, которые можно отнести к интеллектуальным умениям. В основе же сложных умственных операций лежат процессы анализа и синтеза.

Е. И. Кабанова‑Меллер разработала приемы умственной деятельности, что стоит в прямой связи с проблемой умственного развития и умственных способностей. В качестве показателей умственного развития учащихся автор выдвигает широкий и активный процесс умственной деятельности.

Для понимания процессов, необходимых для формирования побудительного и эмоционально‑оценочного компонентов культуры познания, важны две группы показателей – прямые и косвенные. Они разработаны Н. П. Локаловой. Рассмотрим их. В качестве прямых показателей развития познавательной сферы школьников ученым выделены семь показателей:

– степень расчлененности восприятия;

– сформированность мыслительных операций сравнения;

– содержательного анализа;

– установления закономерностей;

– вербально‑смыслового анализа;

– логического мышления;

– внутреннего плана действия.

Косвенными показателями (их четыре) являются:

– изменения в мотивационно‑личностной сфере учащихся, происходящие вследствие непосредственных развивающих воздействий на их когнитивную сферу:

– формирование положительного отношения детей к школе и учению, адекватной самооценки;

– рост самосознания школьников;

– повышение интереса ко всем школьным урокам.

При обработке результатов каждого психодиагностического задания Н. П. Локаловой вычислялись два показателя – успешность и неуспешность: процент учащихся в каждом классе, справившихся и, соответственно, не справившихся с конкретным заданием. Эти результаты усреднялись по группе классов и вычислялись два интегральных значения, характеризующих уровни когнитивного и личностного развития, достигнутые к моменту психодиагностического обследования. Исследователь в ходе экспериментального обучения подтвердила тот факт, что формирование мировоззрения школьников должно основываться на всестороннем обогащении их конкретно‑чувственного опыта, который является необходимым условием развития в дальнейшем отвлеченных форм мыслительной деятельности.

Важной стороной психологического развития когнитивных структур учащихся Н. П. Локаловой выделено появление эмоционально‑личностного отношения к учебному процессу: стремление доказывать свою точку зрения, критически осмысливать свой ответ и мнения одноклассников, положительно эмоционально относиться к изучаемому материалу и к учению в целом. Формирование адекватной самооценки явилось необходимым условием формирования направленности личности учащихся. Мы можем предположить, что это относится и к процессу формирования культуры познания математики, как и к другим предметам.

Исследования П. П. Блонского, Д. Н. Богоявленского, Л. С. Выготского, Н. А. Менчинской, И. П. Подласого и других ученых свидетельствуют о том, что обучению принадлежит ведущая роль в психическом развитии ребенка. В рамках этой позиции термин «обучаемость» рассматривается как выражение индивидуально‑типических своеобразий психики ученика, упрочившихся в процессе учебной деятельности и влияющих на ее результаты в каждый «снятый» момент времени, или, иными словами, выражение общей способности ребенка к учению.

С. Л. Рубинштейн выделяет в качестве определяющих критериев сформированности общей способности к учению:

– темп;

– легкость усвоения;

– быстроту продвижения;

– широту переноса полученных знаний.

В процессе математического образования важную роль играют математические способности, которые в психолого‑педагогической литературе рассматриваются в рамках проблемы трансформации в деятельности самого ее субъекта, его потребностей, его предрасположенности к конкретным видам деятельности. Крутецким В. А., Тепловым Б. М. и другими учеными способности определяются как устойчивые индивидуальные психологические свойства личности, обусловливающие успешность выполнения одного или нескольких видов деятельности.

Анализ различных взглядов на роль природных особенностей позволил выявить своеобразную диалектическую зависимость между способностями, знаниями и умениями: для овладения знаниями необходимы соответствующие способности, а формирование способностей предполагает наличие определенных знаний и умений.

Таким образом, способности – это интегральные свойства личности, проявляющиеся в успешном выполнении деятельности. Для решения задач математического образования дошкольников и младших школьников, в том числе «группы риска» значимы математические способности.

В психолого‑педагогических исследованиях, основанных на изучении общих и специальных (математических) способностей детей школьного возраста, обращается внимание на наличие индивидуально‑психологических особенностей. В исследований В. А. Крутецкий установил, что они влияют на успешность овладения математической деятельностью и определяются как математические способности. К ним относятся особенности сенсорики, моторики и умственной деятельности, отвечающие ее требованиям и влияющие на успешность ее осуществления.

Таким образом, можно предположить, что в дошкольном возрасте формируются предпосылки к развитию данных способностей. Это проявляется в воспитании готовности к деятельности, в данном случае математической, и в овладении ею по мере обучения в школе. Поэтому изучение своеобразия развития общих и специальных (математических) способностей детей «группы риска» необходимо вести, исходя из индивидуальных типологических особенностей и психофизических возможностей детей.

Н. В. Аммосова справедливо отмечает, что «практически каждый человек в какой‑то мере обладает математической интуицией. Ею обладает и дошкольник, складывающий картинку из кубиков. Ясно, что она присутствует у младшего школьника. Отсюда следует, что математическая интуицию надо развивать, и чем раньше, тем лучше, так как она составляет важный компонент целостного развития личности». Это в полной мере относится и к детям «группы риска», с той лишь особенностью, что их развитие требует адекватных возможностям детей форм и методов обучения.

Для объективности оценки «неуспеваемости» следует рассмотреть психолого‑педагогические причины этой проблемы:

– с психологической точки зрения успеваемость ученика определяется соотношением обучаемости, т. е. способности человека обучиться, и его отношением к учебной деятельности;

– с педагогической – следует обращать внимание на систему требований школы и концепцию человека, которая в этой школе является определяющей.

Л. А. Регуш отмечает, что именно в русле взаимодействия этих двух составляющих, то есть особенностей ученика и школы, можно говорить об «успеваемости – неуспеваемости».

Одно из фундаментальных положений современной психологической науки гласит, что все функции и способности ребенка – да и взрослого тоже – развиваются в процессе деятельности и общения с другими людьми.

Все многообразие человеческой деятельности, исходя из теории Б. Г. Ананьева, сводится к трем основным видам – игре, учебе, труду. Ведущим из них является тот, в ходе которого происходит в данный период основное развитие психологических функций и способностей. Так, для дошкольного возраста ведущей деятельностью является игра, а для детей школьного возраста – учеба. Три основных вида деятельности в той или иной мере присутствуют в жизни школьника, но только один из них является ведущим. Играми школьник может заниматься сколько угодно, но они уже не развивают его способностей, как это было раньше. Эта роль перешла к учебной деятельности. Теперь она играет определяющую роль в развитии внимания, памяти, мышления, во владении своим поведением и т. д. Но важно понять, что ведущей эта деятельность будет не на все время пребывания в школе, так как в подростковом возрасте ведущей деятельностью становится общение.

Много новых знаний, навыков и умений приобретают дети в процессе игры. Но все эти знания являются не более чем побочным продуктом их деятельности. Ребенок играет ради самого процесса игры, а не ради приобретения новых знаний. То же самое можно сказать и о знаниях, приобретенных в процессе трудовой и практической деятельности: они тоже будут побочным продуктом этой деятельности.

Только тогда, когда приобретение знаний становится основным, а не побочным результатом усилий, можно говорить об учебной деятельности. А продукт учебной деятельности – это знания, совсем особый продукт. Только тогда, когда человек ставит себе сознательную цель – научиться чему‑то, чего он раньше не знал или не умел, только тогда добывание знаний становится учебной деятельностью.

Структура учебной деятельности включает:

– учебную задачу – это задача научиться чему‑то, чего человек сейчас не знает или не умеет;

– учебные действия: мало поставить перед собой задачу, надо организовать свою деятельность для ее выполнения;

– контроль и самоконтроль, без которых человек не знает, усвоено ли то, что подлежит усвоению.

Важным в контексте рассматриваемой темы является взгляд профессора Г. И. Вергелес на понимание того, что социальный опыт представляет собой совокупность исторически накопленных деятельностей, одной из которых является учебная деятельность, то в процессе обучения учащиеся должны овладеть как разнообразными конкретными деятельностями (лингвистической, математической и т. п.), так и учебной деятельностью.

Г. И. Вергелес определяет учебную деятельность как деятельность, направленную на преобразование опыта обучаемого в процессе активного, преднамеренного, осознанного присвоения им социального опыта при непосредственном или опосредованном взаимодействии с педагогом с целью формирования обучаемого как субъекта данной деятельности.

Для понимания процесса формирования культуры познания математики значимо мнение Г. И. Вергелес о том, что при изучении предметно‑материальных источников тех или иных понятий ученики прежде всего обнаруживают генетически исходную всеобщую связь, определяющую содержание и структуру всего объекта данных понятий. Так, всеобщей основой всех понятий школьной математики в данном подходе выступают общие отношения величины. Эта связь должна быть воспроизведена в особых предметных и знаковых моделях. В проводимых экспериментах общие отношения величины изображаются в виде формул. Особенность учебной деятельности в процессе изучения математики связана также с тем, что математические понятия носят абстрактный, отвлеченный характер, требуют применения логических рассуждений, использования логических операций, таких, как анализ, синтез, обобщение и т. п., то есть учебная деятельность, в которую учащиеся включаются на уроках математики, наряду со спецификой способствует формированию общих умственных действий, использование которых необходимо и при выполнении учебных заданий на другом предметном материале.

В исследованиях Г. И. Вергелес доказано, что в процессе изучения математики, как и в ходе изучения всех учебных предметов, может быть показана важность ее изучения для овладения будущей трудовой деятельностью, поскольку необходимость математических знаний, умений в ряде профессий, с которыми ребенок встретится в повседневной жизни, оказывается для него очевидной.

Процесс формирования культуры познания математики детьми дошкольного и школьного возраста основывается на понимание того, что вся история педагогики свидетельствует о том, что постоянно передовыми ее представителями велся поиск, направленный на определение принципов, условий, факторов, методов, организационных форм обучения, обеспечивающих успешное математическое образование в соответствии с социально‑историческими условиями общества.

Доказано, что в процессе занятий с математическим материалом активно идет становление мыслительной деятельности детей, которая понимается, исходя из теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина, как процесс формирования умственных действий на основе интериоризации внешних предметных действий человека.

Результаты изучения и обучения дошкольников показали, что у нормально развивающихся детей к концу дошкольного возраста, как правило, формируются предпосылки для перехода от конкретного мышления к абстрактному, понятийному. У детей формируются мыслительные операции, необходимые для овладения основами научных понятий.

В то же время в исследованиях отмечается, что трудности при обучении первоклассников связаны с переходом от конкретных способов мышления к абстрактным. Это особенно явно проявляется при обучении математике, так как математическое мышление по сути своей абстрактно.

Многие ученые обращают внимание на то, что овладение детьми житейскими и научными понятиями (по Выготскому) гораздо эффективнее происходит в процессе их социальной деятельности. Она реализуется во взаимосвязи орудийной и знаковой деятельности. В этом взаимодействии усматривается не просто факт психического развития, но и его источник. Ведь мир опосредующих развитие «культурных предметов», языковых и других знаково‑символических образований играет важную роль в развитии человека. На основе внешних материальных действий, путем их последовательных изменений и сокращений, формируются внутренние, идеальные действия. Они совершаются в умственном плане и обеспечивают человеку всестороннюю ориентировку в физическом и социальном мире. По утверждению некоторых авторов, в самой математике отсутствуют формальные критерии единственно правильных трактовок понятий. Они принадлежат миру смыслов, которым, по справедливому замечанию А. Н. Леонтьева, научить нельзя, их можно только воспитывать. На это мы обращаем особое внимание.

Обращаясь к работам Ж. Пиаже, а именно, к работе «Структуры математические и операторные структуры мышления», обратим, прежде всего, внимание на то, что Ж. Пиаже пишет о связи и соответствии математических структур и структур мышления. Ученый показал, что операторные структуры мышления, формируясь, выявляют с самого начала наличие трех больших типов систем, соответствующих в математике алгебраическим структурам, структурам порядка и топологическим структурам.

Ученый установил, что в сознании учащихся формируются математические структуры параллельно с формированием операторных структур мышления. «Если проследить развитие арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и особенности операций логических, то затем мы находим все типы, которые в точности соответствуют математическим структурам» – пишет Ж. Пиаже. Это положение из теории Ж. Пиаже значимо для понимания того, как важно формировать культуру познания математики у старших дошкольников и младших школьников «группы риска».

Следовательно в преподавании математики должен иметь место своеобразный синтез между открытыми математическими структурами и открытыми психологическими операторными структурами мышления, на это указывается в работах В. А. Крутецкого, К. Гаттеньо и других ученых. Например французский ученый К. Гаттеньо в своей «Педагогике математики» показал, как конкретно реализовать установки Ж. Пиаже в преподавании математики.

Интересным для современных подходов к пониманию процесса формирования культуры познания математики являются, на наш взгляд, мысли методиста‑математика начала 20 века А. Ф. Лазурского. Анализируя процесс овладения арифметикой, А. Ф. Лазурский и его сотрудники выделили «некоторые психические функции, мало упражняемые на других предметах обучения, а именно:

– систематичность и последовательность мышления;

– отчетливость мышления;

– способность к обобщениям;

– сообразительность;

– способность к установлению связи между приобретенными математическими знаниями и явлениями жизни;

– память на числа.

К сожалению А. Ф. Лазурский не вскрыл с достаточной полнотой психологическую сущность перечисленных «психических функций». Об этом говорится довольно бегло и лаконично, а о некоторых из этих «функций», например о «сообразительности», только упоминается. Не говорится и о том, на основании чего автор выделил именно эти функции. Кратко, но содержательно даются указания об арифметических упражнениях, которые способствуют развитию некоторых из указанных «психических функций». Говоря об упражнениях по развитию выделенных психических функций, А. Ф. Лазурский несколько раскрывает содержание соответствующих понятий.

Так, например, систематичность и последовательность мышления способствуют развитию некоторых из указанных «психических функций». Говоря об упражнениях по развитию выделенных психических функций, А. Ф. Лазурский несколько раскрывает содержание соответствующих понятий. Например, систематичность и последовательность мышления оказывается в отчетливом и последовательном изложении хода решения, планировании решения, в решении примеров не по готовому рецепту, правилу. Типические задачи решаются с помощью ранее усвоенных приемов, скорее механически, чем сознательным продумыванием хода их решения. Способности к установлению связи между абстрактной мыслью и конкретными образами проявляются в возможности иллюстрировать правила конкретными примерами, придумывать задачи на эти правила. Наконец, под памятью на числа понимается не только память собственно на числа, но и память на числовые соотношения, память на арифметическую терминологию.

Из современных исследований, хотелось бы остановиться на работе Г. П. Антоновой, выделившей на основании изучения процесса решения арифметических и иных задач младшими школьниками три уровня аналитико‑синтетической деятельности, связанные с уровнем продуктивного мышления. Это также значимо для понимания процесса формирования культуры познания математики, а именно побудительного, технологического и управленческого компонентов.

Рассмотрим эти уровни аналитико‑синтетической деятельности, выделенные Г. П. Антоновой.

Низкий уровень характеризуется элементным или односторонним анализом, установлением единичных связей между данными, не служащих решению проблем в целом. На этом уровне развития анализ и синтез в значительной степени оторваны друг от друга, что делает невозможным планирование процесса решения задачи.

Средний уровень проявляется в многостороннем, однако еще недостаточно полном анализе, в вычленении существенных данных и установлении нескольких комплексов связей. Анализ и синтез тесно связаны, однако умственное планирование затруднено, так как нет единой системы связей между данными с точки зрения проблемы.

Высокий уровень характеризуется всесторонним анализом, то есть вычислением комплекса данных и установлением между ними отношений с точки зрения проблемы. Для этого уровня развития синтез и анализ характеризует тесная связь между ними, предварение хода решения, планирование его.

Эти три уровня соотносятся по терминологии Н. А. Менчинской с элементным, комплексным и предвосхищающим уровням анализа. В основе этих уровней лежит характеристика:

– связи между анализом и синтезом;

– средств, с помощью которых осуществляются эти процессы;

– степени сложности анализа и синтеза.

Еще раз обратимся к исследованиям Ж. Пиаже. Рассматривая стадии развития в онтогенезе Ж. Пиаже выделял стадию конкретных операций (операции, недостаточно формализованные, связанные с конкретными данными) и стадию обобщенных, формализованных операций, связанную с их организацией в структурное целое. Ж. Пиаже отмечал обратимость операций мышления, понимая под этим своеобразную подвижность ума в прямом и обратном направлениях, внутреннее взаимоотношение операций между собой. Он указывал, что для каждой мыслительной операции существует такая, ей обратная, которая, исходя из полученного результата, к которому приводит первичная операция, может восстановить исходные данные. В частности, указывал Ж. Пиаже, формирование алгебраических понятий состоит в усвоении идеи обратимости операций. Ж. Пиаже связывает свое учение об операторных структурах мышления со взглядами Н. Бураки (коллективный псевдоним французских математиков) о трех фундаментальных структурах, на которых покоится здание математики, изложенными в статье «Архитектура математики». К этим структурам Бураки относят алгебраические структуры порядка и топологические структуры.

Важным для понимания процесса формирования культуры познания являются взгляды ученых А. Г. Ковалева, В. Н. Мясищева, В. А. Крутецкого, которые выделяют некоторые «опорные пункты» для определения особенностей психических процессов при математической деятельности, а именно:

– склонность к операциям с числами на элементарной ступени, в дальнейшем склонность к решению математических задач и на еще более высоком уровне склонность и интерес к математическим проблемам;

– быстроту усвоения счетных и арифметических правил;

– своеобразную особенность мышления, заключающуюся в том, что развитие абстрактного мышления, аналитико‑синтетической деятельности, комбинационная способность особенно сильно выражаются в оперировании цифровой и знаковой символикой;

– самостоятельность и оригинальность в решении математических проблем, все более выявляющиеся с нарастающим овладением математической деятельностью, и соотношение репродуктивного и творческого, все более изменяющееся в сторону нарастания второго;

– волевая активность и работоспособность в области математического труда;

– переход склонности и интереса в увлечение, когда математическая работа становится призванием;

– продуктивность по количеству и качеству деятельности, позволяющая обнаружить все большие показатели.

Таким образом, <