Виды корреляции и регрессии.

Для установления тесноты зависимости между признаками в математической статистике разработаны специальные методы, позволяющие определить силу и форму связи. Это корреляционный и регрессионный анализы.

Корреляционный анализ определяет направление и степень связи признаков. Регрессионный анализ устанавливает количественное изменение функции у при изменении х на единицу измерения.

Корреляции подразделяют по направлению, форме и числу связей. По направлению корреляция может быть прямой или обратной, по форме прямолинейной и криволинейной, а по числу связей – простой и множественной.

На основании корреляционного анализа устанавливают форму, направление и тесноту связи, то есть дается качественная оценка зависимости.

Для количественной оценки связи между изучаемыми признаками проводится регрессионный анализ, на основании которого определяют уравнение регрессии. Уравнение регрессии в агрономии используют:

- для прогнозирования значения урожайности в зависимости от метеоусловий, вредителей, болезней, сорняков и рекомендуемых агроприемов;

- для прогнозирования распространения вредителей и болезней в зависимости от внешних условий;

- для прогнозирования качества продуктов переработки и их хранения по качеству сырья и т.д.

Коэффициент r изменяется в области -1< r < +1. При очень тесной связи, приближающейся к функциональной, r = +1 для положительных связей, и r = -1 для отрицательных. Чем ближе r к +1 или к -1, тем теснее прямолинейная корреляционная связь. Приближение r к 0 свидетельствует об ослаблении корреляционной связи. При r = 0 линейная связь отсутствует, но может существовать криволинейная зависимость.

Связь двух зависимых величин более точно измеряется квадратом коэффициента корреляции (r²), который называется коэффициентом детерминации.

Например, при r= 0,5; r²=0,25 или 25%, т.е. 25% изменчивости одного признака вызывает изменчивость другого.

Считается, что при

r<0,3 корреляционная зависимость слабая;

r=0,3-0,7 – средняя;

r>0,7 – сильная.

Пример выполнения работы

Пример 4. Задание 17

 

1.Вычисляют вспомогательные величины:

 

Вспомогательная таблица для вычисления

Номер пары	Признаки		Y^2	Х^2	YХ
	Y	X
1	4,3	1,44	18,49	2,07	6,192
2	13,2	1,30	174,24	1,69	17,16
3	6,4	1,40	40,96	1,96	8,96
4	17,8	1,28	316,84	1,64	22,784
5	14,1	1,25	198,81	1,56	17,625
6	10,2	1,32	104,04	1,74	13,464
7	17,2	1,19	295,84	1,42	20,468
8	18,4	1,13	338,56	1,28	20,792
9	4,5	1,40	20,25	1,96	6,3
10	17,3	1,17	299,29	1,37	20,241
Суммы	123,4	12,88	1807,32	16,69	153,99

 123,4: 10=12,34

16,69 - 12,88²:10=0,099

1807,32 - 123,4²:10=284,564

2. Определяют коэффициент корреляции, регрессии и уравнение регрессии:

 

r² = 0,87

= -49,851Х+76,548

3. Вычисляют ошибки, критерий значимости и доверительный интервал:

 – критерий существенности коэффициента корреляции

Число степеней свободы n-2 или 10-2=8

t₀₅=2,31 > t₀₅ – корреляционная связь существенна

0,93±2,31*0,128= 0,93±0,29 (-1,00÷0,64)

=-49,851±15,89 (-65,874 ÷ -33,96)

По t-критерию (t_ф>t₀₅) и доверительным интервалам, которые не включают нулевого значения, корреляция и регрессия значимы и, следовательно, нулевая гипотеза на 5%-ом уровне отвергается.

 

4. По найденному уравнению регрессии определяют значения Y для экстремальных значений Х (X_min и X_max) и строят теоретическую линию регрессии Y по X.

 

Y_X=1,13=-49,851*1,13+76,548=16,12

Y_X=1,44=-49,851*1,44+76,548=14,56

Рисунок 1 – Связь между некапиллярной пористостью (Y, %) и плотностью (Х, г/см³) почвы

 

Вывод: Проведенный корреляционно-регрессионный анализ установил наличие отрицательной сильной связи между некапиллярной пористостью и плотностью почвы.