Механическое движение. Поступательное движение: траектория; кинематические параметры – радиус-вектор, перемещение, путь, средняя и мгновенная скорость

Механическое движение. Поступательное движение: траектория; кинематические параметры – радиус-вектор, перемещение, путь, средняя и мгновенная скорость

  Мех. движение – это перемещение тел в пространстве с течением времени. Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе.

   Понятие материальной точки (МТ). За материальную точку может быть принято любое тело, обладающее массой, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Линия, описываемая материальной точкой в пространстве при ее движении, называется траекторией. Уравнение траектории для плоского движения имеет вид

.

  Движение материальной точки в пространстве определяется законом движения, который для МТ может быть задан в виде трех скалярных уравнений:

,

,

,

либо эквивалентным векторным уравнением:

.

  Быстроту движения материальной точки характеризуют средней скоростью

или ,

где s – путь, пройденный за время , и мгновенной скоростью

,

которая может быть записана, как любой вектор, в координатной форме:

, а модуль ,

где проекции скорости ; ; .

 

Мгновенное ускорение точки. Разложение полного ускорения на нормальное и тангенциальное. Классификация видов движения

Быстроту изменения скорости при неравномерном движении характеризует ускорение: с реднее ускорение

и мгновенное ускорение

.

С другой стороны, вектор полного ускорения

,

где проекции вектора ускорения равны соответствующим производным по времени от проекций скорости: 

; ;                            

  В криволинейном движении осями координат могут быть касательная к траектории движения материальной точки и нормаль к ней. Орты осей в этом случае . При этом полное ускорение

,  а его модуль ,

где тангенциальное ускорение  характеризует быстроту изменения модуля скорости и направлено по касательной к траектории:

, вектор ;

нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости и направлено по нормали к центру кривизны траектории:

, вектор  .

Здесь   – радиус кривизны траектории.

  Классификация видов движения

1) равномерное прямолинейное дв-е:  т.к.  , т.к. .

2) Равномерное движение по окружности радиуса :  т.к. , т.к. и

3) Равноускоренное движение: .

4) Равнозамедленное дв-е: и                     

  3. Кинематические уравнения поступательного движения

  Зная зависимость вектора скорости от времени , можно найти закон движения :

    

Так для равнопеременного поступательного движения МТ ( получим:

.

Тогда закон дв-я МТ:

 .  

 

 

Динамика поступательного движения. Понятия массы, силы, импульса тела, импульса силы. Взаимодействие тел:

Виды сил в механике

   Динамика изучает причины движения – это взаимодействие тел. Мера взаимодействия – сила . Единица измерения – 1 Н (ньютон).

Принцип суперпозиции сил (независимости их действия):

.

  Масса тела  – мера инертности тела и мера его гравитационных свойств (из закона всемирного тяготения):

 .

Импульс тела – это количество его поступательного движения, равное

;

Импульс силы: произведение силы на время ее действия:

;

  Виды сил в механике:

Сила тяжести

.

Сила тяготения:

.

Упругая сила по закону Гука:

;

Силы трения:

трение покоя: ;

трение скольжения: ;  – нормальная реакция опоры.

Силы сопротивления при движении тела в среде (воздух, вода и др.) зависят от скорости тела :

;

При больших скоростях тел (например, ракета):

.

Примеры проявления и использования ЗСМИ

  Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) можно применять к любой механической системе при условии, что результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, равен нулю . Формулировка закона:

  Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени:

.

Здесь записана сумма векторов моментов импульса всех частей системы.

  Момент импульса твердого тела равен произведению его момента инерции на угловую скорость: , – а момент импульса системы тел есть векторная сумма моментов импульса всех тел данной системы:

.

  Пример применения ЗСМИ: в решении задачи, где человек идет по краю диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси; этот закон позволяет найти скорость вращения диска: он вращается в противоположном направлении.

Понятие потенциальной энергии. Градиент потенциальной энергии. Примеры вычисления потенциальной энергии

  Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием тел и зависящая от положения тел или их частей относительно друг друга. Потенциальной энергией обладают все упруго деформированные тела, например, растянутая или сжатая пружина, а также все тела, которые притягиваются или отталкиваются друг от друга: Земля и другие планеты, взаимодействующие с Солнцем, молекулы, заряженные тела. Потенциальная энергия всегда взаимная, она относится к обоим взаимодействующим телам.

  Для тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h, потенциальная энергия  определяется по формуле

.

Эта формула справедлива только для случая, когда , где  – радиус Земли, и если за нулевой уровень  принимают энергию тела на поверхности Земли.

  Для упруго деформированной пружины (пластины) и т. п.

,

где k – коэффициент упругости или жесткость пружины;  – величина деформации: удлинение или сжатие тела.

  Вид функции потенциальной энергии находят, вычисляя неопределенный интеграл:

где  – постоянная интегрирования, зависящая от выбора нулевого уровня . Используя эту формулу для расчета  любого тела и Земли  и учитывая, что сила их взаимного притяжения  , получаем

,                                            

где – гравитационная постоянная; m и  – массы тела и Земли; r – расстояние от центра Земли до центра масс тела. Формула дает значение  тела относительно его положения в бесконечности, в котором .

  Таким образом, потенциальная и кинетическая энергия тела являются величинами относительными, т. е. их численное значение зависит от выбора системы отсчета.

  Градиент потенциальной энергии – это вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания энергии:

.

Проекция градиента  на направление силы равна производной от функции  по координате :

;    

Гармонического колебания

  Уравнение гармонического колебания

,

позволяет найти скорость частицы, совершающей колебания:

.

 

Тогда кинетическая энергия гармонических колебаний

,

где m  – масса колеблющегося объекта;  – его скорость.

  Потенциальная энергия гармонических колебаний

,

где  – жесткость, или коэффициент упругости пружины.

  Полная механическая энергия гармонических колебаний

.

При гармонических колебаниях выполняется ЗСМЭ, так как эти колебания происходят под действием упругой или квазиупругой силы:

.

 

23. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение, закон колебаний. Логарифмический декремент затуханий.

   Уравнение затухающего колебательного движения:

.

Здесь амплитуда затухающих колебаний; – начальная амплитуда (в момент времени ); d – коэффициент затухания, его величина , где r – коэффициент сопротивления среды; m – масса колеблющейся точки.

   Быстроту затухания колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания :

,

где – амплитуды двух последовательных колебаний, отделенных друг от друга периодом колебаний T.

  Циклическая частота затухающих колебаний

,

где – циклическая частота свободных (собственных) незатухающих колебаний той же колебательной системы.

 

Механическое движение. Поступательное движение: траектория; кинематические параметры – радиус-вектор, перемещение, путь, средняя и мгновенная скорость

  Мех. движение – это перемещение тел в пространстве с течением времени. Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе.

   Понятие материальной точки (МТ). За материальную точку может быть принято любое тело, обладающее массой, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Линия, описываемая материальной точкой в пространстве при ее движении, называется траекторией. Уравнение траектории для плоского движения имеет вид

.

  Движение материальной точки в пространстве определяется законом движения, который для МТ может быть задан в виде трех скалярных уравнений:

,

,

,

либо эквивалентным векторным уравнением:

.

  Быстроту движения материальной точки характеризуют средней скоростью

или ,

где s – путь, пройденный за время , и мгновенной скоростью

,

которая может быть записана, как любой вектор, в координатной форме:

, а модуль ,

где проекции скорости ; ; .