Показатели центра распределения

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются средняя арифметическая, медиана и мода. Общие понятия о средних величинах были даны в главе 4. В данном параграфе рассмотрим расчет показателей центра распределения для вариационных рядов.

Средняя арифметическая:

Ø для дискретного ряда распределения: ,

где - варианты значений,

- частота повторения данного варианта

Ø для интервального ряда распределения: ,

где - середина соответствующего интервала.

 

 

Для таблицы 1 средняя арифметическая равна:

.

Для таблицы 2 средняя арифметическая равна:

Медиана:

Ø для дискретного ряда распределения положение медианы определяется ее номером , где n – число единиц совокупности.

Для примера в табл.1 , т.е. медиана равна средней арифметической 10-го и 11-го значений признака. Ме=4.

Ø для интервального ряда распределения сразу можно определить интервал, в котором находится медиана. Затем определяем медиану по формуле: , где

-нижняя граница медианного интервала;

h – величина интервала;

-накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

 - частота медианного интервала.

Для примера, приведенного в табл.2:

Мода:

Ø для дискретного ряда распределения – наиболее часто встречающееся значение. Для табл.1 мода равна 4 (максимальная частота 8);

Ø для интервального ряда распределения:

,

где  - начало модального признака;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- предмодальная частота;

 - послемодальная частота.

Для примера, приведенного в табл.2:

 

Показатели вариации

Для измерения вариации используют абсолютные и относительные показатели.

Абсолютные показатели:

1. Размах вариации (размах колебаний) – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности: . Размах вариации зависит только от крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена однородными совокупностями.

 

2. Среднее линейное отклонение:

Ø Для несгруппированных данных: ;

Ø Для сгруппированных данных (вариационного ряда): .

 

3. Дисперсия

Ø Для несгруппированных данных: ;

Ø Для сгруппированных данных: .

 

4. Среднее квадратическое отклонение равен квадратному корню из дисперсии, т.е. .

 

5. Квартильное отклонение: .

Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине ; 25% будут заключены между  и ; 25%- между  и ; остальные 25% превосходят . Квартили определяются:

и .

 

Размах вариации, среднее линейное и средне квадратичное отклонение являются величинами именованными, они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан табл.3

 

Таблица 3

Размер прибыли, млрд.руб.	Число банков	Расчетные показатели
3,7-4,6 (-)	2	4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6-5,5	4	5,05	20,20	-1,035	4,140	4,285
5,5-6,4	6	5,95	35,70	-0,135	0,810	0,109
6,4-7,3	5	6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3-8,2	3	7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Итого	20		121,70		17,640	23,126

Для этой вариации:

;

;

;

;

 

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями вариации:

1. Коэффициент осцилляции ;

2. Относительное линейное отклонение ;

3. Коэффициент вариации . Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

4. Относительный показатель квартильной вариации  или .

 

Для таблицы 2 относительные показатели вариации получились следующими: