Теорема о трёх перпендикулярах

Вариант 1

1. Через центр O окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6 см, к плоскости треугольника проведён пер­пен­дикуляр OM длиной 3 см. Найдите расстояние от точки M до сторон треугольника.

2. Из точки М, не принадлежащей плоскости прямого угла, проведены перпендикуляры MK и MF к его сторонам. Известно, что  см, а расстояние от точки М до плоскости угла равно  см. Найдите расстояние от точки M до вершины угла.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AD: AB = 1: 2. На ребре AВ отметили точку М так, что прямая MD перпендикулярна прямой А ₁ С. Найдите отношение AМ: AB.

Вариант 2

1. Через центр O окружности, вписанной в правильный треугольник, к плоскости треугольника проведён перпендику­ляр OD длиной 6 см. Точка D удалена от сторон треугольника на расстояние 14 см. Найдите сторону треугольника.

2. Из точки K, не принадлежащей плоскости угла ABC, проведены перпендикуляры KD и KE к его сторонам. Известно, что  см,  см,  Найдите расстояние от точки K до плоскости АВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: BC = 1: 3. На ребре BC отметили точку K так, что прямая AK перпендикулярна прямой B ₁ D. Найдите отношение BK: BC.

 

Вариант 3

1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 6 см. Через центр O треугольника к его плоскости проведён перпендику­ляр OM длиной 3 см. Найдите угол между перпендикуляром, проведённым из точки M к стороне AB, и проекцией этого перпендикуляра на плоскость ABC.

2. Из точки F, не принадлежащей плоскости угла CDE, проведены перпендикуляры FA и FB к его сторонам. Известно, что  см,  а расстояние от точки F до плоскости угла равно 8 см. Найдите расстояние от точки F до вершины угла.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: BC = 2: 3. На ребре BC отметили точку F так, что прямая DF перпендикулярна прямой  Найдите отношение CF: CB.

Вариант 4

1. Сторона равностороннего треугольника равна 24 см. Через центр O треугольника к его плоскости проведён перпендику­ляр OD. Точка D удалена от сторон треугольника на расстояние 7 см. Найдите отрезок OD.

2. Из точки P, не принадлежащей плоскости прямого угла ABC, проведены перпендикуляры PE и PF к его сторонам. Известно, что  см,  см. Найдите расстояние от точки P до плоскости АВС.

3. В прямоугольном параллелепипеде  известно, что AB: AD = 1: 4. На ребре AD отметили точку E так, что прямая CE перпендикулярна прямой  Найдите отношение AE: AD.

Самостоятельная работа № 13

Угол между прямой и плоскостью

Вариант 1

1. Из точки D к плоскости a провели наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной DK на плоскость a, если  см.

2. На ребре  прямоугольного параллелепипеда  отметили точку M так, что  Найдите угол между прямой  и плоскостью  если  см, CD = 4 см,  см.

3. Основанием пирамиды SABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð SBA = 45°, Ð ADC = 60°. Найдите косинус угла между прямыми SB и CD.

Вариант 2

1. Из точки C к плоскости b провели наклонные CA и CB, образующие с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите проекцию наклонной CB на плоскость b, если  см.

2. На ребре AD прямоугольного параллелепипеда  отметили точку K так, что AK: KD = 2: 3. Найдите угол между прямой B ₁ K и плоскостью  если AD = 15 см, AB = 6 см,  см.

3. Основанием пирамиды PABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро PD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð PCD = 30°, Ð BAD = 60°. Найдите косинус угла между прямыми PC и AB.

Вариант 3

1. Из точки M к плоскости g провели наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если проекция наклонной MN на плоскость g равна  см.

2. На ребре  прямоугольного параллелепипеда  отметили точку E так, что  Найдите угол между прямой  и плоскостью  если AD = 12 см,  см,  см.

3. Основанием пирамиды MABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро MA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð MBA = 30°, Ð ADC = 75°. Найдите косинус угла между прямыми MB и CD.

Вариант 4

1. Из точки K к плоскости α провели наклонные KA и KB, образующие с ней углы 30° и 60° соответственно. Найдите наклонную KA, если  см.

2. На ребре CD прямоугольного параллелепипеда  отметили точку F так, что CF: FD = 1: 3. Найдите угол между прямой B₁F и плоскостью BCC ₁, если AB = 12 см,  см,  см.

3. Основанием пирамиды NABCD является равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). Ребро ND перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Известно, что Ð NCD = 60°, Ð BAD = 75°. Найдите косинус угла между прямыми NC и AB.

Самостоятельная работа № 14