Многогранный угол. Трёхгранный угол

Вариант 1

1. Плоские углы АMB и АMC трёхгранного угла MАBC соответственно равны 125° и 155°. Докажите, что плоский угол BMC меньше 80° и больше 30°.

2. Плоские углы АSB и АSC трёхгранного угла SАBC соответственно равны 30° и 45°. Двугранный угол при ребре SА равен 150°. Найдите плоский угол BSC.

3. Ребро BС тетраэдра PABC равно 8 см. Найдите расстояние от точки B до плоскости ACP, если Ð BCP = Ð ACP = 30°, cosÐ ACB =

Вариант 2

1. Плоские углы АPB и BPC трёхгранного угла PАBC соответственно равны 110° и 165°. Докажите, что плоский угол АPC меньше 85° и больше 55°.

2. Плоские углы АMB и АMC трёхгранного угла MАBC соответственно равны 45° и 60°. Двугранный угол при ребре MА равен 30°. Найдите плоский угол BMC.

3. Ребро AС тетраэдра SАBC равно  см. Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC, если Ð SCА = Ð SCB = 45°, cosÐ ACB =

Вариант 3

1. Плоские углы CKB и АKC трёхгранного угла K АBC соответственно равны 115° и 160°. Докажите, что плоский угол АKB меньше 85° и больше 45°.

2. Плоские углы АPB и BPC трёхгранного угла PАBC соответственно равны 30° и 60°. Двугранный угол при ребре PB равен 120°. Найдите плоский угол АPC.

3. Ребро MС тетраэдра MАBC равно  см. Найдите расстояние от точки С до плоскости АMB, если Ð CMB = Ð АMB = 60°, cosÐ АMC =

Вариант 4

1. Плоские углы АSB и АSC трёхгранного угла SАBC соответственно равны 130° и 170°. Докажите, что плоский угол BSC меньше 60° и больше 40°.

2. Плоские углы CKB и АKC трёхгранного угла K АBC соответственно равны 45° и 60°. Двугранный угол при ребре K C равен 150°. Найдите плоский угол АKB.

3. Ребро DC тетраэдра DАBC равно 20 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости АDB, если Ð CDА = 30°, Ð АDB = 60°, cosÐ BDC =

Самостоятельная работа № 18

Геометрическое место точек пространства

Вариант 1

1. Длина отрезка АВ равна 10 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек А и В и таких, что АХ = 13 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 15 см, 13 см и 4 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 60°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей a и b и удалённых от плоскости a на 6 см.

Вариант 2

1. Длина отрезка CD равна 12 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек C и D и таких, что CХ = 10 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 17 см, 10 см и 9 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 30°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей a и b и удалённых от их линии пересечения на 5 см.

Вариант 3

1. Длина отрезка MK равна 16 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек M и K и таких, что KХ = 17 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 20 см, 15 см и 7 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 45°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей b и g и удалённых от плоскости g на 4 см.

Вариант 4

1. Длина отрезка NP равна 24 см. Найдите геометрическое место точек Х, равноудалённых от точек N и P и таких, что PХ = 20 см.

2. Стороны АB, BC и АC треугольника АBC равны соответственно 20 см, 13 см и 11 см. Найдите геометрическое место точек Х таких, что каждая из прямых ХА, ХB и ХC образует с плоскостью АBC угол, равный 60°.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей b и g и удалённых от их линии пересечения на 3 см.

Самостоятельная работа № 19

Призма

Вариант 1

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, мень­шее основание которой равно 8 см, а острый угол — 60°. Диа­го­нали трапеции являются биссектрисами её острых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол 30°.

2. Основанием наклонной призмы  является равно­бед­ренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 10 см, BC = 16 см. Боковое ребро призмы  образует с плоскостью основания угол 30°, а проекцией вершины  на плоскость ABC является середина отрезка BC. Найдите площадь грани

3. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник АBC, АB = BC = 5 см, AC = 8 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угол между прямыми  и

Вариант 2

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, ос­но­вания которой равны 4 см и 12 см, а диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы, если её диагональ образует с боковым ребром угол 30°.

2. Основанием наклонной призмы  является треуголь­ник ABC, в котором AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Боковое ребро приз­мы  образует с плоскостью основания угол 45°, а проекцией точки  на плоскость ABC является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани

3. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник АBC, АC = АB = 15 см, BC = 24 см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите угол между прямыми  и

Вариант 3

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, ос­но­вания которой равны 7 см и 17 см, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы, если её диагональ образует с плоскостью основания угол 45°.

2. Основанием наклонной призмы  является прямоугольный треуголь­ник ABC, в котором AC = BC = 4 см. Боковое ребро приз­мы  образует с плоскостью основания угол 60°, а проекцией точки  на плоскость ABC является центр описанной окружности треугольника ABC. Найдите площадь грани

3. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник АBC, АC = BC = 5 см, A B = 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угол между прямыми  и

Вариант 4

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, боль­шее основание которой равно 20 см, а острый угол — 60°. Меньшее основание трапеции равно её боковой стороне. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°.

2. Основанием наклонной призмы  является равно­бед­ренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 17 см, BC = 30 см. Боковое ребро призмы  образует с плоскостью основания угол 60°, а проекцией вершины  на плоскость ABC является середина медианы AM. Найдите площадь грани

3. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник АBC, BC = АB = 15 см, АC = 18 см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите угол между прямыми  и

Самостоятельная работа № 20

Параллелепипед

Вариант 1

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 16 см и 10 см, а острый угол — 60°. Найдите бóльшую диагональ парал­лелепипеда, если его высота равна см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 6 см² и 8 см².

Вариант 2

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 9 см, 8 см и 5 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и  см, а острый угол — 45°. Найдите меньшую диагональ парал­лелепипеда, если его высота равна 12 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 5 см² и 12 см².

Вариант 3

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 16 см, 13 см и 5 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 5 см и 8 см, а острый угол — 60°. Найдите меньшую диагональ парал­лелепипеда, если его высота равна 24 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 15 см² и 8 см².

Вариант 4

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 17 см, 13 см и 8 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 12 см и  см, а острый угол — 30°. Найдите меньшую диагональ парал­лелепипеда, если его высота равна 8 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 9 см² и 12 см².

Самостоятельная работа № 21

Пирамида

Вариант 1

1. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен a. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 30°. Найдите высоту пирамиды.

Вариант 2

1. Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен a. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, мень­шая боковая сторона которой равна 10 см. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 45°.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 24 см. Высота пирамиды равна  см. Все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите эти углы.

Вариант 3

1. Угол между боковым ребром правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью основания равен a. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, боковая сторона которой равна 8 см, а острый угол — 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 30°.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 18 см. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите высоту пирамиды.

Вариант 4

1. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен a. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

2. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, диагонали которой перпендикулярны, а боковая сторона равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 45°.

3. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см. Высота пирамиды равна 3 см. Все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите эти углы.

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

Вариант 1

1. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 6 см, а боковое ребро образует с плос­костью большего основания угол 45°. Найдите площадь диаго­нального сечения усечённой пирамиды.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны осно­ваний равны 18 см и 36 см, а её высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны 60°, а площади оснований равны 14 см² и 36 см². Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Вариант 2

1. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирами­ды равно  см, а сторона большего основания — 6 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота рав­на 2 см.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны осно­ваний равны см и  см, а её высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Площади оснований усечённой пирамиды равны 12 см² и 28 см², а площадь боковой поверхности — 32 см². Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны. Найдите эти углы.

Вариант 3

1. Сторона большего основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а высота пирамиды —  см. Боковое ребро пирамиды образует с плос­костью большего основания угол 60°. Найдите площадь диаго­нального сечения усечённой пирамиды.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны осно­ваний равны 18 см и 6 см, а её высота — 2 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды

3. Все двугранные углы усечённой пирамиды при ребрах большего основания равны 45°, а площади оснований равны 12 см² и 40 см². Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Вариант 4

1. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирами­ды равно см, а сторона меньшего основания — 2 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота рав­на 6 см.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны осно­ваний равны 12 см и 42 см, а её высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды

3. Площади оснований усечённой пирамиды равны 20 см² и 34 см², а площадь боковой поверхности —  см². Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны. Найдите эти углы.

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

Вариант 1

1. Плоскость пересекает рёбра АD, DB, BC и АC тетраэдра DАBC в точках M, N, K и F соответственно. Известно, что АM: MD = 2: 5, DN: NB = 3: 4, BK: KC = 5: 3. Найдите отношение АF: F C.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер SА и BC ортоцентрического тетраэдра SАBC, если SА = 10 см, BC = 24 см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра SАBC, если АB = 5 см, BC = 6 см,  см.

Вариант 2

1. Плоскость пересекает рёбра SB, SC, АC и АB тетраэдра SАBC в точках P, E, N и D соответственно. Известно, что BP: PS = 2: 1, SE: EC = 1: 4, CN: NА = 6: 5. Найдите отношение АD: DB.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер АB и DC ортоцентрического тетраэдра DАBC, если АB = 16 см, DC = 30 см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра DАBC, если АB = 5 см, DА = 4 см,  см.

Вариант 3

1. Плоскость пересекает рёбра АD, DC, BC и АB тетраэдра DАBC в точках E, K, P и M соответственно. Известно, что АE: ED = 3: 2, DK: KC = 4: 5, CP: PB = 5: 1. Найдите отношение АM: MB.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер SB и АC ортоцентрического тетраэдра SАBC, если SА = 12 см, BC = 16 см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра SАBC, если АS = 8 см, SC = 6 см,  см.

Вариант 4

1. Плоскость пересекает рёбра MC, MА, АB и BC тетраэдра MАBC в точках K, N, E и F соответственно. Известно, что CK: KM = 7: 3, MN: NА = 6: 5, АE: EB = 1: 7. Найдите отношение АD: DB.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер АC и DB ортоцентрического тетраэдра DАBC, если АC = 20 см, DB = 21 см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра DАBC, если BC = 7 см, CD = 9 см,  см.