Двугранный угол. Угол между плоскостями

Вариант 1

1. В гранях двугранного угла проведены прямые a и b, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 10 см и 6 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и b равно 14 см.

2. Из точек M и K, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 60°, проведены к его ребру перпендикуляры  и  длиной 3 см и 8 см соответственно. Найдите отрезок MK, если  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Катеты АС и ВС образуют с плоскостью a углы 30° и 45° соответственно. Найдите угол между плоскостями АВС и a.

Вариант 2

1. В гранях двугранного угла проведены прямые m и n, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 8 см и  см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми m и n равно  см.

2. Из точек C и D, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 45°, проведены к его ребру перпендикуляры DA и CB. Найдите отрезок DC, если AB = 3 см,  см, BC = 8 см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Угол между плоскостями АВС и a равен 60°, а катет АС образует с плоскостью a угол 30°. Найдите угол, который образует катет ВС с плоскостью a.

Вариант 3

1. В гранях двугранного угла проведены прямые b и c, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии  см и 4 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми b и c равно  см.

2. Из точек A и B, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 30°, проведены к его ребру перпендикуляры AC и B D. Найдите отрезок CD, если  см, BD = 2 см,  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Катет АС образует с плоскостью a угол 45°, а угол АВС равен 60°. Найдите угол, который образует катет ВС с плоскостью a.

Вариант 4

1. В гранях двугранного угла проведены прямые a и c, парал­лель­ные его ребру, на расстоянии 5 см и 8 см от него соответственно. Найдите ве­личину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми a и c равно 7 см.

2. Из точек D и E, лежащих в разных гранях двугранного угла, вели­чина которого равна 120°, проведены к его ребру перпендикуляры  и  длиной 3 см и 5 см соответственно. Найдите отрезок DE, если  см.

3. Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость a. Угол между плоскостями АВС и a равен 60°, а катет ВС образует с плоскостью a угол 45°. Найдите угол, который образует катет АС с плоскостью a.

Самостоятельная работа № 15

Перпендикулярные плоскости

Вариант 1

1. Точка S равноудалена от вершин квадрата ABCD. Точка O — её проекция на плоскость квадрата. Из точки S проведен перпенди­ку­ляр SM к стороне AB квадрата. Докажите, что плоскости ASB и OSM перпендикулярны.

2. Плоскости a и b перпендикулярны. Точки С и D принадлежат плоскости b. Прямая a принадлежит плоскости a и параллельна плоскости b. Из точек С и D к прямой a проведены перпендикуляры СA и DB. Известно, что DB = 17 см, а расстояния от точек С и D до линии пересечения плоскостей равны 6 см и 15 см соответственно. Найдите отрезок АС.

3. Плоскости прямоугольников ABCD и ABEF пер­пендикулярны. Найдите расстояние ме­жду прямыми DE и AB, если AF = 8 см, BC = 15 см (рис. 45).

 

Рис. 4 5	Рис. 4 6	Рис. 4 7	Рис. 4 8

Вариант 2

1. Точка M равноудалена от вершин C и D прямоугольника ABCD. Из точки M к стороне AB проведён перпендикуляр MN. Докажите, что плоскость прямоугольника перпендикулярна плоскости MNO, где O — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Плоскости b и g перпендикулярны. Точки A и B принадлежат плоскости g. Прямая c принадлежит плоскости b и параллельна плоскости g. Из точек A и B к прямой c проведены перпендикуляры AC и BD. Известно, что AC = 13 см, BD = 20 см, а расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей равно 5 см. Найдите расстояние от точки B до линии пересечения плоскостей.

3. Плоскости квадратов ABCD и  перпендикулярны (рис. 46). Найдите расстояние между прямыми  и AB, если AB = 6 см.

Вариант 3

1. Точка S равноудалена от вершин равностороннего треугольни­ка ABC, точка O — центр этого треугольника. Докажите, что плоскость SOC перпендикулярна плоскости ASB.

2. Плоскости a и b перпендикулярны. Точки M и K принадлежат плоскости b. Прямая b принадлежит плоскости a и параллельна плоскости b. Из точек M и K к прямой b проведены перпендикуляры MF и KE. Известно, что KE = 20 см, а расстояния от точек M и K до линии пересечения плоскостей равны 9 см и 16 см соответственно. Найдите отрезок MF.

3. Плоскости прямоугольников AMND и BCNM перпендикулярны (рис. 47). Найдите расстояние между прямыми AC и MN, если AM = 2 см, MB = 3 см.

Вариант 4

1. Точка P не принадлежит плоскости ромба ABCD и равноудалена от вершин В и D. Докажите, что плоскости АРС и ABC перпендикулярны.

2. Плоскости b и g перпендикулярны. Точки E и F принадлежат плоскости g. Прямая l принадлежит плоскости b и параллельна плоскости g. Из точек E и F к прямой l проведены перпендикуляры EK и FM. Известно, что EK = 17 см, FM = 25 см, а расстояние от точки F до линии пересечения плоскостей равно 20 см. Найдите расстояние от точки E до линии пересечения плоскостей.

3. Плоскости квадрата ABCD и прямоугольника  перпендикулярны (рис. 48). Найдите расстояние между прямыми D С ₁ и AB, если AB = 5 см, AD ₁ = 12 см.

Самостоятельная работа № 16