Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Координаты вектора в новом базисе.
Любой вектор можно выразить не только как комбинацию базисных векторов, расположенных на осях, например (1,0) и (0,1), но и как комбинацию какой-то другой линейно-независимой системы.
Задача 72. Доказать, что векторы (1,1) и (1,0) образут базис, и найти координаты вектора (3,2) относительно этого базиса. Решение. Определитель матрицы перехода, составленной из этих векторов, отличен от 0: . Найти новые координаты можно так. Запишем их сначала как неизвестные в векторном равенстве: это очевидно, преобразуется к системе: . , её решение: . Геометрический смысл: вместо того, чтобы 3 раза вправо и 2 раза вверх, можно добраться до точки (3,2) так: 2 раза по диагонали и 1 раз вправо. Ответ. Новые координаты (2,1).
Задача 73. Доказать, что векторы (1,3) и (2,4) образут базис, и найти координаты вектора (1,5) относительно этого базиса. Решение. Вычислим определитель матрицы перехода. Если он не равен 0, то векторы образуют базис. . Составим векторное равенство: , оно сводится к системе уравнений. . Можно решить её как методом Гаусса, так и матричным методом. . Новые координаты . Проверка. 2 способ. Ранее мы находили обратную матрицу для ., . Решить систему уравнений можно и матричным методом: . Ответ. Новые координаты . Задача 74. Даны 3 вектора: . Доказать, что они образуют базис в пространстве, и найти новые координаты вектора . Решение. Вычисляя определитель, получим, что он отличен от 0.
. Затем ищем новые координаты вектора. система: Здесь удобнее сразу же вычесть 2-е уравнение из 3-го, и тогда из последнего определится . . Тогда из 1-го уравнения: , а тогда из 2-го . Ответ. Координаты в новом базисе .
Домашняя задача. Доказать, что векторы (2,3) и образут базис, и найти координаты вектора (1,0) относительно этого базиса. Ответ. . Задача 75. Доказать, что матрица является ортогональной матрицей, и найти кооринаты вектора в базисе, соответствующем этой матрице перехода. Решение. Сумма квадратов элементов каждого столбца равняется , скалярное произведение различных столбцов 0. Поэтому матрица является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Такие матрицы отличаются важным свойством: обратная матрица совпадает с транспонированной. Поэтому для поиска новых координат умножим транспонированную матрицу на .
Зелёным отмечены векторы старого базиса, красным - нового. При их суммировании мы как раз и попадаем в точку . Ответ. (1,1). Задача 76. Доказать, что матрица является ортогональной. Решение. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна . Скалярное произведение разных столбцов равно .
Практика 9 Элементы векторной алгебры. Таблица свойств скалярного и векторного произведений. Задача 77. Найти скалярное и векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3). Решение. Скалярное . Векторное = = . Ответ. Скалярное 6, векторное (1,-2,1). Замечание. Можно проверить, что (1,-2,1) перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0). Задача 78. Найти скалярное и векторное произведение векторов: и . Решение. . Для поиска векторого произведения запишем определитель. = = . Ответ. Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).
Задача 79. Найти косинус угла между векторами . Решение. , , , учитывая что , то . Заметим, что , т.е. чуть меньше 1, угол близок к 0. Ответ. . Задача 80. Найти косинус угла между векторами . Решение. , , , учитывая что , то . Оценим приблизительно, какой это угол. Заметим, что если было бы то было бы и угол 600. В данном случае косинус чуть меньше, а значит угол чуть больше 600. Ответ. .
Задача 81. Вывести формулу проекции вектора на ось . Решение. 1) известно, что . 2) длина проекции это катет, гипотенуза треугольника, тогда получается, что . Сопоставим эти 2 факта. , тогда , откуда и следует .
Задача 82. Найти проекцию вектора на линию, порождаемую вектором . Решение. По формуле = = = = . Кстати, длина самого вектора равна , соотв-но длина проекции чуть меньше. Ответ. .
Задача 83. Доказать неравенство Коши-Буняковского: . Решение. Рассмотрим скалярное произведение . Так как здесь умножается один и тот же вектор на себя, то оно неотрицательно: . По свойствам скалярного произведения, раскроем скобки: А теперь рассмотрим это выражение как неравенство с квадратичным трёхчленом относительно переменной . Для каждых конкретных векторов то это неравенство приобретает вид: , где , . Если выражение больше ири равно 0, то значит, для самого квадратичного уравнения нет корней или всего 1 корень, но не 2 корня. То есть, дискриминант меньше или равен 0. Тогда = , тогда
. Извлечём корень и получим .
Задачи 84 и 85. Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 60 градусов. № 84. Найти . № 85. Найти | [a,b] |. Решение № 84. = = Так как для скалярного произведения, то получаем = = = 8+3+1 = 12. Ответ. 12. Решение № 85. | [a,b] | = раскрытие скобок идёт так же, как и для скалярного произведения, но затем будут применяться другие свойества. Так, при смене мест надо будет поменять знак, а векторное произведение двух одинаковых векторов равно 0, а не квадрату модуля. = = = = = = . Ответ. . Задача 86. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти и . Решение. = = . Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная координат векторов. Здесь фактически служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты относительно базиса . Вся эта система целиком может двигаться или вращаться, но углы между векторами и их длины при этом не поменяются. Поэтому конкретных координат и нет, и они для решения задачи и не нужны. Пункт Б. = = = = = . Ответ. и .
Задачи 87,88,89. Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град. Задача 87. Найти . Задача 88. Найти | [a,b] |. Задача 89. Найти . Решение задачи 87. = = . Мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как то объединим их, и получим . Это можно выразить так: и получаем . Ответ. 29. Решение задачи 88. = = Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак. = = = . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так: = = = 50. Ответ. 50. Решение задачи 89. = = = = = = = = 257. Ответ. 257. Практика № 10. Задача 90. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Решение. Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = = = = = = = = 92. Ответ 92.
Задачи 91 и 92. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 600. Задача 91. Найти . Решение. = = = = = = = 1227. Ответ. 1227. Задача 92. Найти | [a,b] |. Решение. | [a,b] | = | |= | | = | | = | | = = = . Ответ. .
Задача 93. Найти смешанное произведение трёх векторов: . Решение. Вычислим определитель: = = 25. Ответ. . Задача 94. Доказать, что 4 точки: A(1,1,1), B(2,3,1), C(2,4,2), D(3,6,2) лежат в одной плоскости. Решение. Составим 3 вектора AB, AC, AD и докажем, что они лежат в одной плоскости. AB = (1,2,0), AC = (1,3,1), AD = (2,5,1). Определитель = 0 так как 3 строка есть сумма 1-й и 2-й. Ответ. 4 точки в одной плоскости. Задача 95. Найти объём тетраэдра, вершины которого
A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4). Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD. Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6. AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3). = , . Ответ. Объём тетраэдра равен .
Линейные операторы Задача 96. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве, если действие оператора задано таким образом: . Решение. Находим, в какие векторы отображаются два базисных вектора: , . Эти результаты запишем по столбцам: . Ответ. Матрица линейного оператора . Проверка: . То есть действительно, вычисление координат образа вектора по данным формулам даёт точно такой же результат, как и с помощью умножения на матрицу. Так, но ведь и по исходным формулам получилось бы то же самое: .
Задача 97. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве Решение. Отобразим базис 3-мерного пространства.
Ответ. Матрица линейного оператора .
Задача 98. Построить матрицу оператора поворота на произвольный угол . Решение. Найдём матрицу оператора поворота на угол . Расстояния r1 и r2 здесь равны и . Красным показаны образы базисных векторов. Получаем матрицу . Ответ. При получится Действие оператора на любой вектор задаётся матрицей так: - любой вектор поворачивается на 90 градусов. При матрица , и действительно, умножение на такую матрицу переводит любой вектор в .
Задача 99. С помощью линейного оператора поворота плоскости доказать, что скалярное произведение не изменяется при повороте. Решение. Рассмотрим векторы и . Их скалярное произведение равно . теперь отобразим каждый из этих векторов с помощью линейного оператора поворота на угол . = = А теперь скалярно перемножим 2 получившихся вектора: и . = +
Учитывая, что 3,4,7,8 слагаемые взаимоуничтожаются, получим: = . Ответ: Что и требовалось доказать.
Практика 11 (21.10.2020).
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 1283; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.64.128 (0.122 с.) |