Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Доказательство формул Крамера
Запишем матричное равенство , учитывая структуру обратной матрицы: тогда как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, и умножаются они на , то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы. Эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, т.к. они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.
Задача 53 (А,Б). Решить систему уравнений матричным методом и методом Крамера. .
Решение. А) Матричный вид системы: , обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это . Тогда = . Итак, , .
Б) , . Ответ. . Задача 54. Решить систему линейных уравнений . Решение. А. Матричным методом. Запишем систему в виде: . Найдём обратную матрицу для А. .
= = = . Б. Методом Крамера. = = . Ответ. . Метод Гаусса. Задача 55. Решение. Преобразования расширенной матрицы: . Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю. Система после преобразований: , из последнего = 1, подставляем в предпоследнее, будет , то есть =1. Далее, уже известные и подставми в первое уравнение, и получим =1. Ответ. =1, =1, = 1, или . Задача 56. Решить систему уравнений Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её. чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо: а) из 2-й строки вычесть 1-ю; б) из 3-й строки вычесть удвоенную 1-ю. = Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться. = Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна.
. А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, . Ответ. =5, , =4. Можно ответ записать и в виде вектора: . Задача домашняя. Решить систему уравнений (как в прошлой, но у элемента изменили знак). Ответ. =2, =1, =1.
Задача 57. Решить систему уравнений Решение. При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.
Но в данном случае заметим, что совпадает существенная часть 1 и 3 строк, и если сразу вычесть 1-ю строку из 3-й, то можно будет тут же найти .
Из 3-го уравнения теперь следует . А далее можно составить более простую систему на , уже с учётом .
Теперь домножим, чтобы получить кратное, и приведём к треугольной структуре.
Из последнего , а далее . Ответ. , , .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 130; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.152.173 (0.008 с.) |