Системы линейных однородных уравнений.

Задача 64.  Решить однородную систему:

 

Решение. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:

Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.

Итак, получили систему  базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что  свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.

Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим

, т.е. .

Общее решение системы: .   

Также записывается в виде вектора: .

Отличие от прошлой задачи в том, что на всех местах, где там были константы, здесь 0. Все переменные преобразовывались точно так же.

Частные решения здесь отличаются тем, что задавая  в k раз больше, мы и все остальные получим тоже в k раз больше: 

, , ,  и так далее.

То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.

Если для неоднородной системы представить эти тройки чисел как точки в пространстве, то там они образовывали прямую,не проходящую через начало координат, а для однородной системы - проходящую через начало координат. Поэтому разумно выбрать для этой прямой всего 1 вектор, который задаёт её. Это как раз и есть ФСР (фундаментальная система решений). ФСР .

Ответ. Общее решение , ФСР .

Задача 65. Решить систему    

Решение. Минор, состоящий из 1 и 2 столбцов, уже в треугольной форме. Базисный минор порядка 2. Тогда 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. . 

 уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить .

.

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это  частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение { , }.

ФСР { , }.

 

Замечание.  Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.

Задача 66. Решить однородную систему  .

Решение. Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:

Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда:   

Из 2-го уравнения , тогда , а значит .

Общее решение: , . В виде вектора: .

Присвоим , получим остальные неизвестные.

ФСР состоит всего из одного вектора: . Все остальные решения пропорциональны этому.

Если бы, например, присвоили , получили бы . Это потому, что всего одна свободная переменная.

Ответ. Общее решение: , ФСР .

Задача 67.    Решить однородную систему   

Решение.  Запишем основную матрицу, преобразуем её.  

снова представим в виде системы:  

базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как , поэтому . Перенесём их через знак равенства. 

здесь  уже выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .

, .

Общее решение: , .

В виде вектора: .

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как число 1 в них на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это  частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача 68.   Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.

 

Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. .

Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений.  

перенесём свободные неизвестные вправо:

 из 2 уравнения , подставим это в 1-е,

будет , то есть .

Общее решение: , . 

В виде вектора:

Построим ФСР из 2 векторов.

, получим

, получим .

Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

Задача 69.  Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.

 

Треугольная структура продолжилась до самой последней строки, и не проявилась строка из нулей, то есть ранг равен 3. Здесь всего одна свободная переменная. Развернём обратно эту матрицу, т.е. запишем в виде системы, а затем перенесём свободные переменные вправо. 

 

Из последнего, , это подставим во 2-е и получим .

Затем это всё в 1-е уравнение, получим .

ФСР: один вектор .

Ответ. Общее решение: . ФСР:

Задача 70.  Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Преобразуем методом Гаусса основную матрицу системы.

     далее можно вычесть 2 строку из 3-й и 4-й, и там везде будут 0.

Здесь ранг 2, неизвестных 5, .

Переписывая в виде системы, переносим вправо 3 свободных переменных.

Выражаем из 2-го  как линейную функцию от , а затем с помощью 1-го уравнения, также и .

, . 

Общее решение: .

ФСР из 3 векторов. Для этого задаём поочерёдно 1 какой-либо из свободных переменных, а 0 остальным.

ФСР: , , .

Ответ. Общее решение: .

ФСР: , , .

Задача 71. Решить однородную систему, найти ФСР: 

Решение. Сначала быстро преобразуем основную матрицу методом Гаусса, для чего из 2 строки вычтем удвоенную 1-ю.

 , видим, что базисный минор в 1 и 2 столбцах, тогда  свободные переменные.

Система после преобразования:

Переносим вправо :   

Последнее уравнение будет логично умножить на коэффициент .

Тогда , подставляя эту информацию в 1-е уравнение, получим , тогда .

Запишем общее решение , ,

оно же в векторном виде: .

Поочерёдно присваивая , затем , получим два вектора: (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Ответ. Общее решение , .

ФСР (-3,5,1,0) и (-5,4,0,1).

Домашняя задача.  Решить однородную систему, найти ФСР  

Ответ. Общее решение: , , ФСР: .